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El camino a la realidad
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El camino a la realidad
(1)
El camino a la realidad
El camino a la realidad (1)
El camino a la realidad (2)
El camino a la realidad (3)
Prefacio
Agradecimientos
Notación
Prólogo
1. Las raíces de la ciencia
1.1. La búsqueda de las fuerzas que configuran el mundo
1.2. La verdad matemática
1.3. ¿Es «real» el mundo matemático de Platón?
1.4. Tres mundos y tres profundos misterios
1.5. Lo bueno, lo verdadero y lo bello
2. Un teorema antiguo y una pregunta moderna
2.1. El teorema de Pitágoras
2.2. Los postulados de Euclides
2.3. La demostración del teorema de Pitágoras por áreas semejantes
2.4. Geometría hiperbólica: imagen conforme
2.5. Otras representaciones de la geometría hiperbólica
2.6. Aspectos históricos de la geometría hiperbólica
2.7. ¿Relación con el espacio físico?
3. Tipos de números en el mundo físico
3.1. ¿Una catástrofe pitagórica?
3.2. El sistema de los números reales
3.3. Los números reales en el mundo físico
3.4. ¿Necesitan los números naturales al mundo físico?
3.5. Números discretos en el mundo físico
4. Los mágicos números complejos
4.1. El mágico número «i»
4.2. Resolviendo ecuaciones con números complejos
4.3. Convergencia de series de potencias
4.4. El plano complejo de Caspar Wessel
4.5. Cómo se construye el conjunto de Mandelbrot
5. Geometría de logaritmos, potencias y raíces
5.1. La geometría del álgebra compleja
5.2. La idea del logaritmo complejo
5.3. Multivaluación, logaritmos naturales
5.4. Potencias complejas
5.5. Algunas relaciones con la física de partículas moderna
6. Cálculo infinitesimal con números reales
6.1. ¿Qué hace respetable a una función?
6.2. Pendientes de funciones
6.3. Derivadas de orden superior; funciones C -suaves
6.4. ¿La noción «euleriana» de función?
6.5. Las reglas de diferenciación
6.6. Integración
7. Cálculo infinitesimal con números complejos
7.1. Suavidad compleja; funciones holomorfas
7.2. Integración de contorno
7.3. Series de potencias a partir de la suavidad compleja
7.4. Prolongación analítica
8. Superficies de Riemann y aplicaciones complejas
8.1. La idea de una superficie de Riemann
8.2. Aplicaciones conformes
8.3. La esfera de Riemann
8.4. El género de una superficie de Riemann compacta
8.5. El teorema de la aplicación de Riemann
9. Descomposición de Fourier e hiperfunciones
9.1. Series de Fourier
9.2. Funciones sobre un círculo
9.3. Separación de frecuencias sobre la esfera de Riemann
9.4. La transformada de Fourier
9.5. Separación de frecuencias a partir de la transformada de Fourier
9.6. ¿Qué tipo de función es apropiada?
9.7. Hiperfunciones
10. Superficies
10.1. Dimensiones complejas y dimensiones reales
10.2. Suavidad, derivadas parciales
10.3. Campos vectoriales y 1-formas
10.4. Componentes, productos escalares
10.5. Las ecuaciones de Cauchy-Riemann
11. Números hipercomplejos
11.1. El álgebra de los cuaterniones
11.2. ¿Hay un papel físico para los cuaterniones?
11.3. Geometría de cuaterniones
11.4. ¿Cómo componer rotaciones?
11.5. Álgebras de Clifford
11.6. Álgebras de Grassmann
12. Variedades de «n» dimensiones
12.1. ¿Por qué estudiar variedades de dimensiones más altas?
12.2. Variedades y cartas de coordenadas
12.3. Escalares, vectores y covectores
12.4. Productos de Grassmann
12.5. Integrales de formas
12.6. Derivada exterior
12.7. El elemento de volumen; convenio de suma
12.8. Tensores; notación de índices abstractos y notación diagramática
12.9. Variedades complejas
13. Grupos de simetría
13.1. Grupos de transformaciones
13.2. Subgrupos y grupos simples
13.3. Transformaciones lineales y matrices
13.4. Determinantes y trazas
13.5. Autovalores y autovectores
13.6. Teoría de la representación y álgebras de Lie
13.6. Teoría de la representación y álgebras de Lie
13.7. Espacios de representación tensoriales; reducibilidad
13.8. Grupos ortogonales
13.9. Grupos unitarios
13.10. Grupos simplécticos
14. Cálculo infinitesimal en variedades
14.1. ¿Diferenciación en una variedad?
14.2. Transporte paralelo
14.3. Derivada covariante
14.4. Curvatura y torsión
14.5. Geodésicas, paralelogramos y curvatura
14.6. Derivada de Lie
14.7. Lo que una métrica puede hacer por usted
14.8. Variedades simplécticas
15. Fibrados y conexiones gauge
15.1. Algunas motivaciones físicas para los fibrados
15.2. La idea matemática de un fibrado
15.3. Secciones transversales de fibrados
15.4. El fibrado de Clifford
15.5. Fibrados vectoriales complejos, fibrados (co)tangentes
15.6. Espacios proyectivos
15.7. No trivialidad en una conexión fibrada
15.8. Curvatura fibrada
16. La escalera del infinito
16.1. Campos finitos
16.2. ¿Una geometría finita o una geometría infinita para la física?
16.3. Diferentes tamaños de infinito
16.4. El corte diagonal de Cantor
16.5. Enigmas en los fundamentos de las matemáticas
16.6. Las máquinas de Turing y el teorema de Gödel
16.7. Tamaños de infinitos en física
17. Espaciotiempo
17.1. El espaciotiempo de la física aristotélica
17.2. El espaciotiempo para la relatividad galileana
17.3. La dinámica newtoniana en términos del espaciotiempo
17.4 El principio de equivalencia
17.5. El «espaciotiempo newtoniano» de Cartan
17.6. La velocidad finita y fija de la luz
17.7. Conos de luz
17.8. El abandono del tiempo absoluto
17.9. El espaciotiempo de la relatividad general de Einstein
18. Geometría minkowskiana
18.1. Los 4-espacios euclídeo y minkowskiano
18.2. Los grupos de simetría del espacio de Minkowski
18.3. Ortogonalidad lorentziana; la «paradoja del reloj»
18.4. Geometría hiperbólica en el espacio de Minkowski
18.5. La esfera celeste como una esfera de Riemann
18.6. Energía y momento (angular) newtonianos
18.7. Energía y momento (angular) relativistas
19. Los campos clásicos de Maxwell y Einstein
19.1. Evolución fuera de la dinámica newtoniana
19.2. La teoría electromagnética de Maxwell
19.3. Leyes de conservación y de flujo en la teoría de Maxwell
19.4. El campo de Maxwell como curvatura gauge
19.5. El tensor energía-momento
19.6. La ecuación de campo de Einstein
19.7. Cuestiones adicionales: la constante cosmológica, el tensor de Weyl
19.8. La energía del campo gravitatorio
20. Lagrangianos y hamiltonianos
20.1. El mágico formalismo lagrangiano
20.2. La más simétrica imagen hamiltoniana
20.3. Pequeñas oscilaciones
20.4. La dinámica hamiltoniana como geometría simpléctica
20.5. Tratamiento lagrangiano de los campos
20.6. Cómo impulsan los lagrangianos la teoría moderna
21. La partícula cuántica
21.1. Variables no conmutativas
21.2. Hamiltonianos cuánticos
21.3. La ecuación de Schrödinger
21.4. La base experimental de la teoría cuántica
21.5. Comprendiendo la dualidad onda-partícula
21.6. ¿Qué es la «realidad» cuántica?
21.7. La naturaleza «holística» de una función de onda
21.8. Los misteriosos «saltos cuánticos»
21.9. Distribución de probabilidad en una función de onda
21.10. Estados de posición
21.11. Descripción en el espacio de momentos
22. Álgebra, geometría y espín cuánticos
22.1. Los procedimientos cuánticos U y R
22.2. La linealidad de U y sus problemas para R
22.3. Estructura unitaria, espacio de Hilbert, notación de Dirac
22.4. Evolución unitaria: Schrödinger y Heisenberg
22.5. «Observables» cuánticos
22.6. Medidas sí/no; proyectores
22.7. Medidas nulas, helicidad
22.8. Espín y espinores
22.9. La esfera de Riemann de los sistemas de dos estados
22.10. Espín más alto: la imagen de Majorana
22.11. Armónicos esféricos
22.12. Momento angular cuántico relativista
22.13. El objeto cuántico aislado general
23. El entrelazado mundo cuántico
23.1. Mecánica cuántica de sistemas de muchas partículas
23.2. La enormidad del espacio de estados de muchas partículas
23.3. Entrelazamiento cuántico; desigualdades de Bell
23.4. Experimentos EPR tipo Bohm
23.5. El ejemplo EPR de Hardy: casi libre de probabilidad
23.6. Dos misterios del entrelazamiento cuántico
23.7. Bosones y fermiones
23.8. Los estados cuánticos de los bosones y los fermiones
23.9. Teleportación cuántica
23.10. Cuanlazamiento
24. El electrón y las antipartículas de Dirac
24.1. Tensión entre la teoría cuántica y la relatividad
24.2. ¿Por qué las antipartículas implican campos cuánticos?
24.3. Positividad de la energía en mecánica cuántica
24.4. Dificultades con la fórmula de la energía relativista
24.5. La no invariancia de d/dt
24.6. La raíz cuadrada de Clifford-Dirac de un operador de ondas
24.7. La ecuación de Dirac
24.8. La ruta de Dirac al positrón
25. El modelo estándar de la física de partículas
25.1. Los orígenes de la moderna física de partículas
25.2. La imagen zigzag del electrón
25.3. Interacciones electrodébiles, asimetría de reflexión
25.4. Conjugación de carga, paridad e inversión temporal
25.5. El grupo de simetría electrodébil
25.6. Partículas fuertemente interactuantes
25.7. «Quarks coloreados»
25.8. ¿Más allá del modelo estándar?
26. Teoría cuántica de campos
26.1. El estatus fundamental de la QFT en la teoría moderna
26.2. Operadores de creación y aniquilación
26.3. Álgebras de dimensión infinita
26.4. Antipartículas en QFT
26.5. Vacíos alternativos
26.6. Interacciones: lagrangianos e integrales de camino
26.7. Integrales de camino divergentes: la respuesta de Feynman
26.8. Construyendo diagramas de Feynman; la matriz S
26.9. Renormalización
26.10. Diagramas de Feynman a partir de lagrangianos
26.11. Los diagramas de Feynman y la elección del vacío
27. El big bang y su legado termodinámico
27.1. Simetría temporal en la evolución dinámica
27.2. Ingredientes submicroscópicos
27.3. Entropía
27.4. El carácter robusto del concepto de entropía
27.5. Derivación de la segunda ley… ¿o no?
27.6. ¿Es el universo en su conjunto un «sistema aislado»?
27.7. El papel del big bang
27.8. Agujeros negros
27.9. Horizontes de sucesos y singularidades espaciotemporales
27.10. Entropía de agujero negro
27.11. Cosmología
27.12. Diagramas conformes
27.13. Nuestro extraordinariamente especial big bang
28. Teorías especulativas del universo primitivo
28.1. Ruptura espontánea de simetría en el universo primitivo
28.2. Defectos topológicos cósmicos
28.3. Problemas para la ruptura de simetría en el universo primitivo
28.4. Cosmología inflacionaria
28.5. ¿Son válidos los motivos para la inflación?
28.6. El principio antrópico
28.7. La naturaleza especial del big bang: ¿una clave antrópica?
28.8. La hipótesis de curvatura de Weyl
28.9. La propuesta de «ausencia de frontera» de Hartle-Hawking
28.10. Parámetros cosmológicos: ¿estatus observacional?
29. La paradoja de la medida
29.1. Las ontologías convencionales de la mecánica cuántica
29.2. Ontologías no convencionales para la mecánica cuántica
29.3. La matriz densidad
29.4. Matrices densidad para espín 1/2: la esfera de Bloch
29.5. La matriz densidad en situaciones EPR
29.6. Filosofía FAPP de la decoherencia por el entorno
29.7. El gato de Schrödinger con la ontología «de Copenhague»
29.8. ¿Pueden las ontologías (b) y (c) resolver el «gato»?
29.9. ¿Qué ontologías no convencionales pueden ayudar?
30. El papel de la gravedad en la reducción del estado cuántico
30.1. ¿Va a quedarse aquí la teoría cuántica actual?
30.2. Claves de una asimetría temporal cosmológica
30.3. Asimetría temporal en la reducción del estado cuántico
30.4. Temperatura del agujero negro de Hawking
30.5. Temperatura del agujero negro a partir de la periodicidad compleja
30.6. Vectores de Killing, flujo de energía... ¡y viaje en el tiempo!
30.7. Flujo de energía saliente de órbitas de energía negativa
30.8. Explosiones de Hawking
30.9. Una perspectiva más radical
30.10. El bulto de Schrödinger
30.11. Conflicto fundamental con los principios de Einstein
30.12. ¿Estados de Schrödinger-Newton preferidos?
30.13. La propuesta FELIX y otras relacionadas
30.14. Origen de las fluctuaciones en el universo primitivo
31. Supersimetría, supradimensionalidad y cuerdas
31.1. Parámetros inexplicados
31.2. Supersimetría
31.3. El álgebra y la geometría de la supersimetría
31.4. Espaciotiempo de dimensiones más altas
31.5. La teoría de cuerdas hadrónica original
31.6. Hacia una teoría de cuerdas del universo
31.7. Motivación de cuerdas para dimensiones espaciotemporales extra
31.8. ¿La teoría de cuerdas como gravedad cuántica?
31.9. Dinámica de cuerdas
31.10. ¿Por qué no vemos las dimensiones espaciales extra?
31.11. ¿Deberíamos aceptar el argumento de la estabilidad cuántica?
31.11. ¿Deberíamos aceptar el argumento de la estabilidad cuántica?
31.12. Inestabilidad clásica de las dimensiones extra
31.13. ¿Es finita la QFT de cuerdas?
31.14. Los mágicos espacios de Calabi-Yau; la teoría M
31.15. Cuerdas y entropía de agujero negro
31.16. El «principio holográfico»
31.17. La perspectiva de la D-brana
31.18. ¿El estatus físico de la teoría de cuerdas?
32. El sendero más estrecho de Einstein; variables de lazo
32.1. Gravedad cuántica canónica
32.2. El ingrediente quiral de las variables de Ashtekar
32.3. La forma de las variables de Ashtekar
32.4. Variables de lazo
32.5. Las matemáticas de nudos y enlaces
32.6. Redes de espín
32.7. ¿El estatus de la gravedad cuántica de lazo?
33. Perspectivas más radicales: la teoría de twistores
33.1. Teorías donde la geometría tiene elementos discretos
33.2. Los twistores como rayos de luz
33.3. El grupo conforme; el espacio de Minkowski compactificado
33.4. Los twistores como espinores de dimensión superior
33.5. Geometría twistorial básica y coordenadas
33.6. Geometría de twistores como partículas sin masa con espín
33.7. Teoría cuántica twistorial
33.8. Descripción twistorial de campos sin masa
33.9. Cohomología de haces twistorial
33.10. Los twistores y la separación en frecuencia positiva/negativa
33.11. El gravitón no lineal
33.12. Twistores y relatividad general
33.13. Hacia una teoría twistorial de la física de partículas
33.14. ¿El futuro de la teoría de twistores?
34. ¿Dónde está el camino a la realidad?
34.1. Las grandes teorías de la física del siglo XX… ¿y más allá?
34.2. Física fundamental matemáticamente dirigida
34.3. El papel de las modas en la teoría física
34.4. ¿Puede refutarse experimentalmente una teoría errónea?
34.5. ¿Dónde podemos esperar nuestra próxima revolución en física?
34.6. ¿Qué es la realidad?
34.7. Los papeles de la mentalidad en la teoría física
34.8. Nuestro largo camino matemático a la realidad
34.9. Belleza y milagros
34.10. Preguntas profundas respondidas, preguntas más profundas planteadas
Epílogo
Bibliografía
Sobre este libro
Sobre Roger Penrose
Créditos
Notas
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