II
HACIENDO NÚMEROS, ELABORANDO TEORÍAS. LA ESPECULACIÓN

Aristóteles estableció tres tipos de conocimiento: productivo(técnica), práctico, que determinaba la acción, y teorético, dirigido al descubrimiento de la verdad. Distinguió por su objeto entre la filosofía prima (lógica, metafísica), secunda (ciencias naturales) y las matemáticas. La segunda (physike) se basaba en la observación, mientras que las otras dos lo estaban en la especulación, un término que en latín se asociaba a la observación. Sólo en el siglo XIV se admitió que en el pensamiento teórico la razón puede construir sin acudir a la observación. La Revolución Científica demostró el valor del conocimiento de las magnitudes, propio de la observación, y Hume limitó el conocimiento al empirismo. Fue entonces cuando Kant publico la Crítica de la razón pura (1781), en la que postulaba que el origen del conocimiento no estaba en las cosas ni en las sensaciones, sino en el sujeto que lo concibe, en la razón pura, que, condicionada por los a priori, determina las posibilidades del conocimiento. Para entonces la especulación había creado un cuerpo de conocimiento sistemático y válido, en cuanto que había sido demostrado racionalmente, como las matemáticas y la geometría, junto a otros como la alquimia y la cosmología, que se revelaron falsos.

La especulación se construye a partir de conceptos y proposiciones que se formulan con palabras y números; el lenguaje común es necesario para definirlos y relacionarlos, en la medida en que se crea otro especializado para cada una de las materias objeto de conocimiento.

1. Contar: números naturales

Contares la forma de conocer el número de las cosas iguales o distintas que hay en un montón. Para contar, las culturas históricas crearon la sucesión de los números enteros y positivos (llamados «naturales»)de razón uno: 1, 2, 3… n. La aplicación uno a uno de las cosas y los números ofreció la respuesta: el número asignado a la última cosa del montón indica la cantidad de éstas. Para decir y escribir una cantidad más grande que ninguna otra las sociedades primitivas encontraron un artificio común, aunque se distinguieron por el valor que tomaron como base para la numeración. La unidad base tiene un valor determinado y, al llegar a éste, el conteo sigue mediante la asociación a la base de las unidades anteriores. Cabe imaginar la razón de tomar como baseuna cantidad determinada: por ejemplo, 5 son los dedos de la mano y con los de la otra se puede contar hasta 30, son 10 los de las dos manos, 12 es múltiplo de 2, 3, 4 y 6, y 60 lo es, además, de 5, 10, 12, 15, 20 y 30, circunstancias que facilitan el cálculo. Por otra parte, ahora usamos la base 2 para comunicarnos con los ordenadores. La base decimal fue la más extendida en la Antigüedad, y la sexagesimal se conservó para medir los grados de la circunferencia y la duración del tiempo. En el sistema decimal los números que siguen a diez se dicen once, doce…, dieciséis, etc. Cada rango tiene un nombre propio, decenas, centenas, millares, millones, etc., y sin necesidad de mención al anterior se puede decir y escribir cualquier número. Del mismo modo que se formaban palabras con letras, se representaron las cantidades con numeralesy, para limitar su número, se repitieron los mismos signos.

Los sumerios, condicionados por la espátula que usaban para escribir, repetían los signos hasta 60, que se distinguía del 1 por su mayor tamaño. Los jeroglíficos egipcios se limitaban a las potencias de 10: 100 = 1, 101 = 10, 102 = 100… Los griegos utilizaron las 24 letras de su alfabeto, incluidas tres que, habiendo caído en desuso, emplearon como numerales del 1 al 9, del 10 al 90 y del 100 al 900. Antes del siglo III a. C., y para evitar errores de lectura, el sistema ático introdujo un numeral para 5, 50, 500…, que limitaba a cuatro las repeticiones.

Y los romanos siguieron su ejemplo:

I	V	X	L	C	D	M
1	5	10	50	100	500	1.000

La serie infinita de los números enteros y positivos permitía contar cualquiera que fuese su cantidad: cualquier número de una serie tiene valor igual al anterior más una unidad. Contar es lo mismo que sumar.

Para expresar una cantidad, se repiten los dígitos, nueve rayas para 9, y se acumulan los valores de los dígitos. En Grecia, 4.326 se escribía XXXXHHHΔΔΠI —donde I representa el 1; Π, el 5; Δ, 10; Η, 100; y Χ, 1.000 (Μ representaba 10.000)— y en Roma, MMMMCCCXXVI. En el Renacimiento se encontró el medio de simplificar estas representaciones de cifras, mediante la limitación a tres del mismo dígito y la incorporación de otros menores situados a la izquierda de uno mayor del que se restaba su valor. MDCCCCLXXXXVIIII, nuestro 1.999, se escribió desde entonces MCMIC. Todos estos sistemas eran acumulativos y los valores representados se obtenían por la suma del valor de cada uno de los numerales. En China tenían un sistema multiplicativo, en el que escribían las cantidades en columna, y debajo de cada una indicaban el rango: decenas, centenas, etc.

Los griegos representaron los números como puntos de una línea graduada. La secuencia de los números se expresaba mediante pequeñas líneas perpendiculares a las que se añadía el numeral correspondiente. Como queda dicho, contar es lo mismo que sumar. La adición de 5 y 3 se obtiene cuando se busca el tercer elemento de la sucesión a partir de 5. La cuenta atrás permite calcular el resto, en tanto el producto y el cociente se obtienen mediante saltos de tantas cifras como las indicadas por el multiplicador y el divisor. Número y cantidad son una misma cosa, ambos son infinitos y lo mismo sucede con las voces y signos que los representan.

Al definir la razón como la relación entre dos magnitudes, se comprobó que la razón entre la longitud de la circunferencia y la de su radio y la de la hipotenusa, cuando cada uno de los catetos es igual a la unidad, no se podían expresar como una fracción entre dos números enteros. Tales fracciones, representadas, respectivamente, por los símbolos π y √2, recibieron la denominación de números «irracionales».

Eudoxo (408-355 a. C.) definió la proporción como la igualdad de dos razones a/b = c/d y descubrió que los productos de los productos externos e internos eran iguales: a · d = b · c. La sucesión de los números enteros (positivos, cero y negativos) fue la primera de una serie de ellas. La distinción de los números pares e impares dio origen a dos nuevas sucesiones, la definición de los números primos, divisibles únicamente por 1 y por sí mismos, añadió otra más, que Eratóstenes construyó mediante la aplicación de un algoritmo, la criba que lleva su nombre, y Euclides demostró que constituían una serie infinita.

De una cantidad mayor de otra menor surgieron los números negativos. Y al dividir dos enteros que no fuesen múltiplos aparecieron los fraccionarios y decimales. Con estos se formó la clase de los números racionales.

2. Medir, calcular: números reales

Uno de los primeros instrumentos de cálculo aún en uso fue el ábaco, máquina basada en la suma, compuesta por hilos o varillas de metal dispuestos en paralelo en los que estaban insertadas, pero permitiendo su desplazamiento, una serie de bolas. Tuvo una larga vida; de hecho, aún se utiliza en Extremo Oriente (en China se denomina suan pan). En matemáticas, la divisibilidad es la propiedad de los números que dan resultados enteros al dividirlos por un entero. La mayor parte de las tablillas babilónicas eran tablas de multiplicar, de recíprocos, de cuadrados y cubos, que dispensaban de hacer los cálculos. El desarrollo de los algoritmos para las cuatro operaciones aritméticas comenzó en la India en el transito del siglo X al XI (la palabra se creó en el siglo XII en Europa, al tomar el nombre de al-Khwarizmi para designar la operación).

Para representar las fracciones, los egipcios crearon los inversos, aunque sólo utilizaron las de numerador 1 y el 2/3. Cuando el resultado no cumplía esta condición lo convertían en una suma de fracciones con numerador uno; así, 2/29 se convertía en 1/24 + 1/58 + 1/174 + 1/232, procedimiento que practicaron los bizantinos hasta el siglo XIV. Durante siglos las soluciones negativas se consideraron falsas. Hacia el año 600 a. C. los indios utilizaban números negativos para representar las deudas, un uso condicional. En la China del siglo I a. C. se mencionan los números negativos y en Grecia no se emplearon hasta el siglo III. Diofanto calificó de «absurdo» el resultado de la ecuación 4x + 20 = 0. En el siglo VII, Brahmagupta definió la fórmula cuadrática que aún se utiliza. Bhaskara, en el XII, extraía raíces negativas de las ecuaciones cuadradas, pero indicaba que no se debían tomar en consideración en honor a la opinión pública: «el pueblo no acepta las raíces negativas». Fibonacci (c. 1170-1240) las admitía en los cálculos financieros y se concebían como deudas o pérdidas. Hasta el siglo XVII los números negativos no fueron aceptados, y en el siguiente incorporados, aunque sus resultados seguían ignorándose por considerarse sin sentido.

El cálculo aritmético era suficiente para resolver problemas elementales, que utilizaban números racionales y no precisaban más operaciones que las citadas. La exactitud del cálculo requería nuevas operaciones, la única garantía contra el error del calculista era muy laboriosa, un mínimo de seguridad podía exigir tres operaciones para obtener dos resultados iguales. Para comprobar la exactitud de una multiplicación o división se acudió a un algoritmo, «la prueba del nueve». La multiplicación con números negativos aconsejó crear la regla de los signos: la multiplicación de «+» por «–» tiene un valor negativo (las deudas pueden multiplicarse), en tanto el valor positivo de «–» por «–» es una convención tardía.

Los papiros de Rhind y de Moscú, así como las tablillas babilonias, contienen problemas que se resolvían por métodos aritméticos. Los egipcios utilizaban el método de la falsa posiciónpara solucionar problemas sin necesidad de acudir a fórmulas algebraicas, y lo mismo hacían los chinos un milenio después. Uno de los enunciados decía: «un montón y un tercio de él suman 36». Las tablillas babilónicas del II milenio a. C. contienen problemas con potencias de segundo grado (cuadrado) y excepcionalmente de tercer grado (cubo), aunque no utilizaban ningún símbolo.

Una sucesión de números que se ajustan a una razón determinada es una serie; la de los números enteros se caracteriza porque el siguiente es igual al anterior más uno, lo que la hace infinita. El descubrimiento de los números primos, divisibles por 1 y por ellos mismos, permitió a Eratóstenes construir una sucesión también infinita. En 1228, Fibonacci incluyó en el Liber abaci una famosa sucesión en la que cada elemento es igual a la suma de los dos anteriores, que comenzaba 1, 1, 2, 3, 5, 8…

Tras una estancia en Egipto y en Babilonia, Pitágoras se instaló en Crotona y fundó una fraternidad dedicada a la práctica y la enseñanza de las matemáticas. El aislamiento y los ritos secretos que sus integrantes practicaban provocaron un conflicto con la población que condujo a la dispersión de la comunidad, aunque sus miembros fueron activos durante dos siglos. La escuela contribuyó al debate sobre la composición de la materia, al considerar los números como el elemento fundamental: «todas las cosas son números». Además, creó nuevos tipos de números; los llamados «amistosos», cuando la suma de los divisores de uno coincidía con el otro, si bien sólo encontraron un caso (284 y 220). Fermat hallaría el segundo en el siglo XVII (17.296 y 18.416) y en 1747 Euler ofreció una lista de 30 pares. Un número era «perfecto» si su valor coincidía con el producto de sus divisores, como ocurre en el caso del 6. La construcción de polígonos homólogos de dimensiones crecientes distinguió los números triangulares, cuadrados y pentagonales. La serie más conocida y la que produjo mayor cantidad de proposiciones es la de los números primos. La citada «criba de Eratóstenes» permitió identificarlos sin necesidad de acudir al cálculo y Euclides demostró que su número era infinito. La descomposición de dos cantidades en los números primos permitió a Euclides descubrir el mínimo común múltiplo y el máximo común divisor, que facilitaron el cálculo.

Las magnitudes inconmensurables son aquellas que no se pueden expresar mediante una fracción ni por un cociente exacto, como sucede al calcular la relación entre la circunferencia y el diámetro, que se expresó con el símbolo π y que se consideraba como constante, aunque su determinación tiene su propia historia: los babilonios utilizaron habitualmente el valor 3 y, en algunas tablillas, el de 3,125; los egipcios, 3,1604. El cálculo de la hipotenusa del triángulo formado por la diagonal de un cuadrado de lado igual es √2, y la relación entre la diagonal y el lado del pentágono √5. Todos ellos son números irracionales, que comprometieron la exactitud de los teoremas numéricos pitagóricos y la pretensión de que los números fuesen el elemento fundamental de la materia. Eudoxo encontró una solución al conflicto en la sustitución de la teoría pitagórica de la proporción por la igualdad de las razones.

3. Axiomas y teoremas: geometría y trigonometría

Una forma de conocimiento pareja a la de los números es la de las líneas, las figuras planas y los volúmenes, que ofrecen tantas aplicaciones como los números. Aristóteles introdujo la abstracción en la geometría para simplificar los cálculos. Llegó a esa idea trazando una línea recta con un estilete sobre una tablilla; era gruesa, pero hizo abstracción de ello, lo mismo que de las imperfecciones que presentaba, imaginándola perfectamente recta en su pensamiento, idéntica a sí misma en todos los puntos. Y aunque no fuese sino una línea finita, también abstrayendo la imaginó infinita. A su vez, figuras geométricas, como por ejemplo el triángulo, no eran más que una forma compuesta de tres rectas abstractas.

La definición, construcción y cálculo de figuras se llevó a cabo con un instrumental mínimo: la regla y el compás. La línea recta se consideraba, según lo apuntado, indefinida; la intersección de dos líneas rectas daba lugar a un punto y a cuatro ángulos que sumaban 360º. Las paralelas no se encuentran (o, al menos, eso se suponía entonces; hubo que esperar al siglo XIX para que se aceptase la posibilidad de otras geometrías) y la línea que las cruza duplica el número de ángulos y descubre la congruencia y la complementariedad de algunos de ellos. La construcción de los polígonos regulares requería el uso del compás, en tanto que las secciones cónicas, elipse, hipérbola y parábola, no tenían más representación que el dibujo a mano alzada.

En antiguas tablillas babilónicas, entre las que destaca la Plimpton 322, que se sitúa entre 1900 y 1600 a. C., y en papiros egipcios como el de Moscú (1850 a. C.) y el Rhind (1650 a. C.) se hallan importantes resultados matemáticos. La de Plimpton es una colección de triples pitagóricos, mientras que los papiros egipcios presentan problemas y soluciones. Otros documentos, menos conocidos, contienen tablas de operaciones aritméticas y cálculos de áreas para evitar la repetición de los cálculos. Los egipcios conocían el área del triángulo (base·altura/2) y tenían un conocimiento elemental de las proporciones. Los babilonios dividieron la circunferencia en 360 partes iguales (grados) y calcularon su longitud, aproximadamente tres veces el diámetro (utilizaban un valor entero de π). Los griegos conocían dos de los cinco solidos perfectos, el tetraedro y el cubo, construidos con polígonos iguales. La construcción del pentágono condujo a la del dodecaedro. En el Timeo de Platón se encuentra una descripción de los cinco poliedros regulares.

En el siglo VI a. C., Tales mostró las primeras proposiciones geométricas, que expuso con la brevedad y precisión que caracterizan sus escritos:

a) Todos los diámetros dividen al círculo en dos partes iguales.

b) Un ángulo inscrito en un semicírculo es un ángulo recto.

c) Dos triángulos que tienen dos ángulos y un lado iguales son congruentes.

Un teorema es una proposición general que, sin ser evidente, es demostrable. El teorema de Pitágoras (siglo V a. C.) era conocido desde un milenio antes en Babilonia y en China, como queda dicho; se atribuye la primera demostración a la utilización de una construcción geométrica basada en la disección de dos cuadrados iguales, en la que intervienen por un lado cuatro triángulos iguales entre sí y, por otro, dos cuadrados más pequeños. El área que queda libre en uno de los dos cuadrados coincide con el cuadrado de la hipotenusa, en tanto los dos cuadrados que se forman en el otro coinciden con los cuadrados de los catetos. La demostración, como las 370 que hoy se conocen, son construcciones geométricas que no pueden proporcionar la exactitud de una demostración matemática.

El cálculo del valor de π era necesario para conocer la longitud de la circunferencia, el área del círculo y también para obtener la cuadratura de éste, uno de los tres problemas insolubles formulados por los griegos. El cálculo numérico llegó en 1992 a identificar un trillón de decimales, sin que aparezca en ellos ninguna fracción periódica. Una solución geométrica fue desarrollada por Eudoxo, que utilizó magnitudes en vez de números, al inscribir un cuadrado en un círculo y duplicar cada lado. La duplicación de los lados da lugar a polígonos más complejos cuya superficie se aproxima a la del circulo sin llegar a alcanzarla nunca. Es el método de exhaución (preludio del análisis infinitesimal).

Euclides (c. 350-265 a. C.) reunió los conocimientos fundamentales de geometría y álgebra en los Elementos, la obra más influyente en su género, con miles de ediciones (se dice que es el libro reeditado en más ocasiones después de la Biblia). Comienza con las definiciones de punto, línea, ángulo, plano, figura, sólido, y así hasta 23 conceptos. Asimismo, se formulan una serie de principios, de los que cinco son generales (axiomas):

1. Si se añade lo mismo a los iguales, los totales son iguales.

2. El todo es mayor que la parte.

3. La unión de dos puntos es la línea recta.

4. Es posible trazar una circunferencia con un punto como centro y un radio igual a un segmento dado.

5. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.

A partir de ellos demostró las 465 proposiciones o teoremas que componen la obra. Al enunciado de cada una de las proposiciones sigue su demostración y corolarios. Con los Elementos de Euclides se inició el método de la postulación, que parte de la formulación de axiomas, proposiciones generales que todos aceptan, y postulados geométricos.

En el libro I se demuestran las propiedades de los triángulos y se incluyen los teoremas que prueban la congruencia de dos de ellos. Se definen las paralelas y sus posibilidades, y se prueba que la suma de los ángulos de un rectángulo es dos rectos. Para llegar a este resultado los únicos instrumentos que se utilizaron fueron la regla y el compás. En el libro IV se construyen los polígonos regulares de 3, 4, 5, 6 y 15 lados, y su inscripción en un círculo.

Euclides dedicó tres libros a exponer el pensamiento de Eudoxo, formuló el teorema fundamental de la aritmética, según el cual «todo entero mayor que uno se puede expresar como el producto de números primos».

Figuras geométricas. Página de Elementos, de Euclides

Merece mención especial Arquímedes (c. 287-212 a. C.), que proporcionó el primer procedimiento conocido para calcular el valor de π, para lo cual utilizó el método de exhaución: construyó un polígono inscrito y otro circunscrito a un círculo, calculó el perímetro de ambos y situó el valor de π entre dos cocientes: 223/71 y 22/7. Ptolomeo utilizó una tabla de cuerdas que daba las longitudes de éstas para ángulos de uno y medio grado. La longitud de la cuerda correspondiente a un grado se multiplicaba por 360 y el producto se dividía por la longitud del polígono, para obtener el valor de π, 3º 8’ 30’’, que equivale a 377/120 = 3,1416. Zu Chong-Zhi (c. 480) obtuvo los seis primeros decimales exactos, 3,141592, resultado que no se mejoró hasta el siglo XVI. La medida de los triángulos se basa en la de los ángulos interiores de las figuras planas de tres lados. Se mide en grados de circunferencia; mientras que el ángulo «recto» es el que se forma por la intersección de dos rectas perpendiculares (90º), los que son mayores se denominan «obtusos» y los menores «agudos». Los matemáticos de Alejandría y los romanos dedicados al estudio de los triángulos rectángulos definieron las razones trigonométricas: seno, coseno, tangente (el cociente, respectivamente, entre el lado opuesto al ángulo y la hipotenusa, el lado adyacente y la hipotenusa, y entre el seno y el coseno).

El estudio de las relaciones entre ángulos o, en otras palabras, la identificación de las razones que se observan entre los lados y los ángulos de los triángulos rectángulos, cuyo valor se expresa en grados, constituye la trigonometría. Hiparco de Nicea (c. 149-120 a. C.) creó un método específico para medir los valores de las razones, que, expresado en forma algebraica, es como sigue:

seno α = a/c

coseno α = b/c

tangente α = a/b

Las razones inversas son:

cosecante del seno α = c/a

secante del coseno α = c/b

cotangente de la tangente α = a/b

Entre los muchos resultados trigonométricos, mencionaremos la ley de los senos, que describe las proporciones entre los ángulos y los lados, A, B y C, de un triángulo:

a/seno de A = b/seno de B = c/seno de C

La invención de la trigonometría como medio de cálculo geométrico en la Antigüedad fue importante tanto en la astronomía como en la navegación, contribuyendo al éxito de la Revolución Científica de los siglos XVI y XVII. Diremos más sobre esta rama de la matemática en el capítulo 7.

4. Ecuaciones, álgebra

Los problemas matemáticos se basan en el conocimiento de las relaciones que existen entre diferentes magnitudes. Es, por ejemplo, necesario conocer la serie de los números naturales para descubrir el elemento desconocido de una proporción y hay que conocer la ecuación del movimiento —la velocidad es igual a la relación entre el espacio recorrido y el tiempo transcurrido— para calcular el valor de las variables que contiene, en este caso el espacio y el tiempo. Mientras que la aritmética se limitaba al cálculo elemental, el álgebra, desarrollada especialmente por los árabes —testigo de tal relación es el propio nombre: «álgebra» significa «recomposición» o «reintegración»—, sustituía los números por letras para operar sin necesidad de calcular. Las ecuaciones son igualdades que relacionan dos magnitudes o conjuntos de ellas. La razón entre la longitud y el radio de la circunferencia es igual a π; y la proporción o igualdad de dos razones se expresa como a/b = c/d. Si multiplicamos cada numerador por el producto de los denominadores encontraremos que a · d = b · c.

Dada la igualdad que incluye una ecuación, es posible calcular el valor de cualquiera de sus elementos si conocemos los demás. La ecuación a · x = c · b se resuelve al aislar la incógnita de uno de los términos mediante técnicas específicas, como la transposición de un término de una a otra parte de la igualdad, si al mismo tiempo se cambia el signo de la operación: menos si era más y viceversa. Fue al-Khwarizmi quien introdujo en el siglo X este tipo de procedimiento algebraico: la transposición de términos para eliminar las cantidades negativas —x = 40 – 3x se convertía en 4x = 40— y la sustitución —15 + x2 = 5x + 25 en x2 – 5x = 10—.

La asociación de varias ecuaciones en un sistema permite calcular con varias incógnitas si se pueden formular tantas ecuaciones como incógnitas.

Las primeras ecuaciones se expresaron en forma literaria (álgebra retórica), la introducción de abreviaturas y símbolos es álgebra sincopada y con Diofanto apareció el álgebra simbólica, que no se generalizó hasta la introducción del algebra cartesiana. Las tablillas babilónicas del II milenio a. C. incluyen ejemplos de álgebra retórica que, en vez de una notación propia, utilizaban la descripción literaria. Los pitagóricos representaron los números mediante líneas, y Euclides recogió como proposiciones geométricas, «Si una línea recta se divide en dos partes cualesquiera, el cuadrado de esta línea es igual a la suma de los cuadrados de cada una de las partes y de los rectángulos formados por éstas», identidades algebraicas: (a + b)2 = a2 + 2a · b + b2. La Aritmética de Diofanto comprendía una teoría de los números algebraicos y 130 problemas de números racionales y positivos, resueltos mediante ecuaciones lineales y cuadradas, de los que sólo ofrecía los resultados. Por ejemplo, «Buscar tres números tales que la suma sea un cuadrado, lo mismo que la suma de dos de ellos», para el cual daba como solución 40, 80 y 320. Fue el primero en introducir una notación algebraica sincopada. En la India, Bramagupta (n. 598) encontró el medio de calcular la suma de cualquier número de elementos de una serie: de la de los enteros y positivos, de los cuadrados y los cubos de los anteriores, con sólo conocer el primero y último término y la diferencia entre uno y el siguiente (razón).

5. Cosmología: el sistema geocéntrico

Kosmos era una de las denominaciones que los griegos usaban para referirse al Universo, «cosmogonía» era el relato de la creación divina, mientras que «cosmología» es un neologismo del siglo XVIII para referirse a la concepción global del Universo. Antes de que se crease la palabra se había escrito mucho sobre el tema utilizando los conocimientos astronómicos para construir un sistema del mundo. Los clásicos de la cosmología incluyeron a la Tierra entre los cuerpos celestes. Lo que distingue a la cosmología de la astronomía es el método del conocimiento: la observación en ésta y la especulación en aquélla. El uso que la cosmología hace del conocimiento astronómico producía hipótesis que se ofrecían como explicaciones de la naturaleza del mundo.

Los pitagóricos propusieron la idea de que tanto el cosmos como la Tierra eran esferas, figuras cerradas y perfectas cuyos puntos equidistan del centro. En el centro de la esfera colocaron un gran fuego que no identificaron como el Sol, y en torno a él se movían en círculos concéntricos diez cuerpos celestes con velocidad uniforme: la Antitierra, que ocultaba el fuego a los humanos, la Tierra, la Luna, el Sol, cinco planetas y la esfera de las estrellas fijas. En el Timeo, uno de los últimos escritos de Platón, se incluye una versión de la creación, que atribuye al demiurgo, una figuramíticaque no era divina ni humana. Las esferas cristalinas de Pitágoras y los cuatro elementos de Empédocles le brindaron los medios para describir el cosmos: un ser único, dotado de ánima, esférico y con un movimiento circular uniforme. Su opinión sobre la eternidad del cosmos depende de la interpretación que se haga del original. Un párrafo describe el mundo como totalidad: «El demiurgo lo ha compuesto de todo el fuego, todo el aire, de toda el agua y de toda la tierra y no ha dejado fuera del mundo ninguna parte de ningún elemento como tampoco ninguna cualidad».

Eudoxo de Cnido, que estudió algún tiempo con Platón, construyó una sofisticada descripción de las partes del cosmos —estrellas y planetas— y de sus movimientos en un escrito perdido (De las velocidades), del que sólo se conservan fragmentos y un comentario. Una cuestión planteada por Platón, en qué condiciones el movimiento uniforme de las esferas puede explicar los movimientos aparentes de los planetas, le llevó a construir el primer modelo geométrico del cosmos: imaginó tres esferas para describir el movimiento de la Luna y el Sol alrededor de la Tierra (sistema geocéntrico) y cuatro para los otros planetas. Con la esfera de las estrellas fijas llegó a un total de 27 esferas homocéntricas. El sistema no explicaba el movimiento retrogrado de los planetas, manifiesto para cualquiera que mirase al cielo. Aristarco de Samos (310-230 a. C.) aportó dos novedades, conocidas por una cita de Arquímedes, que resultaron ciertas a pesar del rechazo que merecieron a Aristóteles: la centralidad del Sol (sistema heliocéntrico) y la rotación de la Tierra para explicar el movimiento aparente de las estrellas.

Apolonio de Perga (c. 262-190 a. C.) complicó la descripción del Universo para explicar las irregularidades del movimiento, para «salvar las apariencias», mediante la introducción de dos novedades: el desplazamiento de la Tierra del centro del Universo y la identificación de un punto equidistante al otro lado del centro geométrico (ecuante) desde el cualel movimientoera uniforme. Paraexplicar el movimiento retrogrado visible situó al planeta en un pequeño círculo (epiciclo) que se movía a lo largo de la órbita (deferente). Tres siglos después, Ptolomeo (c. 100-170) completó y sistematizó este modelo del mundo, que sobrevivió hasta el siglo XVI, en un texto al que los árabes dieron el nombre con que es conocido, Almagesto (El más grande). Fue la cumbre del sistema geocéntrico.

Universo geocéntrico en el Libro de la Cosmografía de Pedro Apiano

Aristóteles dedicó una de sus obras, el tratado Acerca del cielo, a la cosmología, que consideraba distinta de la astronomía. La composición del Universo y el movimiento de los cuerpos celestes eran los puntos que atraían su atención, junto a una caracterización inicial del cosmos como cuerpo perfecto, simple, único, incorruptible, esférico lo mismo que los astros que lo forman, y lleno porque la naturaleza es incompatible con el vacío. Situó a la Tierra inmóvil en el centro del mundo y afirmó, de acuerdo con la impresión más inmediata, que todos los cuerpos giraban en torno a ella. Distinguió dos espacios dentro de la esfera celeste. El sublunar estaba compuesto por los cuatro elementos, tierra, agua, aire y fuego, cada uno de ellos con la tendencia a ocupar su «lugar natural»: la tierra abajo, el agua encima, en contra de la descripción que la hacía flotar sobre el océano, y el aire y el fuego por encima de ambos; de este modo explicaba la existencia de los continentes, los mares y la atmosfera. Por encima de la Luna situaba las esferas de los astros. La parte inferior del mundo era el lugar donde se producían los fenómenos astronómicos y meteorológicos. Por otra parte, el mundo supralunar estaba formado por una quintaesencia, o éter, que no tenía propiedades: no era caliente ni fría, ni húmeda ni seca. En esa zona supralunar se encontraban las esferas que transportan a los astros, cuyo número elevó a 47.

La teoría del movimiento refleja la distinción entre las esencias que forman las cosas: los cuerpos son simples o compuestos y «los movimientos de los cuerpos simples son simples, los de los compuestos son mixtos». Los cuerpos simples son los elementos que tienen un «lugar natural». En Acerca del cielo determinaba la naturaleza del movimiento y sus causas: «todas las cosas permanecen en reposo y se mueven por su naturaleza o por la fuerza, las que lo hacen por naturaleza son llevadas a un lugar en el que permanecen en reposo sin necesidad de ser obligadas […]. Por el contrario, las que están o se mueven por la fuerza, permanecen en él por la fuerza».

6. La aplicación del cálculo a la observación

La aplicación del cálculo a los fenómenos naturales abrió el camino que conducía a la ciencia, entendida ésta como un complejo sistema teórico-experimental. Arquímedes dio los primeros pasos con el estudio del equilibrio de los cuerpos (estática). Dar nombre a los fenómenos y describir sus caracteres es lo que hacía la observación, pero Arquímedes fue más allá al descubrir —lo expuso en el Equilibrio de las figuras planas— la posición del centro de gravedad (baricentro) de las figuras regulares y explicar en función de éste el equilibrio de los cuerpos: estable, inestable e indiferente. La invención de la rueda, única o pareja, acoplada a un eje giratorio supuso la llegada de la primera maquina elemental. La cuña,de origen desconocido como la anterior, servía para dividir la madera y la piedra. Los demás artificios mecánicos, la palanca, el tornillo y la polea, se atribuyen a Arquímedes, que explicó su uso. La ley de la palanca se basa en la doctrina de las proporciones: el movimiento es proporcional a la fuerza aplicada y a la distancia entre el punto de aplicación y el de apoyo (fulcro). La mejor exposición de la ley se encuentra en la conocida frase que se le atribuye: «Dadme un punto de apoyo y moveré el Universo».

El arquitecto romano Marco Vitrubio (c. 70-15 a. C.) le atribuyó uno de los sucesos más conocidos de la historia, aunque confundiendo dos cosas distintas. Contó cómo Hierón de Siracusa sospechaba que el orfebre al que había encargado que fabricase una corona había utilizado menos oro del que había recibido para labrarla. Para comprobarlo sin destruir la obra de arte acudió a Arquímedes, que habría descubierto el principio de su nombre: «Si se sumerge en un fluido un sólido más pesado, se hundirá hasta el fondo y su peso disminuirá en una cantidad igual al peso del agua desplazada», principio que se encuentra en su tratado De los cuerpos flotantes. El problema planteado tenía una solución elemental, bastaba con sumergir los dos platos de la balanza en un recipiente lleno de agua, el primero con la corona y el segundo con el lingote del metal, para ver como éste se sumergía más profundamente. El relato de Vitrubio planteaba en realidad un problema distinto, el de la densidad de las distintas materias, voz que los romanos usaron para referirse al espesor.

7. La especulación médica

Otro de los grandes dominios en el que la especulación se manifestó pronto fue en el de la curación de enfermedades y el tratamiento de heridas o traumas. Y fue precisamente el hecho de que la especulación se introdujese en este campo lo que permite hablar plenamente de medicina en época temprana. El primer texto médico del que se tiene noticia en el que aflora un cierto sistema especulativo-organizativo es Sobre la naturaleza, que tuvo como autor a Alcmeón de Crotona (c. 500 a. C.), localidad situada en el sur de la actual Italia. De él sólo se han identificado algunos fragmentos. «Lo que conserva la salud», se lee en aquella obra, «es el equilibrio de las potencias: de lo húmedo y lo seco, de lo frío y lo caliente, de lo amargo y lo dulce, etc., pero el predominio de una entre ellas es causa de enfermedad; pues el predominio de cada opuesto provoca la corrupción». Considerado como el primer anatomista, es posible que la experiencia de Alcmeón se limitase a la extracción del globo del ojo de un animal y a la observación de los vasos (del nervio óptico) que apuntan hacia el cerebro. Según Teofrasto fue el primero en distinguir entre percepción y comprensión, lo que le permitió diferenciar entre animales y humanos. La conclusión más relevante decía: «Todos los sentidos están, de una u otra forma, conectados con el cerebro».

Una de las manifestaciones más notorias de la especulación en la medicina antigua se encuentra en la presencia de los filósofos en la medicina griega. Que se ocupasen también ellos de la medicina es algo que podemos entender teniendo en cuenta la incapacidad de encontrar respuestas satisfactorias a las cuestiones que surgían en el contexto médico. Si a esta incapacidad añadimos, por un lado, la dimensión integradora y la ambición explicativa de la medicina griega y, por otro, que fue entonces, en el mundo helenístico, donde surgió la filosofía con el objetivo de, precisamente, proporcionar sistemas integradores explicativos, entonces podemos comprender con cierta facilidad que durante siglos los escritos filosóficos compitieran con escritos médicos por el conocimiento de la physis humana, cada uno desde su particular punto de vista. Describir la constitución normal del sujeto para apreciar los síntomas de la enfermedad fue la aportación de los segundos, en tanto los primeros construían sistemas globales.

Entre los ejemplos más notorios de los filósofos cuyas doctrinas influyeron en la medicina destacan tres: Empédocles de Agrigento, Platón y Aristóteles. Sanador al mismo tiempo que filósofo, como ya señalamos, Empédocles formuló la doctrina presocrática según la cual todos los seres naturales están compuestos por una mezcla en proporciones variables de cuatro elementos de cualidades opuestas (agua, aire, tierra y fuego), una doctrina que mantuvo su influencia durante prácticamente dos milenios, tanto en la medicina como en la química (campo este último en el que recibió el golpe de gracia, de manos de Lavoisier). Por su parte, Platón defendió la idea, expresada con anterioridad en estas páginas, de la existencia de tres sistemas corporales —corazón, hígado y cerebro— conectados también a los estados mentales. Pero sus aportaciones en el campo de la especulación médica no se pueden comparar a las de Aristóteles, su discípulo, uno de cuyos grandes intereses, según vimos en el capítulo anterior, fue la observación de los seres vivos, si bien el filósofo-científico que había en él no podía contentarse con enumerar y describir, y así nos encontramos con esquemas organizativos; esto es, especulativos. La abundancia de datos anatómico-biológicos que aparecen en los textos aristotélicos no debe llevarnos a pensar, en efecto, que éstos eran su objetivo principal, pues no olvidó en absoluto que, una vez identificados «los caracteres distintivos y los atributos comunes», había que «intentar descubrir las causas». Y no perdamos de vista que para Aristóteles el concepto de «causa» era diferente al nuestro: incluía, por ejemplo, no sólo la causa eficiente, sino también la causa final, de ahí que caractericemos el sistema que pretendía descubrir en el mundo natural como teleológico. Eso sí, negaba que la naturaleza actuase con algún propósito consciente, o, si se prefiere decir así, que existiese una inteligencia divina que controlase desde afuera los cambios de la naturaleza. Si existe una finalidad en los procesos naturales (biológicos o no), ésta es inmanente a los objetos mismos, a los animales y plantas que viven y crecen: la semilla de una planta crece hasta convertirse de forma natural en el ejemplar maduro, y el niño hace lo mismo hasta llegar a ser un adulto.

De acuerdo con la doctrina de las causas, Aristóteles organizó sus observaciones ayudándose de dos conceptos: el de órgano y el de sistema. Concebía el órgano como una asociación de materia y función. Se caracterizaba por ocupar una posición determinada en el cuerpo y un contorno que lo definía, mientras que su función se descubría mediante la observación de los fenómenos. Los órganos principales se encontraban en las cavidades corporales: cefálica (cerebro), torácica (corazón) y abdominal (hígado), aunque el número total fue cambiando al avanzar los conocimientos. El nivel siguiente de organización lo constituían los sistemas, compuestos de varios órganos, que participaban en una función determinada. El sistema respiratorio se consideraba compuesto entre otros órganos por los pulmones, el diafragma y los bronquios, mientras que el circulatorio lo estaba por el corazón y los vasos sanguíneos, y el nervioso por el cerebro, la médula espinal y los nervios. En principio, los sistemas se referían a las funciones, aunque había casos en que dos sistemas participaban de la misma función. Hoy sabemos que el organismo humano toma del exterior aire y alimentos para obtener el oxígeno y la glucosa necesarios para su actividad y pervivencia.

Galeno e Hipócrates, las autoridades de la medicina antigua

Como sucede en prácticamente todos los ámbitos del saber, los conocimientos médicos alcanzados en Grecia y Roma, que tuvieron a Hipócrates y Galeno como los representantes más distinguidos, recorrieron el mundo árabe, experimentando en este tránsito modificaciones y mejoras. La versión de los textos clásicos médicos comenzó con los abasidas. Hunayn ibn Ishaq (809-873), un nestoriano sirio que aprendió árabe, persa y griego, fue la figura dominante en la recepción de la cultura clásica. Tradujo al árabe y al sirio 116 títulos, entre ellos el Timeo de Platón, la Metafísica de Aristóteles y el Antiguo Testamento, y escribió 26 estudios médicos y una compilación de la mayoría de los escritos de Galeno, entre ellos siete cuyos originales se perdieron. Su aportación a la anatomía se encuentra en los Diez tratados de oftalmología, la primera obra especializada en la materia. Un persa, Al-Razi (865-925), racionalista y crítico frente a la religión y ante Galeno, al que dedicó una de sus obras (Dudas sobre Galeno), rechazó la doctrina de los humores y distinguió entre la viruela y el sarampión. Ibn Sinã (987-1037), natural de Afshana, actualmente en Uzbekistán, y conocido en Europa como Avicena, fue un autor prolífico, un filósofo que se ocupó de la medicina. El Canon de la medicina es una enciclopedia escrita en árabe que se convirtió en la principal autoridad en la materia hasta el siglo XVIII. Destacó el papel de la anatomía para la medicina: «Con respecto a las partes del cuerpo y sus funciones, es necesario que se consideren a través de la observación y la disección». Amplió, asimismo, la teoría de los humores para explicar otros caracteres de la personalidad. Un árabe malequita, Ibn al-Quff (1233-1286), fue el editor de la mayor enciclopedia quirúrgica del islam, describió la conexión de las arterias y las venas a través de unos capilares invisibles y explicó la acción de las válvulas cardiacas en la circulación de la sangre, ideas todas ellas cuya verificación tendría lugar con el microscopio. Ibn al-Nafis (1213-1288), un médico sirio (nació en Damasco), sustituyó la versión galénica de la circulación pulmonar y publicó el primer tratado de oftalmología, El libro comprehensivo del arte de la medicina, pensado para 300 volúmenes, de los que escribió 80. Las aportaciones anatómicas, dispersas a lo largo de la obra, restauraron el crédito de las ideas galénicas de los humores y los temperamentos.