El número entero positivo más pequeño es el 1. Es la unidad indivisible en aritmética: el único número entero positivo que no puede obtenerse sumando dos números enteros positivos más pequeños.
El número 1 es por el que empezamos a contar. Dado cualquier número, creamos el número siguiente añadiendo 1:
2 = 1 + 1
3 = (1 + 1) + 1
4 = ((1 + 1) + 1) + 1
y así sucesivamente. Los paréntesis nos indican qué operaciones realizamos primero. Normalmente se omiten porque resulta que en este caso el orden no importa, pero es mejor ser cuidadoso al principio.
A partir de estas definiciones y las leyes básicas del álgebra, las cuales en un desarrollo lógico formal deben enunciarse explícitamente, podemos incluso probar el famoso teorema «2 + 2 = 4». La prueba cabe en una línea:
2 + 2 = (1 + 1) + (1 + 1) = ((1 + 1) + 1) + 1 = 4
En el siglo XX, cuando algunos matemáticos estaban intentando establecer los fundamentos de las matemáticas sobre unas bases lógicas firmes, usaron la misma idea, pero por razones técnicas empezaron desde 0 [véase 0].
El número 1 expresa una idea matemática importante: la de unicidad. Un objeto matemático con una propiedad particular es único si solo un objeto tiene esa propiedad. Por ejemplo, 2 es el único número primo par. La unicidad es importante porque nos permite probar que algunos objetos matemáticos ligeramente misteriosos en realidad son objetos que ya conocemos. Por ejemplo, si podemos probar que algún número positivo n desconocido es a la vez par y primo, entonces n debe ser igual a 2. Para un ejemplo más complicado, el dodecaedro es el único sólido regular con caras pentagonales [véase 5]. De modo que si en alguna obra de matemáticas nos encontramos con un sólido regular con caras pentagonales, sabemos de inmediato, sin tener que hacer nada más, que tiene que ser un dodecaedro. Todas las demás propiedades de un dodecaedro vienen entonces a continuación.
Nunca nadie se ha quejado por tener que aprender la tabla del uno. «Uno por uno es uno, uno por dos es dos, uno por tres es tres...» Si multiplicamos cualquier número por 1, o lo dividimos por 1, sigue siendo el mismo número.
n × 1 = n n : 1 = n
Es el único número que se comporta de este modo.
En consecuencia, 1 es igual a su cuadrado, su cubo y todas las potencias mayores:
12 = 1 × 1 = 1
13 = 1 × 1 × 1 = 1
14 = 1 × 1 × 1 × 1 = 1
y así sucesivamente. Hay solo otro número con esta propiedad, el 0.
Por esta razón, generalmente el número 1 se omite en álgebra cuando aparece como coeficiente en una fórmula. Por ejemplo, en lugar de 1x2 + 3x + 4, escribimos x2 + 3x + 4. Solo hay otro número tratado de esta manera, el 0, con el cual sucede algo todavía más drástico: en lugar de 0x2 + 3x + 4, escribimos 3x + 4, y dejamos fuera el término 0x2 por completo.
Solía serlo, pero ya no lo es. El número no ha cambiado, pero la definición de «primo» sí.
Algunos números pueden obtenerse multiplicando otros dos números. Por ejemplo, 6 = 2 × 3 y 25 = 5 × 5. Este tipo de número decimos que es compuesto. Otros números no se pueden obtener de este modo: son los que llamamos primos.
Según esta definición, 1 es primo, y hasta hace 150 años esa era la convención estándar. Pero entonces resultó que era más conveniente considerar 1 como un caso excepcional. En la actualidad se considera que ni es primo ni es compuesto, sino que es la unidad. Lo explicaré enseguida, pero antes necesitamos introducir otras ideas.
La secuencia de primos empieza
2 3 5 7 11 13 17 19 23 29 31 37 41 47
y aparentemente es muy irregular, excepto por unos cuantos patrones sencillos. Todos los primos excepto el 2 son impares, porque cualquier número par es divisible entre 2. Solo 5 puede acabar en 5 y ninguno puede acabar en 0, porque esos números son divisibles por 5.
Todo número entero mayor que 1 puede expresarse como un producto de números primos. Este proceso se llama factorización y los primos involucrados en él se llaman los factores primos del número. Además, la factorización es única, dejando al margen el cambiar de orden en el cual aparecen los factores. Por ejemplo:
60 = 2 × 2 × 3 × 5 = 2 × 3 × 2 × 5 = 5 × 3 × 2 × 2
etcétera, pero el único modo de obtener 60 es reordenar la primera lista de primos. Por ejemplo, no hay una factorización en números primos que sea 60 = 7 × algo.
Esta propiedad se llama «unicidad de la factorización en números primos». Probablemente parece obvio, pero a menos que hayas hecho una carrera de matemáticas, me sorprendería que alguien te hubiese indicado cómo probarlo. Euclides expuso una demostración en sus Elementos y se debió de dar cuenta de que no es obvio ni fácil, porque se toma su tiempo preparando el terreno. Para algunos sistemas más generales parecidos a los numéricos, ni siquiera es cierto. Pero sí lo es para la aritmética ordinaria, y es un arma muy efectiva en la armería matemática.
Las factorizaciones de los números del 2 al 31 son:
2 (primo)
3 (primo)
4 = 22
5 (primo)
6 = 2 × 3
7 (primo)
8 = 23
9 = 32
10 = 2 × 5
11 (primo)
12 = 22 × 3
13 (primo)
14 = 2 × 7
15 = 3 × 5
16 = 24
17 (primo)
18 = 2 × 32
19 (primo)
20 = 22 × 5
21 = 3 × 7
22 = 2 × 11
23 (primo)
24 = 23 × 3
25 = 52
26 = 2 × 13
27 = 33
28 = 22 × 7
29 (primo)
30 = 2 × 3 × 5
31 (primo)
La principal razón para tratar al 1 como un caso excepcional es que si contamos 1 como primo, entonces la factorización no es única. Por ejemplo 6 = 2 × 3 = 1 × 2 × 3 = 1 × 1 × 2 × 3, etcétera. Una consecuencia aparentemente extraña de esta convención es que 1 no tiene factores primos. Sin embargo, aun así es un producto de primos de un modo bastante extraño: 1 es el producto de un «conjunto vacío» de primos. Esto es, si no multiplicas ningún número primo, obtienes 1. Probablemente parezca una locura, pero hay razones sensatas para esta convención. De modo similar, si «multiplicas» un único número primo, obtienes ese primo.