Capítulo 1

Simetría

Una mancha de tinta en un trozo de papel no es algo especialmente atractivo para el ojo, pero si doblamos el papel antes de que la tinta se seque, podemos obtener algo parecido a la figura 1, que resulta mucho más fascinante. De hecho, la interpretación de manchas de tinta como ésta constituye la base del famoso test de Rorschach, desarrollado en los años veinte por el psiquiatra suizo Hermann Rorschach. El propósito declarado de este test es lograr averiguar los temores ocultos, las fantasías salvajes y los pensamientos más profundos de los entrevistados que interpretan las ambiguas siluetas. El valor real de este test como «radiografía de la mente» es objeto de fuerte debate en los círculos psicológicos. Como dijo en una ocasión Scott Lilienfeld, psicólogo de la Universidad de Emory: «De la mente de quién, ¿del paciente o del examinador?» Sin embargo, no se puede negar el hecho de que imágenes como la de la figura 1 transmiten una especie de impresión atractiva y fascinante. ¿Por qué?

¿Será porque el cuerpo humano, la mayoría de los animales y muchos artefactos humanos poseen una simetría bilateral similar? Y ante todo: ¿por qué todos esos rasgos zoológicos y creaciones de la imaginación humana presentan una simetría así?

La mayor parte de las personas perciben las composiciones armoniosas tales como El nacimiento de Venus de Botticelli (fig. 2) como algo simétrico. El historiador del arte Ernst H. Gombrich señala incluso que «las libertades que Botticelli se tomó con la naturaleza para conseguir un contorno agradecido potencian la belleza y la armonía del diseño». Sin embargo, los matemáticos dirían que la composición de colores y formas de ese cuadro no son en absoluto simétricos en sentido matemático. En cambio, la mayoría de los espectadores no matemáticos no perciben el patrón de la figura 3 como asimétrico, aunque en realidad lo es de acuerdo con la definición matemática formal. Entonces, ¿qué es realmente la simetría? ¿Qué papel desempeña, si es que tiene alguno, en la percepción? ¿Qué relación guarda con nuestra sensibilidad estética? En el reino de la ciencia, ¿por qué se ha convertido la simetría en un concepto crucial en nuestra concepción del cosmos que nos rodea y en las principales teorías que tratan de explicarlo? Dado que la simetría abarca un rango de disciplinas tan amplio, ¿qué «lenguaje» y qué «gramática» utilizamos para describir y caracterizar las simetrías y sus atributos, y cómo se inventó ese lenguaje universal? En un tono más desenfadado, la simetría ¿puede dar respuesta a la pregunta fundamental que plantea el título de una de las canciones de la estrella de rock Rod Stewart: Do Ya Think I’m Sexy?

Figura 2

Voy a tratar de responder, al menos en parte, a todas estas preguntas y a muchas más. De paso, confío en que toda la historia presentará tanto el lado humanístico de las matemáticas como también, y más importante, el lado humano de los matemáticos. Como veremos, la simetría es la herramienta primordial para tender un puente sobre el vacío entre la ciencia y el arte, entre la psicología y las matemáticas. Abarca objetos y conceptos que van desde las alfombras persas hasta las moléculas de la vida, desde la Capilla Sixtina hasta la ansiada «Teoría del todo». Sin embargo, la teoría de grupos, el lenguaje matemático que describe la esencia de la simetría y explora sus propiedades, no surgió del estudio de las simetrías. Esta idea increíblemente unificadora del pensamiento moderno emanó más bien de una fuente de lo más inverosímil: una ecuación que no podía resolverse. La dramática y tortuosa historia de esta ecuación es una parte esencial de esta saga intelectual. Al mismo tiempo, esta historia arrojará alguna luz sobre la soledad del genio y la tenacidad del intelecto humano ante desafíos aparentemente insuperables. He realizado un tremendo esfuerzo para tratar de resolver el misterio de la muerte del protagonista de esta historia, que se remonta a más de dos siglos atrás: el brillante matemático Évariste Galois. Y creo que me he acercado más que nunca a la verdad.

El ingenioso dramaturgo George Bernard Shaw dijo en una ocasión: «El hombre razonable se adapta al mundo; el que no lo es, persiste tratando de que el mundo se adapte a él. Por tanto, todo el progreso depende del hombre poco razonable.» En esta obra encontraremos muchos hombres y mujeres poco razonables. El proceso creativo, por su misma naturaleza, busca terrenos intelectuales y emocionales sin explorar. Las breves incursiones en la abstracción matemática nos permitirán vislumbrar la naturaleza misma de la creatividad. Voy a comenzar por una concisa exploración del maravilloso mundo de las simetrías.

Inmunidad a los cambios

La palabra simetría tiene raíces muy antiguas: procede del griego sym y metria, lo que traducimos por «la misma medida». Cuando los griegos tachaban una obra de arte o un diseño arquitectónico de simétrico, se referían a que era posible identificar cualquier pequeño fragmento de la obra, de tal forma que las dimensiones de todas las partes restantes contenían ese fragmento un número exacto de veces (las partes eran «conmensurables»). Esta primera definición se corresponde más con nuestra idea moderna de la proporción que con la simetría. No obstante, los grandes filósofos Platón (428/427–348/347 a.C.) y Aristóteles (384-322 a.C.) asociaron de inmediato la simetría con la belleza. Según palabras de Aristóteles, «Las principales formas de belleza son disposición ordenada [en griego taxis], proporción [symmetria] y calidad de definitivo [horismenon], las cuales se revelan especialmente a través de las matemáticas.» Siguiendo los pasos de los griegos, la identificación de la simetría con la «proporción adecuada» fue posteriormente propagada por el influyente arquitecto romano Vitruvio (alrededor del 70-25 a.C.) y persistió hasta el Renacimiento. En su De Architectura Libri Decem (Diez libros sobre arquitectura), literalmente la biblia de la arquitectura europea durante siglos, Vitruvio escribe:

El diseño de una plantilla depende de la simetría, los principios de la cual deben ser observados con sumo cuidado por el arquitecto. Se refieren a la proporción. La proporción es la correspondencia entre las medidas de los miembros de una obra completa y del todo en relación con una parte determinada seleccionada como estándar. De aquí derivan los principios de la simetría.

El significado moderno de la simetría (introducida por primera vez a finales del siglo XVIII) en el preciso sentido matemático es, en realidad, «inmunidad a un posible cambio». O, como dijo en una ocasión el matemático Hermann Weyl (1885-1955), «Una cosa es simétrica si se le puede hacer algo de tal modo que al acabar tenga el mismo aspecto que antes». Vamos a examinar por ejemplo los siguientes versos:

Is it odd how asymmetrical

Is «symmetry»?

«Symmetry» is asymmetrical.

How odd it is.

¿Es extraño lo asimétrica

que es la «simetría»?

La «simetría» es asimétrica.

¡Qué extraño es!

Esta estrofa permanece inalterable si se lee palabra por palabra desde el final hasta el principio: es simétrica en relación con su lectura hacia atrás. Si se imagina las palabras como cuentas ensartadas en un hilo, puede considerar esta lectura al revés como una especie de reflejo (no literal) de la estrofa en un espejo. Esta estrofa no cambia cuando se refleja en el espejo en el sentido antes mencionado: es simétrica respecto a ese reflejo en el espejo. O bien, si prefiere pensar en términos de leer el poema en voz alta, entonces la lectura hacia atrás corresponde a una inversión temporal, algo así como rebobinar una cinta de vídeo (tampoco esta vez de forma literal, ya que los sonidos individuales no se invierten). Las frases que poseen esta propiedad se denominan palíndromos.

La invención de los palíndromos se atribuye generalmente a Sotades el Obsceno de Maronea, que vivió en el siglo III a.C. en el Egipto dominado por los griegos. Los palíndromos han sido extremadamente populares gracias a muchos genios de los juegos de palabras, como el inglés J. A. Lindon, o al espléndido autor de matemática recreativa Martin Gardner. Uno de los divertidos palíndromos de palabras de Lindon dice: «Girl, bathing on Bikini, eyeing boy, finds boy eyeing bikini on bathing girl.» Otros palíndromos son simétricos respecto a su lectura de final a principio letra por letra: «Able was I ere I saw Elba» (atribuido en broma a Napoleón) o el título de un famoso programa de televisión NOVA: «A Man, a Plan, a Canal, Panama.»

Sorprendentemente, los palíndromos no sólo aparecen en ingeniosos juegos de palabras, sino también en la estructura del cromosoma Y que define el género masculino. La secuencia genómica entera del Y no fue completada hasta el año 2003. Éste fue el descubrimiento culminante de un esfuerzo heroico y reveló que la capacidad de conservación del cromosoma de este sexo ha sido enormemente subestimada. Otros pares cromosómicos humanos luchan contra las mutaciones dañinas intercambiando genes. Como el cromosoma Y carece de un par, los biólogos genomistas habían estimado previamente que su carga genética estaba a punto de agotarse en quizá tan sólo cinco millones de años. Sin embargo, para su sorpresa, los miembros del grupo investigador de la secuencia descubrieron que el cromosoma lucha atenuándola mediante palíndromos. Aproximadamente seis millones de sus cincuenta millones de letras de ADN forman secuencias palindrómicas, secuencias que se leen igual hacia delante y hacia atrás en las dos hebras de la doble hélice. Estas copias no sólo ofrecen un copia de seguridad en el caso de mutaciones perjudiciales, sino que también permiten al cromosoma, en cierta medida, tener sexo consigo mismo: los brazos pueden intercambiar su posición y los genes se mezclan. Como dijo el jefe del equipo investigador del MIT David Page: «El cromosoma Y es una sala de espejos.»

Naturalmente, el ejemplo más habitual de la simetría del reflejo de un espejo es la de la simetría bilateral que caracteriza el reino animal. Desde las mariposas hasta las ballenas y desde las aves a los humanos, si reflejamos la mitad izquierda en un espejo obtenemos algo prácticamente idéntico a la mitad derecha. Por el momento, voy a ignorar las pequeñas aunque tormentosas diferencias externas que sin duda existen y también el hecho de que ni la anatomía interna ni las funciones cerebrales posean una simetría bilateral.

Para mucha gente, la palabra simetría significa, en realidad, simetría bilateral. Incluso en el Webster’s Third New International Dictionary, una de las definiciones dice: «Correspondencia en tamaño, forma y posición relativa de partes que se encuentran en lados opuestos de una línea divisoria o de un plano mediano.» La descripción matemática exacta de la simetría del reflejo utiliza los mismos conceptos. Tomemos el dibujo de una mariposa simétrica bilateralmente y tracemos una línea recta de arriba abajo por la mitad de la figura. Si doblamos el dibujo por la línea, se producirá una superposición perfecta. La mariposa continúa inalterada —invariante— bajo el reflejo a lo largo de su línea central.

La simetría bilateral es tan frecuente en animales que a duras penas sí puede atribuirse al azar. De hecho, si pensamos en los animales como vastos grupos de miles y miles de millones de moléculas, hay infinitamente más formas de construir configuraciones asimétricas que simétricas a partir de esos bloques de construcción. Los trozos de un jarrón roto pueden formar un montón de formas variadas, pero sólo hay una disposición en la que todas juntas encajan para reproducir el jarrón intacto (y normalmente bilateralmente simétrico). Sin embargo, el antecedente fósil de las colinas Ediacara de Australia muestra que los organismos de cuerpo blando (Spriggina) que se remontan al período Vendiano (hace 650 a 543 millones de años) ya presentaban una simetría bilateral.

Dado que las formas de vida en la Tierra se crearon a través de eones de evolución y selección natural, de algún modo estos procesos se decantaron hacia la simetría bilateral o especular. De las diferentes apariencias que los animales podían haber adoptado, prevalecieron las simétricas bilaterales. No podemos evitar llegar a la conclusión de que esta simetría fue el resultado probable del crecimiento biológico. ¿Podemos entender la causa de esta particular predilección? Al menos, podemos intentar descubrir algunas de las raíces de la ingeniería en las leyes de la mecánica. Un hecho clave es que en la superficie terrestre todas las direcciones no fueron creadas igual. La gravedad introdujo una clara distinción entre arriba y abajo (dorsal y ventral en los animales, en lenguaje biológico). En la mayoría de los casos, lo que sube tiene que bajar, pero no al revés. Otra distinción, entre delante y detrás, es el resultado de la locomoción animal.

Cualquier animal que se mueva con relativa rapidez, ya sea por tierra, mar o aire, tiene una clara ventaja si su parte delantera es diferente de la trasera. Tener todos los órganos sensoriales, los principales detectores de luz, sonido, olor y gusto en la parte delantera ayuda sin duda alguna al animal a la hora de decidir adónde dirigirse y cuál es el mejor modo de conseguirlo. Un «radar» frontal también supone un buen sistema de alerta frente a los peligros potenciales. Tener la boca delante también puede suponer una diferencia decisiva a la hora de llegar el primero a la comida. Al mismo tiempo, el verdadero mecanismo del movimiento (especialmente en la tierra y en el aire) bajo la influencia de la fuerza gravitatoria terrestre ha generado una clara diferencia entre arriba y abajo. Una vez que la vida pasó del mar a la tierra, surgió la necesidad de algún tipo de artilugio mecánico —las patas— que trasportara al animal. Apéndices así no eran necesarios en la parte de arriba, con lo cual la diferencia entre arriba y abajo se hizo aún más evidente. La aerodinámica del vuelo (incluso bajo condiciones de gravedad terrestre) junto con la necesidad de un tren de aterrizaje y algunos recursos para moverse en tierra, se combinaron para introducir las diferencias arriba-abajo en las aves.

Sin embargo, aquí llegamos a una importante conclusión: No hay nada importante que distinguir entre derecha e izquierda ni en la tierra, ni el mar, ni el aire. El halcón cuando mira a la derecha ve el mismo panorama que cuando mira a la izquierda. No puede decirse lo mismo de arriba y abajo —arriba es el lugar del cielo donde el halcón vuela aún más alto, mientras que abajo es donde se posa y construye su nido. Bromas políticas aparte, realmente en la Tierra no hay demasiada diferencia entre derecha e izquierda porque no existen fuerzas horizontales intensas. Para estar seguros, la rotación de la Tierra alrededor de su eje y el campo magnético terrestre (el hecho de que la Tierra actúe sobre lo que la rodea como un imán) introduce una asimetría. Sin embargo, estos efectos no son tan significativos a nivel macroscópico como los de la gravedad y el veloz movimiento animal.

Hasta ahora la descripción explica por qué la simetría bilateral de los organismos vivos tiene sentido desde el punto de vista mecánico. La simetría bilateral también es económica: conseguir dos órganos por el precio de uno. Cómo surgió esta simetría, o su falta, a partir de la biología evolutiva (los genes) o incluso, y sobre todo, de las leyes de la física, es una cuestión más difícil y volveré sobre ella en los capítulos 7 y 8. Aquí me limitaré a dejar constancia de que muchos animales multicelulares desarrollan muy pronto un cuerpo embriónico que carece de simetría bilateral. La fuerza motriz que subyace a la modificación del «plan original» a medida que el embrión crece puede muy bien ser la movilidad.

No todas las naturalezas animadas viven a toda máquina. Las formas de vida que están ancladas en un sitio y son incapaces de moverse voluntariamente, como las plantas y los animales sésiles, tienen arribas y abajos muy diferentes, aunque no distinguen entre delante y detrás, derecha o izquierda. Presentan una simetría similar a la de un cono: producen reflejos simétricos en cualquier espejo que se les pase por su eje vertical central. Algunos animales que se desplazan con suma lentitud tienen una simetría similar.

Obviamente, una vez que la simetría bilateral se desarrolló en las criaturas vivientes, había todo tipo de razones para mantenerla intacta. Cualquier pérdida de una oreja o de un ojo dejaría al animal mucho más vulnerable frente a un depredador que se le acercara sigilosamente.

Cabe preguntarse si la especial configuración estándar de la que nos ha dotado la naturaleza es la óptima. El dios romano Jano, por ejemplo, era el dios de las puertas y de los nuevos comienzos, incluyendo el primer mes del año (enero). Por ello, su representación habitual es bifronte, esto es, con una cara mirando hacia delante (simbólicamente hacia el año entrante) y otra hacia detrás (hacia el año pasado). Esta disposición en los humanos, aunque útil para algunos propósitos, no habría dejado sitio para las partes del cerebro responsables de los sistemas no sensoriales. En su espléndido libro The New Ambidextrous Universe, Martin Gardner explica la historia de un artista de Chicago que tenía la costumbre de discutir las ventajas de tener varios órganos sensoriales en sitios poco usuales del cuerpo. Las orejas debajo de las axilas, por ejemplo, habrían estado más calentitas en los fríos inviernos de Chicago. No hay duda de que una configuración así se asociaría con otras deficiencias. El sentido del oído de unas orejas bajo las axilas se habría visto seriamente perjudicado a menos que uno mantuviera los brazos levantados constantemente.

Las películas de ciencia-ficción invariablemente presentan alienígenas bilateralmente simétricos. Si existieran criaturas inteligentes extraterrestres que hubieran evolucionado biológicamente, ¿qué probabilidades habría de que presentaran una simetría reflectiva? Bastantes. Dada la universalidad de las leyes de la física, y especialmente de las leyes de la gravedad y el movimiento, las formas de vida de los planetas de fuera del sistema solar tienen que enfrentarse a algunos de los mismos desafíos medioambientales que la vida en la Tierra. La fuerza gravitatoria continúa manteniéndolo todo en la superficie del planeta y crea una discriminación significativa entre arriba y abajo. De igual modo, la locomoción separa el extremo delantero del final. Con toda probabilidad, E.T. es o era ambidextro. Sin embargo, esto no significa que cualquier delegación de visitantes alienígenas se nos pareciera en algo. Cualquier civilización lo bastante evolucionada para embarcarse en un viaje interestelar probablemente haya experimentado ya la fusión de su propia especie inteligente con criaturas superiores basadas en la tecnología computacional. Lo más probable es que la superinteligencia computacional sea de un tamaño microscópico.

Algunas letras mayúsculas del alfabeto se cuentan entre los numerosos objetos creados por los humanos que son simétricos respecto a la simetría reflectiva. Si sostenemos una hoja de papel con las letras A, H, I, M, O, T, U, V, W, X, Y delante de un espejo, las letras serán iguales. Palabras (o incluso frases enteras) construidas con estas letras e impresas verticalmente, como la sencilla instrucción:

continúan inalteradas cuando se reflejan en un espejo. El grupo musical sueco ABBA, cuya música inspiró el exitoso espectáculo musical Mamma Mia, introdujo un truco en la escritura del nombre que lo convierte en simetría reflectiva (MAMMA MIA escrito verticalmente también es simétrico reflectivo). Unas pocas letras, tales como B, C, D, E, H, I, K, O, X son simétricas en relación con el reflejo en un espejo que las corte de forma horizontal. Palabras compuestas por estas letras, como COOKBOOK, BOX, CODEX o los familiares símbolos de besos y abrazos, XOXO, permanecen inalterados cuando se reflejan del revés en un espejo.

La importancia de la simetría reflectiva para nuestra percepción y apreciación estética, para la teoría matemática de las simetrías, para las leyes de la física y para la ciencia en general, no se puede exagerar, así que volveré sobre ella en varias ocasiones. Sin embargo, hay otras simetrías y son igualmente relevantes.

La juguetona arquitectura de la nieve

El título de este apartado se ha tomado de «The Snowstorm» del poeta y ensayista americano Ralph Waldo Emerson (1803-1882). Expresa el desconcierto que se siente al querer distinguir las espectaculares formas de los copos de nieve (fig. 4). Aunque esa frase tan habitual de «no hay dos copos de nieve iguales» no es, en realidad, cierta a simple vista, los copos de nieve que se han formado en entornos diferentes son efectivamente diferentes.

El famoso astrónomo Johannes Kepler (1571-1630), que descubrió las leyes del movimiento planetario, estaba tan impresionado con las maravillas de los copos de nieve que dedicó un tratado entero, El copo de nieve de seis ángulos, a intentar explicar la simetría de sus formas. Además de la simetría reflectiva, los copos de nieve presentan una simetría rotatoria: pueden rotar desde algunos ángulos alrededor de un eje perpendicular a su plano (pasando por el centro) y permanecen inalterados. Debido a las propiedades y a la forma de las moléculas de agua, los copos de nieve normalmente tienen seis esquinas (casi) idénticas. En consecuencia, el ángulo de rotación más pequeño (aparte del de rotación nula) que deja la figura inalterada es aquél en el que cada esquina se mueve un «paso»: 360 ÷ 6 = 60 grados. Los demás ángulos que conducen a una figura final indistinguible son simples múltiplos de este ángulo: 120, 180, 240, 300, 360 grados (este último devuelve al copo de nieve a su posición original y equivale a rotación nula). Por lo tanto, los copos de nieve presentan una simetría rotacional de seis pasos. Por comparación, la estrella de mar tiene una simetría rotacional de cinco; pueden rotar 72, 144, 216, 288 y 360 grados sin ninguna diferencia sustancial. Muchas flores, como por ejemplo el crisantemo, la margarita, la coreopsis presentan una simetría rotacional aproximada. Cuando rotan desde cualquier ángulo parecen esencialmente iguales (fig. 5). Cuando la simetría se combina con colores vivos y olores embriagadores es una propiedad subyacente que confiere a las flores su apariencia estética universal. Quizá nadie haya expresado mejor que el pintor James McNeill Whistler (1834-1903) la relación asociativa entre flores y obras de arte:

La obra maestra debe aparecerse como una flor a ojos del pintor —perfecta en su brote como en su flor— sin razón alguna que explique su presencia —ninguna misión que cumplir—, una alegría para el artista, una ilusión para el filántropo —un misterio para el botánico—, un accidente de sentimiento y aliteración para el escritor.

¿Qué tiene su patrón simétrico que provoca esta respuesta emocional? ¿Es realmente la misma excitación que despiertan las obras de arte? Nótese que incluso aunque la respuesta a esta última pregunta sea un sí inequívoco, esto no nos acerca necesariamente a la respuesta de la primera pregunta. La respuesta a la pregunta ¿qué tienen las obras de arte que provocan una respuesta emocional? dista mucho de ser clara. En efecto, ¿qué cualidad comparten obras de arte tan diferentes como La joven de la perla de Jan Vermeer, el Guernica de Pablo Picasso y la Serie de Marilyn de Andy Warhol? Clive Bell (1881-1964), un crítico de arte y miembro del grupo de Bloomsbury (que, por cierto, incluía a la novelista Virginia Woolf), sugirió que una cualidad común a todas las obras de arte verdaderas era lo que él denominaba la «forma significativa». Con esto se refería a una combinación especial de líneas, colores, formas y relaciones de formas que despiertan nuestras emociones. Esto no equivale a decir que todas las obras de arte evoquen la misma emoción. Bien al contrario: cada obra de arte evoca una emoción completamente diferente. Lo que tienen en común reside en el hecho de que todas las obras de arte evocan alguna emoción. Si tuviéramos que aceptar esta hipótesis estética, la simetría no representaría más que uno de los componentes de esta forma significativa (tan vagamente definida). En este caso, nuestra reacción ante los patrones de simetría quizá no fueran tan diferentes (incluso hasta un poco menos intensos) de nuestra sensibilidad estética más amplia. No todos están de acuerdo con esta afirmación. A la respuesta humana ante la simetría de los elementos u objetos individuales, tales como los copos de nieve, el teórico de la estética Harold Osborne replicó lo siguiente: «Pueden suscitar interés, curiosidad y admiración. Pero el interés visual que despiertan es superficial y de corta duración: en contraste con el impacto de una obra maestra artística, la atención perceptual pronto se desvía, nunca profundiza. No hay incremento de la percepción.» En realidad, como mostraré en el próximo capítulo y también en el capítulo 8, la simetría tiene mucho que ver con la percepción. No obstante, por el momento, vamos a concentrarnos en el «valor» puramente estético de la simetría.

Los psicólogos del Dartmouth College, Peter G. Szilagyi y John C. Baird, llevaron a cabo un fascinante experimento en 1977 dirigido a explorar la relación cuantitativa entre la cantidad de simetría de los diseños y la preferencia estética. Se pidió a veinte estudiantes universitarios (los sujetos más habituales de los experimentos de psicología experimental) que realizaran tres tareas simples. En la primera, se les invitó a colocar ocho cuadrados con un punto negro en el centro dentro de una fila de dieciocho celdas, cada una de las cuales del mismo tamaño que los cuadrados (fig. 6a). Las instrucciones que recibieron los sujetos fueron colocar las piezas de manera que les resultaran «visualmente placenteras». Cada pieza tenía que cubrir una celda completamente y había que utilizar todos los cuadrados. La segunda y tercera tarea eran de naturaleza similar. En la segunda, había que colocar once piezas en una cuadrícula de 5 × 5 (fig. 6b). En la tercera, había que encajar doce cubos en los agujeros de una estructura tridimensional transparente formada por tres planos horizontales, cada uno de los cuales contenía nueve agujeros cuadrados (fig. 6c). Los resultados revelaron una inequívoca preferencia estética por los diseños simétricos. Por ejemplo, el 65 % de los sujetos crearon patrones simétricos reflectivos perfectos en la primera tarea. De hecho, la simetría era el componente básico de los diseños de la mayoría de los objetos (en una, dos y tres dimensiones), siendo la simetría perfecta la condición más favorecida.

Figura 6

La asociación entre simetría y gusto artístico no sólo surgió en los experimentos, sino también en una teoría de la estética de carácter más especulativo desarrollada por el famoso matemático de Harvard George David Birkhoff (1884-1944). Birkhoff es conocido principalmente por la demostración en 1913 de una famosa conjetura geométrica formulada por el matemático francés Henri Poincaré y por su teorema ergódico (publicado en 1931-1932): una contribución de suma importancia para la teoría de los gases y para la teoría de la probabilidad. Durante su etapa universitaria, Birkhoff comenzó a estar intrigado por la estructura de la música y hacia 1924 amplió sus intereses a la estética en general. En 1928 pasó medio año viajando por toda Europa y el Lejano Oriente en un intento por absorber todo el arte, la música y la poesía que pudiera. Sus esfuerzos por desarrollar una teoría matemática del valor estético culminaron con la publicación en 1933 de Aesthetic Measure. Birkhoff discute concretamente el sentimiento intuitivo del valor que evocan las obras de arte, que es «claramente separable del sentimiento sensual, emocional, moral o intelectual». Separa la experiencia estética en tres fases: 1) el esfuerzo de atención necesario para la percepción; 2) la comprensión de que el objeto se distingue a través de un cierto orden, y 3) la apreciación del valor que recompensa el esfuerzo mental. Birkhoff asigna además medidas cuantitativas a las tres etapas. Sugiere que el esfuerzo preliminar aumenta en proporción a la complejidad de la obra (designada con C). Las simetrías desempeñan un papel clave en el orden (designado con O), caracterizando el objeto. Finalmente, el sentimiento de valor, que Birkhoff denomina la «medida estética» de la obra de arte (designada con M).

La esencia de la teoría de Birkhoff puede resumirse del siguiente modo. Dentro de cada clase de objetos estéticos, como los objetos decorativos, jarrones, piezas de música o poesía, se puede definir un orden O y una complejidad C. La medida estética de cualquier objeto de la clase se puede calcular simplemente dividiendo O entre C. En otras palabras, Birkhoff propuso una fórmula para calcular el valor estético: M = O ÷ C. Esta fórmula significa que para un grado de complejidad determinado, la medida estética es mayor cuanto más orden posea el objeto. Alternativamente, si se especifica la cantidad de orden, la medida estética es mayor cuanto menos complejo sea el objeto. Dado que para los propósitos más prácticos el orden viene determinado básicamente por las simetrías del objeto, la teoría de Birkhoff anuncia la simetría como un elemento estético crucial.

Birkhoff fue el primero en admitir que definir de un modo preciso los elementos O, C y M era difícil. Sin embargo, trató valientemente de ofrecer recetas detalladas para calcular estas medidas para una variedad de formas de arte. En particular, comenzó por figuras geométricas simples como las que aparecen en la figura 7, continuó con ornamentos y jarrones chinos, siguió con la armonía en la escala musical diatónica y concluyó con la poesía de Tennyson, Shakespeare y Amy Lowell.

Nadie, y menos el propio Birkhoff, se atrevería a afirmar que la complejidad del placer estético se puede reducir por completo a una mera fórmula. Sin embargo, en palabras de Birkhoff: «En el inevitable acompañamiento analítico del proceso creativo, la teoría de la medida estética es capaz de rendir un doble servicio: ofrece una explicación simple y unificadora de la experiencia estética y a la vez proporciona medios para el análisis sistemático de los típicos campos estéticos.»

Tras esta breve incursión en el campo de la estética y volviendo al caso específico de la simetría rotacional, vemos que una de las figuras simétricas más simples del plano desde el punto de vista rotacional es el círculo (fig. 8a). Si lo hacemos rotar alrededor de su centro unos, digamos, 37 grados, permanece inalterado. De hecho, podemos hacer rotar cualquier ángulo alrededor de un eje perpendicular que pasa por su centro y no notaríamos ninguna diferencia. Por esta razón, el círculo tiene un número infinito de simetrías rotacionales. Pero éstas no son las únicas simetrías que posee el círculo. Los reflejos en todos los ejes que cortan el diámetro a lo largo (fig. 8b) también dejan al círculo inalterado.

Por lo tanto, el mismo sistema puede tener múltiples simetrías o ser simétrico según una variedad de transformaciones de simetría. Si hacemos rotar una esfera perfecta sobre su centro, utilizando un eje que vaya en cualquier dirección, la deja exactamente igual. O veamos, por ejemplo, el triángulo equilátero (todos los lados iguales) de la figura 9a. No podemos cambiar la forma ni el tamaño del triángulo, ni tampoco moverlo de posición. ¿Qué transformaciones podemos aplicarle para dejarlo inalterado? Podemos hacerlo rotar 120, 240 y 360 grados alrededor de un eje perpendicular al plano de la figura y que pase por el punto O (fig. 9b). Estas transformaciones intercambian la posición de los vértices, pero si nos volvemos de espaldas mientras alguien efectúa estas rotaciones, no apreciaremos ninguna diferencia. Fíjense que la rotación de 360 grados equivale a no hacer nada, o hacerlo rotar 0 grados. Esto se conoce como la transformación de identidad. ¿Por qué molestarnos en definir esta transformación? Como veremos más adelante, la transformación de identidad desempeña un papel similar al que tiene el número cero en la operación aritmética de la suma o el número uno en la multiplicación: cuando añadimos cero a un número o lo multiplicamos por uno, el número se queda como está. También podemos reflejar el triángulo en un espejo por las tres líneas trazadas de la figura 9c. Por tanto, existen exactamente seis transformaciones simétricas —tres rotaciones y tres reflejos— asociadas al triángulo equilátero.

Figura 9

¿Y si combinamos algunas de estas transformaciones, por ejemplo, un reflejo seguido de una rotación? ¿No aumentaría el número de simetrías del triángulo? Volveré sobre esta cuestión en el contexto del lenguaje de las simetrías. Sin embargo, por el momento, otra importante simetría aguarda para ser expuesta.

Morris, Mozart y compañía

Uno de los patrones simétricos más comunes es el de un motivo repetitivo o recurrente. Desde los frisos de los templos clásicos y los pilares de los palacios a las alfombras e incluso el canto de un pájaro, la simetría de repetir patrones ha producido siempre una familiaridad muy confortable y un efecto tranquilizador. Un ejemplo elemental de este tipo de simetría se presentó en la figura 3.

La transformación simétrica en este caso se denomina traslación y se refiere a un desplazamiento o cambio de una cierta distancia a lo largo de una línea determinada. Se dice que el patrón es simétrico si se puede desplazar en varias direcciones sin que parezca diferente. En otras palabras, los diseños regulares en los que el mismo tema se repite a intervalos fijos presenta una simetría traslacional. Los adornos que son simétricos según la traslación se remontan al año 17 000 a.C. (la era Paleolítica). Un brazalete de marfil de mamut hallado en Ucrania tiene tallado un repetitivo patrón en zigzag. Otros diseños de simetría traslacional se encuentran en una variedad de formas artísticas que van desde los azulejos medievales islámicos del palacio de la Alhambra de Granada, España (fig. 10a), a través de la tipografía renacentista, a los fantásticos dibujos del artista gráfico holandés M. C. Escher (1898-1972), figura 10b. La naturaleza también nos ofrece ejemplos de criaturas de simetría traslacional, como los ciempiés, en los que segmentos corporales idénticos se repiten hasta unas 170 veces.

Figura 10

Figura 11

El artista, poeta e impresor victoriano William Morris (18341896) fue un prolífico productor de arte decorativo. Gran parte de su obra es literalmente la encarnación de la simetría traslacional. Siendo aún joven, Morris se sintió fascinado por la arquitectura medieval, y a la edad de veintisiete años fundó una compañía de decoradores que más tarde se convirtió en la famosa Morris and Company. En una fuerte reacción a la creciente industrialización de la Inglaterra decimonónica, Morris buscó formas de revivir la artesanía artística y de revitalizar el esplendor de las artes decorativas de la Edad Media. Morris and Company, y más tarde la Kelmscott Press fundada por Morris en 1890, diseñó espectaculares azulejos, vajillas, tejidos y manuscritos ilustrados según el diseño medieval. Pero fue en el diseño del papel pintado donde Morris logró por primera vez su increíble obra maestra de patrones repetitivos de simetría traslacional. En la figura 11 aparecen un par de sus suntuosos temas. Aunque los diseños de Morris quizá no fueron más innovadores que los de algunos de sus contemporáneos, como Christopher Dresser o A. W. N. Pugin, su influencia y su herencia han sido enormes. El propio Morris se interesó por la promoción de las artes y oficios y no por la matemática de la simetría. En The Beauty of Life (La belleza de la vida) resume su filosofía socio-estética del siguiente modo:

Pueden vestir sus paredes con tapices en lugar de encalarlas o empapelarlas; o pueden cubrirlas con mosaico; o hacer que un gran artista les pinte un fresco: todo esto no es un lujo si se hace en nombre de la belleza, ni es por ostentación. No quebranta nuestra regla de oro: no guarden en sus hogares nada que no sepan útil o crean que es bello.

Una cuestión interesante es si la simetría de traslación, y por supuesto también el reflejo y la rotación, se limitan a las artes visuales o pueden presentarse a través de otras formas artísticas, como una pieza musical. Evidentemente, si nos referimos a los sonidos más que a la composición escrita de la partitura musical, tendríamos que definir las operaciones de simetría en términos diferentes de los puramente geométricos, como ya hicimos en el caso de los palíndromos. Sin embargo, una vez hecho esto, la respuesta a la pregunta de si podemos encontrar música simétrica traslacional es un rotundo sí. Un experto minerólogo y físico ruso, G. V. Wulff, escribió en 1908: «El espíritu de la música es el ritmo. Consiste en la repetición regular periódica de fragmentos de la composición musical... La suma de la repetición regular de fragmentos idénticos constituye la esencia de la simetría.» En efecto, los temas recurrentes que son tan habituales en la composición musical son los equivalentes temporales de los diseños y la simetría de Morris según la traslación. De forma aún más general, las composiciones se basan muchas veces en un motivo fundamental que se introduce al principio y que después experimenta diversas metamorfosis.

Ejemplos simples de simetría según la traslación en música incluyen las medidas de la obertura de la famosa Sinfonía n.º 40 en sol menor de Mozart (fig. 12), y también toda la estructura de algunas formas musicales habituales. En el ejemplo anterior se puede apreciar la simetría traslacional no sólo dentro de cada línea de la partitura (donde se marcan los gestos cortos de disminución), sino también entre la primera y la segunda líneas (indicadas con a y b). En términos de diseño global, si utilizamos los símbolos A, B y C para describir secciones enteras de un movimiento, entonces el patrón de un rondo en su totalidad, por ejemplo, se puede expresar como ABACA o ABACABA, donde la simetría traslacional es aparente. La asociación de Mozart con objetos matemáticos no debería sorprendernos. Su hermana, Nannerl, recordó que en una ocasión cubrió las paredes de la escalera y de todas las habitaciones de la casa con números y cuando ya no quedaba espacio libre, continuó en la casa de al lado. Incluso los márgenes del manuscrito de Mozart de la Fantasía y Fuga en do mayor contienen cálculos de la probabilidad de ganar la lotería. No hay duda de que el musicólogo y compositor británico Donald Tovey identificó las «proporciones bellas y simétricas» de las composiciones de Mozart como una de las razones clave de su popularidad.

Figura 12

Otro gran compositor conocido por su obsesión por los números, los juegos de ingenio y su utilización en composiciones musicales complejas fue Johann Sebastian Bach (1685-1750). Tanto el reflejo como la traslación aparecen frecuentemente en la música de Bach a muchos niveles. Un ejemplo que se refiere al reflejo en un «espejo» horizontal es la obertura de La Invención en Dos Partes n.º 6 en mi mayor de Bach (véase fig. 13). Imagínense un espejo en el espacio entre las dos líneas de la partitura. La tendencia ascendente marcada por la línea a se refleja (la mitad un poco más adelante) en la tendencia descendente b y el movimiento entero se refleja y se repite de nuevo poco después (empieza en d). Otro ejemplo nos lo ofrece la estructura entera a gran escala de las obras más notables de Bach, la famosa Ofrenda musical. La composición está formada por las siguientes formas musicales:

Ricercar 5 Cánones Trío Sonata 5 Cánones Ricercar

Presenta una simetría reflectiva (obviamente no sonido a sonido).

Ricercar (de ricercare, «buscar, investigar») era un término antiguo utilizado de forma aproximada para cualquier tipo de preludio, normalmente en estilo de fuga.

El gran humanitario, médico y filósofo Albert Schweitzer (1875-1965) también fue un gran entusiasta de Bach. En su obra J.S. Bach señala: «El término [ricercar] significa una pieza musical en la cual tenemos que buscar algo, a saber, un tema.» La Ofrenda musical también contiene diez cánones, que en su construcción comportan la operación de traslación. En cualquier canon (la palabra significa «regla»), una tendencia melódica determina la regla (en términos de línea melódica o ritmo) para la segunda o más voces. La segunda voz se incorpora a ciertos intervalos fijos de tiempo: una traslación temporal. Un ejemplo simple y muy familiar es el siguiente:

Figura 13

Row row row your boat

Gently down the stream

Merrily merrily merrily merrily

Life is but a dream,

Rema, rema, rema tu barca

corriente abajo suavemente,

con alegría, alegría, alegría

la vida no es más que un sueño.

donde la segunda voz empieza cuando la primera llega a la palabra «gently».

La historia que rodea a la Ofrenda musical es verdaderamente fascinante. Tres años antes de su muerte, Bach se dirigía a Berlín para visitar a su nuera Johanna Maria Dannemann (esposa del compositor Carl Philipp Emanuel Bach), que por aquel entonces estaba esperando un hijo. Exhausto por el largo viaje, el anciano compositor realizó una parada en Potsdam, en aquel tiempo lugar de residencia del rey Federico el Grande de Prusia, que también era el patrón de Carl Philipp Emanuel. La noticia de la llegada de Bach al palacio real movió al rey a cancelar un concierto programado esa misma noche en el que él mismo tenía que tocar la flauta, en favor de una serie de recitales improvisados de Bach en siete pianofortes nuevos. Gottfried Silbermann, el maestro fabricante de órganos del barroco alemán, construyó estos instrumentos. Después de una representación de virtuoso en siete estancias palaciegas diferentes, Bach ofreció a su encantado público improvisar una fuga sobre el tema que Su Real Majestad sugiriera. Al volver a casa, Bach desarrolló su Ofrenda musical a partir de esa fuga improvisada. Le añadió una serie de cánones magníficamente complejos y una sonata para trío y explicó con mayor detalle los demás movimientos de contrapunto. La sonata comprendía una flauta (el instrumento del rey Federico), un violín y bajo continuo (clave y violonchelo). Para el título de la Ofrenda, Bach, que gustaba de los juegos de palabras, escogió Regis iussu cantio et reliqua canonica arte resoluta (A demanda del Rey el tema y adiciones resueltos al estilo canónico), que forman el acrónimo de RICERCAR.

Pero aún hay más simetrías en la Ofrenda musical. En el Canon I (el Canon del cangrejo), cada violín toca la parte del otro al revés, resultando una simetría reflectiva (de la partitura) en un espejo vertical. Finalmente, en esa época se consideraba que los cánones eran una especie de misterios de la simetría. El compositor proporcionaba el tema, pero la tarea del músico era comprender qué tipo de operación de simetría tenía en mente para interpretar el tema. En el caso de la Ofrenda musical, Bach acompañó los dos últimos cánones antes de la sonata del trío con la inscripción «Quaerendo inventis», que significa «Busca y encontrarás». Como veremos en el capítulo 7, conceptualmente esto no difiere mucho del misterio que nos plantea el universo —reside en toda su gloria abierta a la investigación— para que indaguemos los patrones y simetrías subyacentes. Incluso las incertidumbres y ambigüedades que acarrean los intentos por descubrir la «teoría del todo» pueden tener su analogía en el desafío intelectual de Bach. Veremos que uno de los cánones de la Ofrenda musical tiene tres soluciones posibles.

La traslación y el reflejo se pueden combinar en una operación de simetría llamada reflejo de deslizamiento. Las pisadas generadas por unos pasos alternos derecha-izquierda-derecha-izquierda presentan simetría reflectiva de deslizamiento (fig. 14). La operación consiste simplemente en una traslación (el deslizamiento), seguido de un reflejo en una línea paralela a la dirección del desplazamiento (la línea punteada de la figura). De modo similar, se puede considerar el reflejo de deslizamiento como el reflejo de un espejo seguido de una traslación paralela al espejo. La simetría reflectiva de deslizamiento es habitual en los frisos clásicos y también en las cerámicas de los nativos americanos de Nuevo México. Mientras que los patrones de simetría de traslación tienden a transmitir una impresión de movimiento en una dirección, los diseños de simetría reflectiva de deslizamiento crean una sensación visual de serpenteo. Las serpientes reales logran estos patrones contrayendo y relajando alternativamente grupos musculares a ambos lados de su cuerpo: cuando contraen un grupo a la derecha, el grupo correspondiente de la izquierda se relaja, y viceversa.

Figura 14

Hemos encontrado ya todas las transformaciones rígidas que arrojan como resultado simetrías en dos dimensiones. La palabra rígido significa simplemente que tras la transformación los dos puntos tomados acaban separados por la misma distancia que al empezar: no podemos encoger figuras, ni inflarlas, ni deformarlas.

En el espacio tridimensional, además de la simetría según la traslación, la rotación, el reflejo y el reflejo de deslizamiento, aún podemos encontrar otra simetría conocida como simetría de giro. Éste es un tipo de simetría como la de un sacacorchos, en la que la rotación alrededor de un eje se combina con la traslación a lo largo de ese eje. Esta simetría está presente en los tallos de algunas plantas, en los que las hojas aparecen a intervalos regulares después de completar la misma fracción de un círculo completo alrededor del tallo. ¿Son éstas todas las simetrías que existen? Desde luego que no.

Todos son iguales, pero...

Las ciencias y las artes están plagadas de ejemplos fascinantes de simetría según las operaciones de traslación, rotación, reflejo y reflejo de deslizamiento, y volveremos sobre algunas de ellas en capítulos posteriores. Una transformación interesante, que no es geométrica en la naturaleza, está relacionada con las permutaciones: los diferentes reordenamientos de objetos, números o conceptos. Por ejemplo, para comprobar el desgaste de cuatro marcas diferentes de neumáticos usted quizá quiera esquematizar una estrategia que garantice que va a intercambiar la posición de los cuatro cada mes o cada cuatro meses, y que cada neumático ocupará todas las posiciones. Si designa las marcas de neumáticos mediante A, B, C y D y las posiciones DI (delante izquierda), DD (delante derecha), AI (atrás izquierda) y AD (atrás derecha), el plan para cuatro meses será más o menos el siguiente:

Cada fila o columna representa una permutación de las letras A, B, C, D. Para lograr que se cumpla la prueba, ninguna fila ni columna debería contener la misma etiqueta dos veces. Los cuadrados del tipo 4 x 4 que aparecen aquí se denominan cuadrados latinos y fueron extensamente estudiados por el famoso matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). A propósito, se puede disfrutar resolviendo el popular puzle de cartas del siglo XVIII: colocar todas las jotas, damas, reyes y ases de la baraja formando un cuadrado de tal forma que ningún color ni ninguna carta aparezca dos veces en la misma fila, columna o en las dos diagonales. Si este rompecabezas barroco les causa problemas, les brindo la solución en el Apéndice 1.

Las permutaciones se presentan en circunstancias tan diversas como el cambio de parejas en la danza folk escocesa o al mezclar una baraja de cartas. El objetivo principal de la operación de permutar no es tanto el lugar en el que se coloca cada objeto, como el objeto con el que se sustituye otro. Por ejemplo, en la permutación: 1 2 3 4→ 4 1 3 2, el número 1 fue sustituido por 4, 2 fue sustituido por 1, 3 quedó en el mismo lugar y 4 fue sustituido por 2. Normalmente esto se indica del siguiente modo:

donde cada número de la fila superior se sustituye por el número que tiene inmediatamente debajo. La misma permutación se podría escribir como sigue

precisamente porque se producen las mismas sustituciones y porque no importa el orden en el que están escritos los números. Quizá se pregunten cómo puede ser simétrico (es decir, no cambiar) un sistema de acuerdo con las permutaciones. Evidentemente, si tiene diez libros en un estante y son todos diferentes, cualquier permutación que no sea la identidad (dejar los libros sin tocar) cambiará el orden. Sin embargo, si por ejemplo tiene tres copias del mismo libro es evidente que algunas permutaciones no cambiarán el orden. El ensayista y crítico inglés Charles Lamb (1775-1834), conocido por sus reveladoras observaciones sobre la vida, tenía una opinión bastante contundente sobre algunos de esos «reordenamientos» de libros. Escribió: «La especie humana, de acuerdo con la mejor teoría que puedo formarme sobre ella, se compone de dos razas distintas: los que toman prestado y los que prestan... Los prestatarios de libros: esos mutiladores de colecciones que arruinan la simetría de los estantes y generan volúmenes desparejados.»

La simetría según la permutación puede aparecer en circunstancias más abstractas. Examinemos el contenido de la frase «Raquel es prima de David». Si intercambiamos David por Raquel el significado permanecerá inalterado. No se puede decir lo mismo de la frase: «Raquel es hija de David». De modo equivalente, la igualdad entre dos cantidades, a = b, guarda la misma relación. Aunque esto pueda parecer trivial, la relación «mayor que» (habitualmente representada por >) no tiene esta propiedad. La relación a > b significa «a es mayor que b». Si permutamos las letras, el resultado es b > a, «b es mayor que a», y estas dos relaciones son mutuamente excluyentes.

Varias fórmulas matemáticas también pueden ser simétricas de acuerdo con las permutaciones. El valor de la expresión ab + bc + ca (donde ab significa «a veces b» y así sucesivamente) permanece inalterado según cualquier permutación de las letras a, b, c. Como explicaré con mayor detalle más adelante, precisamente hay seis posibles permutaciones de tres letras, incluyendo una (la primera de debajo) que es la identidad, siendo cada letra una función en sí misma:

Se puede comprobar fácilmente que la expresión de arriba queda inalterada por estas permutaciones. Por ejemplo, la tercera permutación cambia de a a b, b a c y c a a. Por lo tanto, la fórmula entera cambia y se convierte en: bc + ca + ab. Sin embargo, dado que independientemente del orden en que multipliquemos o sumemos los números el resultado es siempre el mismo, la nueva expresión es igual a la original.

La gente que juega a la ruleta en un casino nos ofrece un interesante ejemplo de simetría según las permutaciones. La ruleta se compone de una rueda giratoria en la que se marcan dieciocho agujeros rojos, dieciocho agujeros negros y dos agujeros verdes normalmente designados 0 y 00. Se tira una bola blanca en la rueda giratoria y después de girar rápidamente alrededor del borde exterior, rebota y finalmente va frenando hasta detenerse en uno de los agujeros. Cuando la rueda es mecánicamente perfecta, el juego de la ruleta es absolutamente simétrico según cualquier permutación de los jugadores. Todo el mundo tiene exactamente las mismas oportunidades de ganar y perder independientemente de que sean fulleros o novatos, expertos en teoría de la probabilidad o palurdos de pueblo. La expectativa de ganar (más bien de perder, unos 5,3 centavos por cada dólar apostado por término medio) no depende de la cantidad de dinero que se arriesga, ni de la estrategia del jugador. Aunque ninguna rueda es realmente perfecta, siglos de beneficios de los casinos demuestran que, al margen de cualquier desviación que pueda existir, no conducen a una violación significativa de la simetría según las permutaciones.

No todas las actividades de juego son simétricas según las permutaciones de los jugadores. El black-jack es un juego de cartas en el que cada participante juega contra el que reparte las cartas. Cada carta de número tiene su valor nominal, las cartas de figuras valen diez y el as puede contarse como uno u once. El objetivo es conseguir que la suma de los valores de las cartas repartidas al jugador sea más próxima a veintiuno que la del que reparte, sin sobrepasar esta cifra. Lo que convierte al black-jack en asimétrico respecto a las permutaciones de los jugadores es precisamente el hecho de que la estrategia es importante. En los años sesenta, los casinos descubrieron de la forma más dura hasta qué punto cuenta la estrategia. El matemático Edward O. Thorp descubrió un defecto en la forma en que los casinos calculaban las probabilidades cuando la baraja de cartas iba disminuyendo. Utilizó esta información para desarrollar un método de juego extremadamente provechoso. En caso de que se lo pregunten, desde entonces los casinos han aplicado medidas correctivas. Sin embargo, sigue siendo cierto que la estrategia marca una diferencia en el black-jack. En efecto, seis estudiantes del MIT que se comunicaban con palabras en código contando las cartas ganaron millones en Las Vegas en los años noventa.

La simetría de la permutación y algunos de sus primos científicos cercanos tienen importantes repercusiones en la física del mundo subatómico. Volveremos sobre ello en el capítulo 7. Aquí sólo mencionaré brevemente un simple ejemplo que explica algo, que de otro modo resultaría asombroso, sobre los átomos de los diferentes elementos: todos son aproximadamente del mismo tamaño.

En cierto modo, los átomos recuerdan a sistemas solares en miniatura. Los electrones del átomo orbitan alrededor de un núcleo central, del mismo modo que los planetas giran alrededor del Sol. Sin embargo, la fuerza que mantiene a los electrones en sus órbitas no es gravitatoria, sino electromagnética. El núcleo contiene protones con cargas eléctricas positivas (y neutrones, que son neutrales), mientras que los electrones que orbitan (en número igual a los protones) están cargados negativamente. Las cargas eléctricas opuestas se atraen entre sí. A diferencia de los sistemas planetarios, que pueden tener órbitas de cualquier tamaño, los átomos deben obedecer las reglas del reino subatómico: mecánica cuántica. La mayor probabilidad de encontrar a los electrones se encuentra a lo largo de una órbita específica «cuantificada», restringida a una serie determinada de tamaños discretos. Las órbitas permitidas se caracterizan principalmente por su energía. En sentido amplio, cuanto más alta es la energía asociada a la órbita, mayor es su tamaño. La situación es parecida a un tramo de escaleras donde el núcleo representa la parte baja y los niveles más altos de energía corresponden a escalones cada vez más altos. No obstante, aquí surge el misterio. La física, y sin duda la vida cotidiana, nos dicen que los sistemas son más estables en su estado de menos energía (p. ej., una pelota que baja rodando una escalera alcanza su estabilidad abajo de todo). Esto significa que si se trata del átomo de hidrógeno, que sólo tiene un electrón, el átomo de oxígeno, que tiene ocho, o el átomo de uranio, que tiene noventa y dos, todos los electrones estarían agrupados en la órbita más pequeña posible. Dado que cuanto más electrones (y protones) tengan los átomos, más fuerte será la atracción eléctrica entre el núcleo y los electrones, cabría esperar que el átomo de oxígeno fuera menor que el de hidrógeno, y el átomo de uranio aún mucho más pequeño (como se esquematiza en la figura 15). Sin embargo, los experimentos nos muestran que esto dista mucho de ser así. En lugar de ello, independientemente del número de electrones, resulta que los átomos son aproximadamente del mismo tamaño. ¿Por qué?

La explicación fue ofrecida por el famoso físico Wolfgang Pauli (1900-1958). En 1925 sugirió una poderosa ley de la naturaleza (que ganó el premio Nobel en 1945), conocida como el principio de exclusión de Pauli. Esta ley se refiere a ciertas partículas elementales del mismo tipo, como los electrones. Todos los electrones del universo son exactamente idénticos en cuanto a sus propiedades intrínsecas: no hay forma de distinguir uno de otro. Además de su masa y su carga eléctrica, los electrones tienen otra propiedad fundamental llamada espín. A efectos de explicarla, podemos imaginar al electrón como una pequeña pelota girando alrededor de su eje. La mecánica cuántica (la teoría que describe los átomos, la luz y las partículas subatómicas) nos dice que el espín del electrón sólo puede tener dos estados (aproximadamente análogo a cuando la pelota gira a una velocidad determinada en una dirección o la contraria). El principio de exclusión de Pauli afirma que dos electrones no pueden encontrarse exactamente en el mismo estado; es decir, con la misma órbita y dirección de giro exactamente. ¿Y esto qué relación tiene con la simetría? Para formular el principio de exclusión con mayor exactitud, tenemos que saber que la mecánica cuántica habla en el lenguaje de las probabilidades. Nunca podemos determinar con exactitud la ubicación de un electrón dentro del átomo. En realidad, sólo podemos determinar las probabilidades de encontrarlo en una u otra posición. La recopilación de todas estas probabilidades se conoce como función de densidad de probabilidad. La función de densidad de probabilidad desempeña el papel de un mapa, mostrándonos los puntos en los que es más probable que se encuentre el electrón. De acuerdo con esto, Pauli también formuló su principio de exclusión en términos de una propiedad de la función de densidad de probabilidad para describir el movimiento de los electrones en el átomo. Afirmó que la función de densidad de probabilidad es antisimétrica respecto a cualquier par intercambiable de electrones. Esta función se denomina antisimétrica si al transponer dos electrones que se mueven a lo largo de la misma órbita y que tienen la misma dirección de espín sólo cambia el signo de la función (p. ej., de más a menos), pero no su valor. Por ejemplo, imaginemos que la letra a simboliza el valor de una propiedad del primer electrón y la letra b el valor de la misma propiedad del segundo electrón. Una función que toma el valor a+ b es simétrica según el intercambio de los dos electrones ya que a + b es igual a b + a. Por otra parte, una función representada por a– bes antisimétrica, ya que cambiando a a b y b a a cambia a – b a b – a, y b – a es precisamente el negativo de a – b (p. ej., 5 – 3 = 2; 3 – 5 = –2).

La afirmación de Pauli es, por tanto, el quid de la cuestión. Por una parte sabemos que si intercambiamos dos electrones idénticos no debería suponer la menor diferencia, y la función de densidad de probabilidad debería permanecer inalterada. Por otra parte, el principio de exclusión nos dice que la función de densidad de probabilidad debería cambiar de signo (p. ej., de positivo a negativo) según esta permutación. ¿Qué clase de número es igual al negativo de sí mismo? Sólo hay un número así: el cero. Si cambiamos el signo delante del cero su valor no cambia ni un ápice; menos cero es igual a más cero. En otras palabras, la probabilidad de encontrar dos electrones con el mismo espín moviéndose en la misma órbita es cero: ese estado no existe.

El principio de exclusión de Pauli nos dice que a los electrones que tienen las mismas propiedades no les gusta estar amontonados en el mismo sitio. En consecuencia, más de dos electrones (uno con cada dirección de giro) no pueden estar en una órbita determinada. En lugar de estar todos los electrones amontonados en la órbita más pequeña (y de menor energía), se ven compelidos hacia órbitas cada vez más grandes y de mayor energía. El resultado neto es que aunque el tamaño de todas las órbitas cuantificadas sea menor en los átomos más pesados (más ricos en protones), los electrones no tienen más remedio que ocupar un número cada vez mayor de órbitas. Sorprendentemente, el comportamiento de la función de densidad de probabilidad según las permutaciones de los electrones ofrece una explicación para que, a diferencia de lo que ocurre en la figura 15, los átomos sean casi iguales de tamaño.

Volviendo a las permutaciones en general, la transformación de color se puede considerar como un pariente cercano. En cualquier patrón que tenga más de un color, como el tablero de ajedrez, los colores se pueden intercambiar. En sentido estricto, los patrones reales normalmente no son simétricos de acuerdo con la transformación de color, sino que cambian. Algunos de los imaginativos diseños de M. C. Escher se acercan todo lo que cabría esperar a la simetría de color (fig. 16). Observen que realmente la imagen no queda igual cuando se transponen el blanco y el negro, ni tampoco un tablero de ajedrez. Pero la impresión visual general permanece igual.

El propio Escher jamás estuvo del todo seguro de qué le había conducido a aquella obsesión con los patrones simétricos de traslación y de color. Según sus propias palabras:

Muchas veces me había preguntado sobre mi propia manía de realizar dibujos periódicos. Una vez le pregunté a un amigo, un psicólogo, la razón de sentirme tan fascinado por ellos, pero su respuesta —que me debía de mover un instinto primitivo, prototípico— no explica nada. ¿Cuál será la razón de hallarme solo en este campo? ¿Por qué ninguno de mis colegas artistas se siente tan fascinado como yo por estas formas entrelazadas? Y, sin embargo, sus reglas son puramente objetivas, tanto que cada artista podría aplicarlas a su propia manera.

Las meditaciones retrospectivas de Escher incidían en dos aspectos importantes: el papel de la simetría en el proceso de percepción «primitivo» y las reglas que subyacen a la simetría. Este último tema será el objeto de varios capítulos posteriores. Sin embargo, como toda la información que obtenemos del mundo procede a través de nuestros sentidos, la cuestión de la simetría como factor potencial en la percepción cobra una relevancia inmediata.