Tongo

¡Qué título!, ¿no? Más aún: la palabra ‘tongo’ hasta suena pornográfica. Pero no… no quiero hablar de pornografía. Me explico. Las líneas que siguen están basadas en un artículo que apareció en la edición del 3 de octubre de 2014 en El Periódico de Badalona, uno de los diarios españoles que se vende predominantemente en Cataluña⁶.

El título de la nota es: “Ola de acusaciones de tongo en el examen de la policía de Badalona”. Puesto en esos términos, ya me dieron ganas de leerla. Pero además, quien me advirtió del texto fue mi querido amigo y matemático Carlos D’Andrea, profesor en la Universidad de Barcelona. Carlos me escribió: “Adrián, leé la nota y fijate cómo la matemática les permitió a los acusadores encontrar argumentos para sostener su posición”.

Eso hice y acá estoy. La historia —en resumen— es que habida cuenta de las vacantes que se habían producido en la Guardia Urbana de la ciudad (Badalona) se abrió un concurso de aspirantes para llenarlas. La forma de selección incluía un examen de 90 preguntas. El puntaje máximo era de 20 (veinte) puntos. Se presentaron 670 candidatos pero solamente 486 entregaron la hoja con las respuestas.

De ellos, sólo aprobaron 12 (doce). Como dice el diario, “hasta acá, nada anómalo”. Sigo. Lo notable es que seis de ellos lograron notas significativamente más altas que todo el resto. Aquí quiero detenerme e invitarlo a que mire la Figura 1. Revise los datos y piense lo que le sugieren a usted.

 

 

En vista de estos datos, uno de los denunciantes analizó estadísticamente los 486 resultados y para ello usó lo que se conoce con el nombre de la campana de Gauss. ¿Qué quiere decir esto? No me abandone ahora que la idea es muy sencilla. Solamente me voy a referir a este ejemplo particular, el del examen.

Como el puntaje mínimo era cero (obviamente) y el máximo para quien contestara todo bien era 20, se agrupan los exámenes que obtuvieron notas entre 0 y 1, los que sacaron entre 1 y 2, los que lograron entre 2 y 3… y así siguiendo, hasta que el último segmento corresponde a las notas entre 19 y 20. Una vez hecha esa división, se suma el número de exámenes que obtuvieron esos puntajes y se coloca una ‘franja’ (como se ve en la Figura 1) en donde la altura representa esa cifra. Por ejemplo, el número 70, que aparece arriba del segmento que va entre 5 y 6, indica que hubo 70 exámenes con esas notas. Justamente, las alturas van marcando las distintas concentraciones que se produjeron.

Con la misma idea, fíjese que el número 95 corresponde a las personas que obtuvieron entre 6 y 7, y lo interesante es que allí se concentró el número máximo de exámenes.

Si usted mira lo que sucede a los dos costados de esa franja, aparecen los números 70 y 73 que corresponden al número de exámenes que obtuvieron entre 5 y 6, y los que sacaron entre 7 y 8. A medida que uno se va alejando hacia los dos extremos, las alturas disminuyen, lo que indica que son menos las personas a quienes les fue cada vez peor o cada vez mejor.

Si uno tuviera que trazar una curva vería que va tomando la forma de una campana. Este tipo de análisis y de distribución fue detectado por Gauss, de allí que reciba el nombre de ‘campana de Gauss’. A pesar de que yo lo diga ‘como al pasar’, todo el desarrollo que hizo quien es considerado El Príncipe de la Matemática merece otro tipo de atención, pero no es éste ni el lugar ni el momento. De todas formas, créame que vale la pena dedicar algún tiempo para leer sobre la vida de esta persona increíble.

Me apuro a escribir que no todo en la vida tiene una distribución normal o admite una campana de Gauss como descripción del fenómeno, pero si usted quiere pensar en otros ejemplos, imagine las alturas de las personas que viven en una ciudad, o la distribución que se obtendría si uno analizara los kilogramos que pesa cada uno. En el caso de las alturas, supongo que la mayor concentración de personas estará arriba de los que miden entre 160 y 170 centímetros, así como la de los pesos debería estar por encima de los que varían entre 60 y 70 kilos. Siguiendo con estos ejemplos, los que miden menos de 130 centímetros o más de dos metros figurarán a ambos costados ya que serán muchos menos, y los que pesan 30 kilos o 150, también.

Pero quiero volver al ejemplo. Como escribí antes, en el gráfico que apareció en el diario de Badalona sólo se reflejan los datos de 486 personas que fueron quienes entregaron la prueba. Es fácil descubrir la forma de campana que tiene la distribución de las notas. Si uno suma el número de personas que obtuvieron entre 4 y 10 obtiene 397 (ya que 60 + 70 + 95 + 73 + 55 + 44 = 397), lo que representa casi el 82% de los casos evaluados.

Sin embargo, como usted advierte, el mismo gráfico tiene una ‘curiosidad’ añadida: sobre el sector derecho, aparecen seis personas que obtuvieron entre 17 y 19 (nadie sacó el puntaje ideal). Y ésa es una anomalía a la que había que prestarle atención.

Entusiasmados por el descubrimiento, un grupo de los que rindieron el examen buscó los antecedentes de las personas que ‘sobresalieron’. Los periodistas del diario los ayudaron y concluyeron que de los seis, dos son hijos de dos de los actuales escoltas personales del alcalde de la ciudad y otros tres son hijos de agentes de la Guardia Urbana. Hasta este momento no pudieron encontrar ningún parentesco que invitara a la sospecha sobre el sexto aspirante.

Una vez que tuvieron estas herramientas, analizaron el examen desde otro lugar. La persona que obtuvo el puntaje mayor contestó 82 preguntas correctamente, se equivocó en dos y dejó seis en blanco, y el que más se equivocó de los seis también respondió bien 82, se equivocó en siete y no contestó una. Justamente estos seis casos invitaban a sospechar la existencia de algún tipo de anomalía. Eso los llevó a investigar algunas preguntas y cuestionarse cómo podía ser posible que algunos pudieran contestarlas sin despertar la sospecha de ‘tongo’. Uno de los acusadores declaró: “Algunas preguntas eran imposibles de responder”. Por ejemplo, una de ellas pedía contestar cuál es el porcentaje de desocupación juvenil que hay en Europa de acuerdo con lo que publicó la edición digital del diario El País (???). Teniendo en cuenta que el examen fue en septiembre y esa nota había salido en el diario en marzo, la pregunta parece —para ser generosos— muy ‘rara’. Lo curioso es que no se pide el dato de la desocupación, sino el dato publicado por la edición digital de un diario. Otra: “¿Cuál es la forma política de Japón?”. Como dicen los periodistas del diario de Badalona, parece una pregunta extraña para hacerle a alguien que pretende ser agente de la policía municipal de Badalona.

A esta altura —supongo que como a usted—, el problema que hay en Badalona dejó de interesarme, pero sí quería remarcar cómo la matemática vino en socorro de aquellos que sospechaban que había habido ‘tongo’ o ‘fraude’, o que alguien pasó los datos sobre 82 de las 90 preguntas, y que, curiosamente, cinco de los seis afortunados tenían una relación de parentesco con autoridades locales: ¡toda una casualidad!