Capítulo 7

Medidas de tendencia central

En esta unidad nos haremos algunas consideraciones sobre otros promedios, menos conocidos que la media, mediana y la moda, pero que merecen su estudio, ya que en algunos casos específicos, se requiere de su aplicación

Media cuadrática (M₂)

Esta medida se simboliza por M_2. Se define como la raíz cuadrada de la media aritmética de los cuadrados de la variable.

Para datos no agrupados:

Para datos agrupados:

Este promedio raramente se usa como medida de posición. Se aplica en algunos casos tales como en problemas de probabilidad o cuando se hace indispensable trabajar con los cuadrados de los valores

Su mayor importancia la tiene, cuando se requiere promediar una variable que toma valores positivos y negativos, como ocurre, por ejemplo, al trabajar con desviaciones respecto a la media, siendo su suma igual a cero (propiedad de la media), y que al ser elevada al cuadrado cada desviación, el resultado será positivo. Como se observa, este promedio está definido rígidamente por una fórmula matemática. Al igual que la media, se deja influenciar demasiado por los valores extremos.

Ejercicio 1. Consideremos arbitrariamente 5 valores, con los cuales calcularemos la media cuadrática:

5 6 10 12 7

Como se trata de datos no agrupados, aplicamos la fórmula respectiva:

Este valor promedio es superior al de la media aritmética:

Ejercicio 2. Utilicemos la Tabla 4.15 correspondiente a una variable continua y calculemos con esos datos la media cuadrática.

Tabla 4.15

La media aritmética de esta distribución es 67,6, valor inferior al obtenido al calcular la media cuadrática.

Media cúbica (M₃)

Su uso es mucho más limitado que el de la media cuadrática, por tal razón es un promedio casi desconocido; se simboliza por M₃ y se define como la raíz cúbica de la media aritmética de los cubos de los valores de la variable.

Para datos no agrupados:
Para datos agrupados:

Este promedio, al igual que los demás, exceptuando la media, está definido rígidamente por una fórmula matemática. Además, queda influenciado por valores extremos, más que en la media cuadrática.

Ejercicio 3. Consideremos los mismos 5 datos, que fueron utilizados para calcular la media cuadrática, y ahora obtengamos el valor de la media cúbica.

El valor de la media cúbica es mayor que el de la media cuadrática, y éste a su vez es mayor que el de la media aritmética.

Ejercicio 4. Utilicemos los datos de la Tabla 4.15 para calcular la media cúbica.

Tabla 4.15

Media geométrica (Mg)

La media geométrica es un promedio que también se encuentra definido rígidamente por una fórmula matemática. Se utiliza cuando se quiere dar importancia a valores pequeños de la variable o cuando se desea obtener el promedio de una serie de valores que están dados en progresión geométrica o aproximadamente geométrica.

Su empleo en el campo industrial y comercial es bastante restringido y su utilidad se limita a la obtención de promedios sobre el crecimiento o decrecimiento en una variable. Como por ejemplo: un capital colocado a una tasa de interés compuesto, durante un período determinado.

Los resultados de la media geométrica, al igual que el de la media, pueden ser usados en trabajos estadísticos posteriores, tal el caso de obtenerse submuestras y se desee al final calcular la media geométrica de la muestra.

La media geométrica se simboliza por Mg o Mo. Se define como la raíz enésima de la productoria de los n valores de la variable.

Para su cálculo se presentan dos casos:

a) Cuando son datos no agrupados u originales. El promedio geométrico se calcula hallando el producto de todos los elementos de la serie, y luego extrayendo la raíz del orden del número de observaciones consideradas.

El signo π (letra mayúscula del alfabeto griego, denominada pi) se lee “ productoria de”.

La fórmula de la media geométrica, tal como se ha visto, presenta el inconveniente de que tanto el producto de las x_i así como su raíz, pueden ser de un valor demasiado alto que dificulte las operaciones; por otra parte, si un valor de x_i es cero, el producto también será cero. Para obviar las dificultades anteriores se usan los logaritmos.

Observemos el cálculo de la media geométrica y la forma de aplicar su fórmula en datos no agrupados.

Ejercicio 5. $1.000 se colocan a un interés del 24% anual, el 31 de diciembre de 2014. Si el interés se capitaliza anualmente los días 31 de diciembre, calcular el promedio de dinero invertido entre el 31 de diciembre de 2014 y el 31 de diciembre de 2017.

Solución:

1.000 (1,24) = 1.240

1.240 (1,24) = 1.537,60

1.537,60 (1,24) = 1.906,62

Tabla 7.1

AÑOS	xi	log xi
2014	1.000,00	3,00000
2015	1.240,00	3,09342
2016	1.537,60	3,18684
2017	1.906,62	3,28026
Σ	-	12,56052

Ejercicio 6. Un país tiene en 2007 una población de 14 millones, la que sube a 22 millones en el 2017. Se pregunta por la población media en dicho período.

Solución: habitantes

Si examinamos la fórmula anterior, notaremos que, si uno o varios valores de la variable son negativos, de tal forma que el producto sea negativo la media geométrica no tiene sentido, porque da origen a una raíz imaginaria y no nos dará ninguna explicación al problema planteado.

b) Cuando son datos agrupados. La media geométrica se define como la raíz enésima de la productoria de los valores de la variable, elevadas cada una de ellas a una potencia, la cual está dada por la frecuencia absoluta.

Al igual que en datos no agrupados, las operaciones se simplifican si trabajamos con logaritmos:

Ejercicio 7. Consideremos los datos de la Tabla 4.15 para calcular la media geométrica.

Tabla 4.15

El promedio geométrico es siempre menor que la media aritmética, la cuadrática y cúbica.

Es muy común escribir erróneamente la fórmula dada para calcular la media geométrica:

En la fórmula correcta de la media geométrica, se multiplica cada frecuencia absoluta por el logaritmo del respectivo valor de la variable, en cambio, en la fórmula incorrecta se da a entender que es el logaritmo del producto de la variable por la frecuencia.

Ejercicio 8. La media aritmética de tres números es 8, la mediana es 8 y su media geométrica es . Se pide calcular los valores de esos tres números.

Solución

Media armónica (M_-1 ó M_H)

El promedio armónico se simboliza por M_-1 o M_H Este promedio se define diciendo que el recíproco de la media armónica es igual a la media aritmética del recíproco de los valores de la variable:

Observemos la aplicación de la fórmula, en un ejercicio trabajando con datos simples.

Ejercicio 9. Consideremos los índices de producción de cierto artículo, en los últimos cinco años, de acuerdo con los datos publicados por la empresa, y calculemos la media armónica.

Tabla 7.2

AÑOS	INDICE xi	1/xi
2013	128	0,0078
2014	135	0,0074
2015	141	0,0071
2016	152	0,0066
2017	163	0,0061
Σ	-	0,0350

Ejercicio 10. Se sabe que dos obreros, A y B, gastan 50 y 40 minutos respectivamente en remontar un par de zapatos. ¿Cuál es el tiempo medio requerido para remontar un par de zapatos?

Solución

es el tiempo medio requerido.

Si se trata de datos agrupados o tablas de frecuencias, el recíproco de la media armónica estará dado:

de donde

Si necesitáramos utilizar la frecuencia relativa, la fórmula se convierte en:

Ejercicio 12. En la aplicación de la fórmula para calcular la media armónica utilizaremos los datos de la Tabla 4.15.

Puede observarse que la media armónica es menor que la media geométrica. En una distribución cualquiera, los valores de los diferentes promedios guardarán la siguiente relación:

Tabla 4.15

La media armónica, al igual que la mayoría de los promedios, se encuentra rígidamente definida por una fórmula matemática y también se ve influenciada por datos extremos, especialmente por los más pequeños.

Se aplica cuando se desea promediar datos de una variable dada en forma de tasas, esto es, tantas unidades de un tipo por cada unidad de otra especie; pero también se utiliza para promediar datos inversamente proporcionales.

Pero su mayor uso se realiza en el cálculo de la velocidad promedio a saber:

S = espacio V = velocidad t = tiempo S = V · T

Supongamos dos espacios:

Si dividimos por t₁ + t₂ se tendrá:

Reemplazando se tendrá que:

Ejercicio 13. Supongamos que la distancia entre dos ciudades, A y B, es de 80 kilómetros, y entre B y C de 120 kilómetros. Si un automovilista cubre cada una de las etapas en tiempos iguales, ¿cuál es la velocidad promedio?

Solución: Si el tiempo permanece constante pero varía la distancia, utilizamos la media aritmética:

Modifiquemos el anterior ejercicio y observemos lo siguiente:

Ejercicio 14. Supongamos que un automovilista recorre la distancia de 80 kilómetros que hay entre A y B a una velocidad de 100 km/h. y los restantes 120 kilómetros a una velocidad de 80 km/h. ¿Cuál es la velocidad promedio?

Un promedio incorrecto sería aplicar la media aritmética.

La forma correcta será aplicar la media armónica:

Ahora, si el problema se plantea de la siguiente forma:

S₁ = 80 S₂ = 120 V₁ = 80 V₂ = 120

Al aplicar la media armónica se obtendrá:

tal como aparece en el ejercicio 13. Otra aplicación errónea de la media aritmética, se puede observar en el ejercicio siguiente, en el cual se debe utilizar la media armónica.

Ejercicio 15. Un grupo de trabajadores hace 120 papeleras para escritorio con una productividad de 12 papeleras diarias; una vez terminado ese contrato se dedican a producir otras 120 papeleras a razón de 18 por día. Se desea determinar la productividad diaria en la elaboración de las 240 papeleras.

Solución: Si se calcula la media aritmética, se tendrá un resultado erróneo:

Sabemos que las primeras 120 papeleras las hacen en 10 días 120 ÷12 = 10 y las siguientes 120 papeleras en 6,67 días 120 ÷18 = 6, 67 ; es decir que el total de las 240 las harían en 16,67 días; y el rendimiento por día es de 15 por lo tanto se tendría: 16,67 × 15 = 250 papeleras, cantidad diferente a 240, que teníamos inicialmente.

Ahora, si en vez de la media, utilizamos la media armónica, se tiene:

Siendo el promedio de 14,4 papeleras por día, para un total de 16,67 días se tendrá que el número total de papeleras para escritorio, producido en ese tiempo es:

14,4 × 16,67 = 240.

Con lo anterior se confirma que la media armónica es útil cuando se presenta una relación inversa entre las variables implícitas.

Ejercicio 16. Tres amas de casa, A, B y C, fueron a hacer mercado a tres partes diferentes. Cada una gastó $10.000 en la compra de naranjas. A compró 4 docenas; B compró 6 docenas; C compró 3 docenas. ¿Cuál es el precio promedio por docena?

Solución: Utilizando la media aritmética se tendría

Precio por docena:

para para par

El precio promedio sería:

Si la docena valiera en promedio $2.500, las 13 docenas costarían 2.500 × 13 = 32.500, cuando en realidad costaron $30.000.

Calculemos el precio promedio utilizando la media armónica:

Si el precio por docena es de $2.307,7 las 13 docenas costarán: 2.307, 7×13 = 30.000

Cuartiles, deciles y percentiles

Se vio en el capítulo 6, que la mediana es el valor correspondiente a la observación central, en tal forma que supere la mitad y sea superada por la otra mitad de las observaciones. En otras palabras, la distribución se divide en dos partes iguales, ubicándose la mediana en el centro. Algo parecido sucede con los cuartiles, deciles y percentiles. Veámoslos:

• Cuartiles

Para calcular los cuartiles se divide la distribución en cuatro partes, de tal manera que cada una contenga igual número de observaciones, es decir, el 25% de las observaciones. Se denominan cuartiles a los tres valores que separan a la frecuencia total de la distribución, dividida en cuatro partes iguales. El valor central es igual a la mediana y corresponde al segundo cuartil.

Los cuartiles, deciles y percentiles se emplean con más frecuencia en variables continuas, siempre que el número de intervalos sea grande y se desee obtener un promedio que corresponda a una determinada parte de la distribución.

El cuartil inferior (Q₁) es aquel valor de la variable que supera al 25% de las observaciones y a la vez, es superado por el restante 75%.

El segundo cuartil (Q₂) es aquel valor de la variable que supera al 50% y a la vez es superado por el otro 50% de las observaciones. (Igual a la mediana).

El tercer cuartil (Q₃) es aquel valor de la variable que supera al 75% y es superado por el restante 25% de las observaciones.

Datos sin agrupar. Con los siguientes datos, los cuales deben ser ordenados de menor a mayor, calcular el Tercer Cuartil.

2 2 5 8 12 12 16 18 21 21 24 30 32 32 36 40 44 50 (n = 18)

• Primero: determinamos la posición así:
• Segundo: localizamos la posición 14, en este caso es 32
• Tercero: con el 0,25 restante lo debemos multiplicar con la diferencia que se observa res-pecto al valor siguiente: 0,25 (36-32) = 0,25 (4)= 1 y se lo sumamos al resultado anterior:

Datos agrupados

Los pasos que se siguen en el cálculo de estos promedios son muy parecidos a los aplicados para calcular la mediana, a saber:

1. Se acumulan las frecuencias absolutas (N_j).
2. Si se trata de calcular a Q₁ se divide a n por 4, con esta operación se localiza el valor que supera al 25%. En el caso de Q₂ la operación será de 2n ÷ 4 = n ÷ 2 tal como se procedió en el cálculo de la mediana, y para Q₃ será 3n ÷ 4
3. El valor obtenido en el punto anterior se localiza en la columna de N_j. Si aparece dicho valor, como en el cálculo de la mediana, en la columna de las frecuencias absoluta acumuladas, se simbolizará por N_j-1 y el valor inmediatamente posterior por N_j. En el caso de que el valor resultante, al aplicar el punto dos no aparezca el valor en esa columna, se tomará como N_j-1 al valor inmediatamente menor y como N_j al inmediatamente superior.
4. En la variable continua se tendrán dos casos:
   1. Cuando aparece el valor del punto dos, es decir, que se presente algunos de estos resultados de se tendrá que Q₁= y’_{j −1}; es decir, aquel valor localizado al frente de N_j.
   2. Cuando no aparece el valor obtenido mediante el punto dos, se tendrá que:

• Deciles

Si en vez de dividir la distribución en cuatro partes iguales, la dividimos en 10 partes, se tendrá uno de los nueve valores que dividen la frecuencia total en diez partes iguales.

Datos sin agrupar. Con los 18 datos que se dieron para calcular el Q₃, utilicémoslo para calcular el D₃ (tercer decil) y D₇ (séptimo decil).

La posición para el tercer décil será: . El valor 12 está ubicado en la posición 5ª y con el 0,70, se utilizará para multiplicarlo por la diferencia entre la posición 5ª y 6ª, es decir: 0,7 (12-12) = 0 por lo tanto: D₃ = x_j = 12

En el caso del séptimo decil, la posición será:

La posición 13ª lo tiene el valor 32 y luego 0,3 (32-32) = 0

Siendo: D₇ = x_j = 32

Datos agrupados

El primer decil (D₁) es igual al valor que supera al 10% de las observaciones y a la vez es superado por el restante 90%.

El proceso que se sigue en su cálculo, es muy parecido al desarrollado en los cuartiles, con la diferencia de que n se divide entre 10 y no entre cuatro.

También se tendrá dos casos:

• Cuando , el primer decil, será:
• Cuando el primer decil será

Así se procederá para los demás deciles.

• Centil o percentil

Si deseamos dividir la distribución en cien partes con igual número de observaciones, se tendrán 99 valores de la variable que separan a la frecuencia total de la distribución divididas en 100 partes iguales.

Datos sin agrupar. Con los mismos datos sin agrupar utilizados para calcular los Q₃, D₃ y D₇ , calculemos los percentiles: 22; 46 y 82

Percentil Es la posición donde ubicaremos dicho percentil La posición 4ª la ocupa el valor 8 y el restante estará dado por 0,18 (12-8) = 0,72

Siendo: P₂₂ = 8,72

Percentil Nos indica la posición, así:

la posición 8ª corresponde al valor 18, más 0,74 (21-18) = 2,22 → P₄₆ = 20, 22

Percentil Siendo:

la posición 15ª igual a 36, más 0,58 (40-36) = 2,32 → P₈₂= 36 + 2,32 = 38,32

Datos agrupados

• Cuando , el primer percentil, será:
• Cuando el primer percentil:

El percentil 26 se calculará así:

• Cuando
• Cuando

Se diría que el percentil 26 corresponderá a aquel valor de la variable, que supera al 26% y a la vez es superado por el 74% de las observaciones.

Ejercicio 17. Utilizando los datos de la siguiente distribución, se pide calcular: a) el tercer cuartil, b) el cuarto decil y c) el percentil sesenta.

Solución:

• Tercer cuartil (Q₃) (posición)

y’i−1 − y’i	ni	Ni
30,1 - 38	9	9
38,1 - 46	16	25
46,1 - 54	31	56
54,1 - 62	42	98
62,1 - 70	23 nj	121
70,1 - 78	15	136
78,1 - 86	9	145
86,1 - 94	5	150
Σ	150	-
X’i−1 −X’i	fi	Fi

• Cuarto decil → (D₄) (posición)

N_j-1 = 56 será valor inmediatamente inferior a 60.

N_j = 98 será el valor inmediatamente superior a 60.

Siendo: ; se aplicará la siguiente fórmula:

• Percentil sesenta → (P₆₀) (posición)

N_j-1 = 56 será el valor inmediatamente inferior a 90.

N_j = 98 será el valor inmediatamente superior a 90.

Siendo: ; se tendrá que:

Centro recorrido

Es un promedio raramente utilizado debido a su poca representatividad, especialmente cuando es aplicado en datos agrupados. Este promedio se define como la media aritmética de sus valores extremos.

Las fórmulas utilizadas en el cálculo del centro recorrido son:

1. (en datos no agrupados)
2. (en datos agrupados variable discreta)
3. (en datos agrupados variable contínua)

De acuerdo con las fórmulas anteriores, se podrá comprender el por qué hemos denominado a este promedio como centro recorrido, al ser el punto medio del rango.

También es bueno observar, que al no ser tenidas en cuenta las frecuencias para el cálculo del promedio, lo sitúa en la mayoría de los casos, como un promedio poco típico de la distribución.

Ejercicio 18. Calcular el centro recorrido para cada una de las siguientes distribuciones:

a) Los salarios semanales de 10 vendedores son:

$ 325.000	456.000	336.800	528.500	413.000
383.000	492.400	315.000	603.200	380.000

b)

yi	ni
50	3
58	6
66	10
74	6
82	3
90	2
Σ	30
Xi	fi

c)

y’i−1 − y’i	ni
46,1 - 54	3
54,1 - 62	6
62,1 - 70	10
70,1- 78	6
78,1 - 86	3
86,1 - 94	2
Σ	30
X’i-1 – Xi’	fi

a)

La media de esos 10 valores es:
Moda, no hay en este ejercicio

La mediana será:

b)

c)

APLICACIóN DE LA ESTADíSTICA UTILIZANDO LA CALCULADORA

Calculadora CASIO fx–5000F

Primero: oprimir las teclas MODE X y debe aparecer en pantalla, en la parte superior SD.

Segundo: si se desea borrar la información obtenida en cálculos anteriores, se oprime SHIFT DEL EXE ojalá dos veces; no importa si en la pantalla aparece algún número después de realizado el procedimiento

Tercero: entrada de datos:

Ejemplo 1. x_i = 5; 10; 20; 13; 27. Se oprime el número correspondiente a x, consideremos 5 luego la tecla que corresponde a DATA; así se prosigue con el 10, luego con el 20 y así sucesivamente

Ejemplo 2. Si los datos estan agrupados

yi:	2 4 6 8 10
ni:	8 6 10 12 9 = 55

La entrada de los datos se hará así:

2 SHIFT	; 3	luego será:
4 SHIFT	; 16	DATA y así sucesivamente.

La obtención de resultados para el primero y segundo ejemplo se utilizará las mismas teclas.

Los resultados en el ejemplo 1, son:

En el ejemplo 2, son:

Calculadora CASIO fx 30MS

Primero: Al oprimir MODE aparece en pantalla tres operadores:

COMP	SD	REG
1	2	3

se oprime el 2 y se obtiene SD, con el cual trabajamos; el 1 se emplea para normalizar la calculadora, una vez realizada las operaciones estadísticas, y el 3 para trabajar simultáneamente con dos variables

Segundo: borramos cualquier información que se tenga con SHIFT MODE (CLR) y aparecen varias operadores, escogiendo el SCL oprimiendo la tecla 1 , con lo cual queda lista para iniciar los cálculos

Tercero: la entrada de los datos, es igual al de la calculadora anterior

Cuarto: la salida de los datos calculados se hace:

primero: con SHIFT 1 nos presenta tres opciones

segundo: con SHIFT 2 se dan tres opciones

Los resultados se interpretan igual que en la calculadora anterior.

Casio fx–570 MS

Primero: iniciamos oprimiendo las teclas MODE y nos da dos opciones:

1 COMP 2 CMPLY ; luego oprimimos otra vez MODE, presentando otras tres opciones: , seleccionamos SD, luego oprimimos la tecla 1

Segundo: capturamos la información tal como se hizo con la primera calculadora, es decir:

Datos sin agrupar: 5 DT	luego 10 DT y así nuevamente
Datos agrupados: 2 ; 8	luego 4 ; 16 y así sucesivamente.

Se debe oprimir SHIFT para que aparezca ; la salida de los datos es exactamente igual al anterior.

SHIFT	1	aparece con
SHIFT	2	aparece con

Calculadora CASIO fx – 350 TL

Con MODE aparece 1    COMP    2    SD    3    REG

Se oprime el 2 para trabajar con la función estadística, los datos se capturan como en todos los casos anteriores y la salida de los datos se hará así:

Con	SHIFT	1	se obtiene		→ Media aritmética
Con	SHIFT	2	se obtiene		→ Desviación típica
Con	SHIFT	3	se obtiene		→ Desviación típica corregida

Ahora con RCL y las letras A B C se obtienen datos para:

RCL   A    ∑ X²         RCL   B   ∑ X         RCL   C   n

Aplicación de estadística en la herramienta Excel

SE REALIZA PRIMER PROCEDIMIENTO

Ubiquémonos en la barra de MENU, con el MOUSE haciendo CLIC en HERRAMIENTAS debe aparecer la siguiente Figura 1:

Figura No. 1. Microsoft Excel

Al hacer CLIC en el submenú ANÁLISIS DE DATOS , debe aparecer la siguiente Figura 2:
Si en el despliegue, en la parte final, no aparece el submenú ANÁLISIS DE DATOS, deberá ubicarse en el submenú COMPLEMENTOS, con el cual se logra su obtención.

Figura No. 2. Funciones para análisis

Con la Figura No. 2, correspondiente a ANÁLISIS DE DATOS, procederemos a seleccionar una de las funciones, en nuestro caso la opción identificada como ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, luego al hacer CLIC en ésta y ACEPTAR debe aparecer la figura siguiente:

Figura No. 3. Estadística Descriptiva

Cuadro No. 4

SEXO	ESTADO CIVIL	PROFESIÓN	EDAD	SALARIO	LECTURA	Nª DE HERMANOS	ESTATURA
1	1	2	28	1	5	0	158
1	2	2	36	2	2	0	162
2	2	1	25	2	6	1	170
1	6	1	28	2	10	1	172
2	3	3	19	1	4	1	165
1	3	1	32	3	4	2	148
1	1	5	29	2	2	2	146
1	1	1	48	2	3	1	155
2	3	1	53	1	5	1	164
1	6	4	26	4	10	0	172
1	4	3	32	6	6	4	183
2	3	3	19	2	8	1	178
2	4	1	19	2	2	1	164
2	1	4	28	1	2	0	166
1	1	4	31	1	5	0	154
2	5	6	48	6	2	2	146
1	4	7	62	7	4	6	180
2	3	1	58	6	6	2	172
1	2	8	43	1	4	1	165
1	1	6	29	2	2	0	155
1	5	5	19	5	5	1	150
2	5	1	28	4	2	1	149
1	6	1	63	3	2	8	161
2	2	3	26	2	4	1	163
2	1	3	26	2	4	1	165
1	1	4	37	1	5	2	168
2	3	1	41	5	4	2	171
2	2	7	52	6	2	0	164
1	1	8	49	7	10	1	165
2	4	1	28	2	6	2	170
1	6	8	23	7	1	0	180
2	1	7	25	1	6	0	174
2	1	6	36	2	7	1	162
2	1	6	45	2	2	1	149
1	1	6	21	3	2	3	158

Teniendo en cuenta la Figura No. 3 ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA, se comienza el procesamiento de los datos. Recordemos que el RANGO DE ENTRADA es el correspondiente a la variable estatura registrados en el cuadro No. 4.
En la misma figura anterior, aparecen unas opciones de salida, con alternativa de ser una HOJA NUEVA o en un LIBRO NUEVO.

Además, aparecen: RESUMEN DE ESTADÍSTICAS; NIVEL DE CONFIANZA PARA LA MEDIA: 95% o cualquier otro valor establecido; K-ÉSIMO MAYOR y, finalmente, K-ÉSIMO MENOR, activando o haciendo CLIC en cada uno de ellos. En caso de considerar la obtención de un mayor número de resultados para el análisis.

Al hacer CLIC en ACEPTAR, se obtiene la información, tal como puede observarse en la Figura No. 4.

Figura No. 4. Resultados obtenidos con 35 datos, correspondiente a la estatura de cada uno de ellos en el cuadro anterior

Medidas	Resultados
Media	163.542857
Error típico	1,69047895
Mediana	164
Moda	165
Desviación estándar	10,0010084
Varianza de la muestra	100,020168
Curtosis	0,61873584
Coeficiente de asimetría	0,7293699
Rango	37
Mínimo	146
Máximo	183
Suma	5724
Cuenta	35
Mayor (1)	183
Menor (1)	146
Nivel de confianza(95.0%)	3,43546655

Para lograr los anteriores resultados en todas y cada una de las opciones (Resumen de estadísticas; nivel de confianza para la media, K-ésimo mayor y K-ésimo menor), deben señalarse. El total de la información que aparece en el cuadro No. 4.

Los resultados de la Figura No. 4, nos muestran un cuadro resumen con los valores de la: Media, Error Típico; Mediana; Asimetría; Mínimo; Máximo; Suma; Conteo para la variable ESTATURA.

Este procedimiento lo podemos aplicar a las demás variables y éstos son los resultados.

Cuadro No. 5. Resultados para cada una de las columnas del cuadro No. 4, con datos sin agrupar

Observe cuidadosamente los errores que se pueden cometer en el análisis de resultados. En primer lugar las características cualitativas: SEXO, ESTADO CIVIL, PROFESIÓN, solo sería válido el MODO, pero las medidas a aplicar son proporciones, para luego presentarlas como porcentajes. Las 3 caraterísticas anteriores más salarios, en ellos fueron empleados códigos y con ellos no se pueden aplicar las medidas anteriores

SEGUNDO PROCEDIMIENTO

Se podrá calcular en forma independiente, cada una de las medidas denominadas de TENDENCIA CENTRAL y de DISPERSIÓN. Para ello solo se va a tomar una de las variables, en este caso será la ESTATURA, de acuerdo con la información del cuadro No. 4.

MEDIA ARITMÉTICA. Fórmula:

El proceso de cálculo es el siguiente:

Seleccionamos la CELDA, es decir, la activamos en el lugar donde deseamos que aparezca el resultado.

Con el MOUSE nos movemos al ICONO y le damos CLIC dos veces a fx y aparecerá la figura, correspondiente a PEGAR FUNCIÓN:

Figura No. 5. Pegar función

Luego de haber activado fx, se debe escoger la categoría ESTADÍSTICA y luego el NOMBRE DE LA FUNCIÓN que vayamos a estimar, para el caso seleccionamos MEDIA ACOTADA, después vamos a la opción ACEPTAR, al hacerle CLIC, debe aparecer la Figura No. 6.

Figura No. 6. Media

En esta Figura No. 6 se nos pide en la primera celda la Matriz. Se debe ir al cuadro No. 4 y sombrear todos los datos de la columna ESTATURA donde está nuestra variable sin soltar el botón izquierdo.

En la casilla que dice PORCENTAJE se le da el valor de cero (0) y se observará que el resultado de la MEDIA es de 163,7058824, siendo el mismo resultado que se obtuvo por el procedimiento anterior, tal como lo muestra la Figura No. 7.

Figura 7. Cálculo de la media (estatura)

Nota: el procedimiento anterior es aplicado igualmente para las diferentes medidas de POSICIÓN y de DISPERSIÓN, sólo cambia cuando nos ubicamos en el nombre de la función, es decir, la medida que se requiere calcular.

MEDIANA Me

A continuación del uso del EXCEL y de los ejercicios para resolver, se expone la TEORIA de varias medidas de posición y de tendencia central, entre otros, la Mediana, Moda, y Media geométrica.

En datos sin agrupar hay dos maneras de estimarla:

a) Número de observaciones IMPAR. En este caso se ordenan los datos de menor a mayor o viceversa, luego seleccionamos como MEDIANA al valor central.

Ejemplo:	3 5 12 16 30
	Me

b) Número PAR de observaciones. También se ordenan de mayor a menor o de menor a mayor; se tiene dos valores en el centro, por lo tanto se promedian.

Ejemplo:

Figura No. 8 Mediana

Nota: nos ubicamos en AUTOSUMA y luego seleccionamos MAS FUNCIONES haciendo clic en selección UNA CATEGORIA que puede ser: Mediana, Moda, Media geométrica o aquella que usted desee

Obsérvese, que para el cálculo de la MEDIANA y DEMÁS MEDIDAS, aparece en las primeras casillas la palabra NÚMERO 1, en ésta se debe copiar el rango de los valores que aparecen en las columnas del cuadro No. 4, con sólo establecer el rango aparece el resultado, que al compararlo con el obtenido en el anterior método, la MEDIANA sigue siendo igual a 164,5. NOTA: Este resultado se localiza en la celda que se escoja y así sucesivamente. Lo invito a que estime los demás valores de las otras variables que aparecen en el cuadro No. 4.

MODO = MODA = VALOR MODAL: M_d

Se define como aquel valor de la variable que más se repite. Para algunos no es aconsejable calcularla mediante la utilización de EXCEL en caso de que haya más de una MODA, es decir, que sea BIMODAL o PLURIMODAL. Sólo se debe aplicar si es unimodal, es decir, cuando hay una sola MODA.

Cuando es BIMODAL o PLURIMODAL solo se reconoce la primera MODA de la lista.

Los pasos son los mismos utilizados para el cálculo de la MEDIA y MEDIANA es decir,

Figura No. 9. Moda

Figura No. 10. Estimación moda (estatura)

Obsérvese, que el valor que más se repite en la muestra es 165, siendo el mismo valor registrado en el Cuadro No. 5.

MEDIA GEOMÉTRICA ; Mg = Mo

Se define como “la raíz enésima del producto de los valores de la variable”

Fórmula

Nuevamente se sigue los mismos pasos aplicados para calcular la Media, Mediana, y Moda. Se hace CLIC en la parte izquierda correspondiente a CATEGORÍA ESTADÍSTICA, luego, a la derecha seleccionamos el renglón MEDIA GEOMÉTRICA, finalmente hacemos CLIC en ACEPTAR.

MEDIA ARITMÉTICA PONDERADA

Para utilizar el excel en el cálculo de la media, se realiza el siguiente procedimiento.

Tomemos ahora como ejemplo, la tabla que aparece en el cuadro siguiente, correspondiente a la variable (y_i) ESTATURA, y su frecuencia absoluta, siendo (n_i) el número de veces que se repite cada valor de la variable. Para ello vamos a tener presente una tabla de datos agrupados, aplicando la fórmula que deberá ser digitada:

=SUMAPRODUCTO(A2:A9;B2:B9)/SUMA(B2:B9)

Fórmulas:

Datos sin agrupar	Datos agrupados
Media cuadrática	Media cuadrática
Media cúbica	Media cúbica
Media geométrica	Media geométrica
Media geométrica	Media armónica
Media geométrica	Velocidad media
Media armónica

Centro recorrido (datos no agrupados)

Centro recorrido, variable discreta

Centro recorrido variable continua

Ejercicios propuestos

1. ¿Por qué no se aplica la media geométrica cuando uno de los valores es cero?, si la fórmula es
2. Calcular la moda en una distribución de frecuencias cuya x = 80, 3 y Me = 79,5
3. Durante un mes se construyeron 134 kilómetros de carretera en la siguiente forma: 3,60% del total en la primera semana; 15,3% en la segunda semana; 7,60% en la tercera; 24,5% en la cuarta, y en la última 49%. Hallar la medida de tendencia central que represente mejor el promedio de esta distribución dada en kilómetros construidos por semana.
4. Dar un ejemplo específico propio para cada uno de los siguientes promedios.
   1. Media armónica
   2. Media geométrica.
5. La media aritmética de tres números es 7, su mediana es 6 y su media geométrica es Con los tres números, calcular la media armónica, el centro recorrido y la media cuadrática.
6. Dados tres números, se sabe que su media cúbica es su media aritmética es 7 y su mediana es 6. Calcular los valores de cada uno de esos tres números.
7. Se sabe que la media aritmética de dos números es igual a 5 y la media geométrica de los mismos es igual a 4. ¿Cuál es la media armónica?
8. Un estadístico entrega una hoja con los siguientes datos correspondientes al cálculo de la media aritmética.
   Calcular la media geométrica.

Zi ,,	Zi ,,ni
1	2
2	20
3	75
4	100
5	75
6	18

9. Una persona viaja 4 días. Diariamente recorre 200 kilómetros, pero maneja el primero y el último día a 50 km/h, el segundo a 55 km/h y el tercer día a 70 km/h. ¿Cuál es la velocidad media durante el viaje?
10. Un automovilista viaja de A a B a una velocidad media de 40 km/h. y vuelve de la ciudad B a A a una velocidad media de 60km/h. Hallar la velocidad media del viaje completo.
11. Las ciudades A, B y C son equidistantes entre sí. Un automovilista viaja de A a B a 30 km/h. de B a C a 40 km/h. y de C a A a 50 km/h. Determinar el promedio de velocidad para el viaje completo.
12. Un fabricante dispone de $600.000 semanales, para la compra de materia prima. Durante tres años invierte la misma cantidad de dinero. Si el precio promedio por kilo ha aumentado en los tres años sucesivos de $2.200 a $2.800 y luego a $4.600, ¿cuál es el precio promedio que ha pagado el fabricante en dichos tres años?
13. El 1 de mayo de 2013 se colocan $50.000 en una corporación financiera al 7,6% de interés anual, capitalizados semestralmente. Se pide la suma media depositada en la cuenta, entre el primero de mayo de 2013 y el 31 de octubre de 2017 si no se hicieran retiros durante el período.
14. En una oficina gubernamental de reclamos, desarrollamos un proceso de agilización de atención, para aquellos períodos de mayor asistencia. Para ello se llevó un registro de tiempo de espera, incluyendo la atención (horas, minutos) de 12 personas, seleccionadas al azar con los siguientes resultados: 0,40; 0,20; 1,10; 2,25; 0,45; 1,16; 1,30; 0,15; 1,42; 2,16; 3,12; 0,36
    1. Calcular la media, mediana y primer porcentil.
15. La empresa de servicio de acueducto y alcantarillado de una ciudad del país, seleccionó 30 clientes, al azar, que utilizan este servicio. En el último mes el valor de esas facturas, en miles de $, fueron:

32	68	72	32	32
70	103	65	74	69
38	42	56	72	94
39	51	88	76	70
66	100	94	62	47
53	61	42	56	65

1. Calcule: la Media, Mediana, Moda, Media geométrica, Media cúbica, la armónica.
2. Calcule: el primer cuartil, el sexto decil, y el 72 percentil.
3. Elabore una tabla de frecuencias, donde m = 7 y calcule los puntos a) y b) que se dieron anteriormente.

16. Explique las ventajas y desventajas de cada una de las medidas de posición y de tendencia central.
17. Se considera posible convertir una variable cualitativa (atributo) en una cuantitativa ya sea a partir de medidas central o variabilidad, asignando un número consecutivo a cada posibilidad de respuesta, en una escala de opinión, gusto o preferencia. La medida de tendencia central que podría ser utilizada en este caso es:
    1. Media
    2. Mediana
    3. Moda
    4. Media armónica
    5. Ninguna
18. Un almacén dedicado a la venta de calzado para hombre, durante un mes, encontró, que se vendieron: 30 pares de número 34; 12 de número 35; 62 de número 36; 40 de número 37; 140 de número 38; 200 de número 39; 10 de número 40 y 5 de número 41. Comente el uso de la Media, Mediana y la Moda como medida de tendencia central y la utilización de cada una de ellas para la toma de decisiones en relación al número o talla, que debe tener en existencia, para no perder clientes.
19. Complete las siguientes frases colocando la palabra adecuada.
    1. La________________ se obtiene al disponer los datos de menor a mayor o viceversa.
    2. La________________ es la medida más recordable cuando los valores extremos de la distribución no están definidos.
    3. La________________ es la medida que se debe utilizar, cuando convertimos un atributo en una variable (cuantitativa).
    4. La________________ se define como el valor central en una distribución.
    5. La________________ es el valor que más se repite.
    6. La________________ sus fórmulas admiten tratamiento algebraico.
20. Cuando la variable tiene un crecimiento geométrico, la medida de posición correcta es:
    1. Media aritmética
    2. Media armónica
    3. Mediana
    4. Media geométrica
    5. El modo
21. En un problema donde se debe calcular la velocidad media, la medida indicada es:
    1. Media aritmética
    2. Media armónica
    3. Mediana
    4. Media geométrica
    5. El Modo
22. Complete las siguientes frases, escribiendo la palabra adecuada
    1. El ________________ cuartil, supera el 75% de las observaciones
    2. El ________________ decil, su resultado es igual a la mediana
    3. El ________________ percentil, supera al 30% de las observaciones
    4. El ________________ cuartil, es superado por el 25% de las observaciones
    5. El ________________ decil, es superado por el 20% de las observaciones
    6. El ________________ percentil, su resultado es igual a la mediana
23. Se tienen 10 vendedores en una compañía, los cuales cada uno vendió las siguientes cantidades de cierto producto, en un mes determinado: 15, 23, 4, 19, 15, 10, 10, 8, 28, 19.
    1. Calcular la X; M_e; M_d; Q₃; D₆
    2. Diga qué promedio representa mejor la información y por qué
24. Justifique las respuestas a las siguientes afirmaciones:
    1. En una distribución simétrica puede darse que: X = 5; M_e = 5 y M_d = 6
    2. En una serie de datos cuando n es par, la Me es igual al valor central
    3. La X se utiliza para promediar factores cualitativos.
    4. Es una distribución de intervalos abiertos es recomendable utilizar la X
    5. Si deseo promediar el grado de preferencia por un determinado deporte en un grupo de estudiantes puedo utilizar la X.
25. Complete las siguientes frases:
    1. La ________________ se determina ordenando los datos y seleccionando el valor central.
    2. La ________________ no se puede calcular si la distribución es de intervalos abiertos.
    3. La ________________ no es representativa si un valor es demasiado grande con relación a los demás.
    4. El valor que ocurre con mayor frecuencia en un conjunto de datos se denomina_______________
    5. ¿Cómo se define una distribución de frecuencias si los tres promedios son iguales? _________________
26. Con los datos de la siguiente tabla calcular la X; M_e; M_d; D₇; P₆₃

yi	3	6	9	12	15
ni	8	20	7	3	2