2.1. Càrrega elèctrica i matèria

Pràcticament tota la matèria que ens envolta està formada per tres tipus de partícules, els protons (p), els neutrons (n⁰) i els electrons (e), que acostumen a estar agrupades formant àtoms. Els protons i els neutrons tenen una massa molt semblant de l’ordre de 10²⁷ kg, mentre que els electrons són unes 2.000 vegades més lleugers (vegeu la taula 1.1).

Taula 1.1

Els protons i neutrons es troben agrupats en el centre dels àtoms formant el nucli atòmic. Al voltant d’aquest nucli es troben els electrons. En el model clàssic es considera que els electrons descriuen òrbites al voltant del nucli. Segons els principis de la mecànica quàntica, però, sabem que la trajectòria dels electrons no està ben definida i, aleshores, es diu que els electrons pertanyen a un orbital.

Les dimensions del nucli són de l’ordre de 10¹⁵ m 1 fm (1 fermi). En canvi, les dimensions de tot l’àtom són de l’ordre de 10¹⁰ m 1 Å (1 àngstrom). Així doncs, els àtoms són pràcticament buits i amb tota la massa en el nucli. ⁽¹⁾

La càrrega d’un neutró és nul·la, la d’un protó és -e i la de l’electró és e, sent e la unitat fonamental de càrrega.

En el Sistema Internacional d’unitats (SI) la unitat de càrrega és el coulomb (C).

El coulomb està relacionat amb e per

En general els àtoms són neutres perquè tenen la mateixa quantitat d’electrons que de protons i, per tant, la majoria de cossos també ho són. Ara bé, si en un cos el nombre de protons, N _p , és diferent del d’electrons, N _e , la seva càrrega neta és

Q = (N _p - N _e ) e.

Diem que la càrrega és quantitzada ja que tota la càrrega Q present a la naturalesa és un múltiple enter de la càrrega fonamental e. ⁽²⁾

Normalment, però, la quantització de la càrrega no s’observa macroscòpicament perquè, en els cossos carregats, | N _p N _e | és quasi sempre un nombre molt gran.

Quan un cos està carregat és perquè ha guanyat o ha perdut electrons. Un àtom amb un excés o un defecte d’electrons rep el nom d’ ió. Si un cos perd electrons, els transfereix a un altre que, per tant, en guanya. En aquest procés la càrrega neta de tots els cossos que intercanvien electrons no es modifica. És a dir, la càrrega es conserva. Aquest fet és una llei fonamental de la naturalesa.

La llei de conservació de la càrrega estableix que la càrrega no es crea, sinó que es transfereix.

Les molècules són agrupacions estables d’àtoms. Els lligams entre els àtoms d’una molècula, anomenats enllaços químics, són d’origen electromagnètic i només depenen dels electrons més externs. Aquests electrons són els més feblement units al nucli i s’anomenen electrons de valència. Els àtoms s’enllacen compartint els electrons de valència, els quals ja no seran d’un únic nucli. En aquest cas es diu que els electrons compartits pertanyen a un orbital molecular en comptes de pertànyer a un orbital atòmic. Les molècules amb un excés o defecte d’electrons també s’anomenen ions.

Les propietats dels materials depenen de com s’enllacen els seus àtoms i molècules. Aquests enllaços també són d’origen electromagnètic. Pel que fa a les propietats elèctriques, els materials poden dividir-se en:

• Materials conductors, que permeten el desplaçament de càrrega a través seu. Per exemple, els metalls són bons conductors perquè alguns dels electrons no queden lligats a cap àtom o molècula en concret. Són els electrons lliures o de conducció que poden moure’s en el si del material.

• Materials aïllants, com la fusta o els plàstics, on tots els electrons estan perfectament lligats a algun àtom o molècula proper i no es poden moure lliurement. Els aïllants també s’anomenen dielèctrics.

Parlant amb rigor, no existeixen aïllants perfectes, atès que tots els materials permeten un cert moviment de càrrega i és més correcte parlar de bons i mals conductors.

2.2. Forces elèctriques: llei de Coulomb

L’estudi de les forces elèctriques es fonamenta en la llei de Coulomb, que estableix la força exercida per una càrrega puntual sobre una altra. Sempre que les càrregues siguin molt petites comparades amb la distància que les separa, es pot considerar que són càrregues puntuals.

La llei de Coulomb es pot formular matemàticament de la manera següent: siguin q ₁i q ₂ dues càrregues puntuals separades una distància r ₁₂, que és el mòdul del vector r ₁₂ que va de la posició de q ₁a la de q ₂ (com es veu a la figura 1.1), aleshores, la força elèctrica F ₁₂ exercida per q ₁ sobre q ₂ és

on ȓ ₁₂ = r₁₂ /r ₁₂ és el vector unitat que assenyala des de q ₁ cap a q ₂ i k és la constant de Coulomb que en unitats SI té el valor

Sovint la constant de Coulomb també s’escriu 1

on ε₀ és una constant anomenada permitivitat de l’espai lliure o permitivitat elèctrica en el buit, que en unitats SI val

Figura 1.1

Si intercanviessin els subíndexs 1 i 2 en l’equació 1.1 tenim la força F ₂₁ que fa q ₂ sobre q ₁. En fer aquest canvi, r ₂₁ coincideix amb r ₁₂ , però ȓ _{12 =} - ȓ ₂₁ i, per tant, F ₂₁ = - F ₁₂ . És a dir, la llei de Coulomb satisfà la tercera llei de Newton, la d’acció i reacció, perquè F ₂₁ té el mateix mòdul i direcció que F ₁₂ , però té sentit oposat.

Segons la llei de Coulomb, si dues càrregues puntuals q ₁i q ₂ tenen el mateix signe, la força F ₁₂ exercida per q ₁ sobre q ₂ té el mateix sentit del vector r ₁₂ que va des de q ₁ fins a q ₂ i, com que F ₂₁ = - F ₁₂ , les dues càrregues es repel·leixen. En canvi, quan q ₁i q ₂ són de signe diferent F ₁₂ té el sentit oposat al de r ₁₂ i les càrregues s’atreuen.

Exemple 1.1. Aplicació de la llei de Coulomb

Si a la figura 1.1 considerem que q ₁ = 5 nC i q ₂ 6 = nC, per calcular F ₁₂ i F ₂₁ s’ha de procedir de la forma següent. Com que r ₁ (3 m) i (6 m) j i r ₂ (6 m) i (2 m) j, tenim que

i aleshores

Fixeu-vos que quan multipliquem per les components de ȓ ₁₂ , 3/5 i -4/5, estem multiplicant per cos θ i sin θ, sent θ l’angle que forma r ₁₂ amb la direcció de l’eix de les x (figura 1.1), i obtenim les components x i y de F ₁₂ . Aquest angle és θ arc tan(-4/3) -53,13º.

Finalment

2.2.1. Superposició de les forces elèctriques

En un sistema de càrregues puntuals, la força neta que actua sobre una determinada càrrega és la suma vectorial de cada una de les forces individuals que li fan les altres, i cada una d’aquestes forces individuals ve donada per la llei de Coulomb. Aquest fet s’ha comprovat experimentalment i és conegut com el principi de superposició de les forces elèctriques.

Com s’indica a la figura 1.2, una càrrega positiva q ₁ = 10 nC es troba a l’origen de coordenades i una càrrega negativa q ₂ = -15 nC està en el punt (5 m,0 m). Quina força fan aquestes dues càrregues sobre una tercera q ₃ 5 5 nC que està en el punt (0 m, 5 m)?

Activitat

1.1. Calculeu la força neta sobre les càrregues q ₁i q ₂ de l’exemple 1.2.

Resposta

2.3. Camp elèctric

La força elèctrica és una interacció a distància que, com veurem en aquest subapartat, pot formular-se mitjançant el concepte de camp elèctric. Aleshores, la força exercida sobre una càrrega q per un conjunt de càrregues distribuïdes per l’espai s’explica com el resultat de dos processos:

• D’una banda, una distribució de càrregues crea un camp elèctric E en tot l’espai.

• De l’altra, el camp elècctric fa una força sobre la càrrega q.

Atès que el camp elèctric és una propietat de tot l’espai, s’ha de descriure mitjançant una funció de la posició. Com veurem tot seguit, aquesta funció assigna un vector a cada punt i, per tant, el camp elèctric és un camp vectorial.

• Un camp escalar és una funció que a cada punt de l’espai li assigna un escalar (un nombre real). La pressió atmosfèrica és un exemple familiar de camp escalar. Les línies que envolten les depressions i anticiclons del mapa del temps uneixen punts amb la mateixa pressió (isòbares).

• Un camp vectorial és una funció que a cada punt li assigna un vector. Per a descriure la velocitat del vent (intensitat, direcció i sentit) en un instant determinat s’ha de fer mitjançant un camp vectorial.

El camp elèctric E en un punt es defineix com la força elèctrica F0 per unitat de càrrega que actuaria sobre una càrrega positiva q0 situada en el punt en qüestió. Això és

La càrrega q ₀ s’anomena càrrega d’assaig i ha de ser prou petita perquè no afecti les càrregues que creen el camp. Desplaçant-la d’un punt a un altre es pot trobar el camp a tots els punts de l’espai.

La unitat SI per a E és el newton per coulomb (N/C).

Considerem un sistema de N càrregues puntuals q ₁, q ₂, ..., q _i , ..., q _N , situades en els punts r ₁ , r ₂ , ..., r _i , ..., r _N , respectivament. La força que actuaria sobre una càrrega d’assaig q ₀ situada en el punt r ₀ seria la superposició de les forces F _{i 0} que faria cada q _i sobre q ₀, això és

Quan dividim F ₀ per q ₀ veiem que el camp elèctric creat per un sistema de càrregues puntuals és

on E _i (kq _i r ² _{i 0}) és el camp elèctric creat per la càrrega puntual q _i . Fixeu-vos que E no depèn de la càrrega d’assaig q ₀.

La definició de camp elèctric implica que una càrrega puntual q en presència d’un camp E es veu sotmesa a una força

La força que actua sobre una càrrega puntual positiva té el mateix sentit que E i la que actua sobre una càrrega negativa és de sentit oposat (figura 1.3).

Figura 1.3

Exemple 1.3. Càlcul del camp elèctric creat per càrregues puntuals

Les càrregues q ₁ = 10 nC, q ₂ = -15 nC i q ₃ 5 = nC de l’exemple 1.2 estan en els punts (0 m,0 m), (5 m,0 m) i (0 m,5 m), respectivament (vegeu la figura 1.4). Quin és el camp elèctric creat per les tres càrregues en el punt P = (5 m,5 m)?

Tenint en compte que les distàncies r _iP que hi ha des de cada càrrega a P i que els vectors unitat ȓ _iP que apunten des de cada càrrega a aquest punt són

Figura 1.4

Aleshores, el camp elèctric en el punt P és la suma dels tres,

Si col·loquem una càrrega q ₄ = -2 nC en el punt P, el camp elèctric li farà una força

Exemple 1.4. Camp d’un dipol elèctric

Un dipol elèctric és un sistema format per dues càrregues puntuals de magnitud igual i signe diferent, q ₊ = q i q _- = -q (q>0). Quin és el camp E en el punt P de la figura 1.5?

Com que la distància d’ambdues càrregues al punt P = (0,2a) és igual a r _{+ P} r _{- P} a √5, els camps elèctrics creats per cada una en aquest punt, E ₊ i E _- , tenen el mateix mòdul

Figura 1.5. Camp elèctric creat per un dipol elèctric en un punt de la seva mediatriu

A més a més, les components horitzontals de E ₊ i E _- són negatives i de valor igual, i les verticals tenen el mateix valor absolut però signe oposat. Aleshores, el camp elèctric E en el punt P, E = E ₊ + E _- , té la direcció de l’eix de les x i sentit negatiu, i el seu valor és dues vegades la projecció de E ₊ (o E _- ) sobre aquest eix. Així, doncs,

Fixeu-vos que l’angle θ que formen E ₊ i E _- amb la direcció horitzontal coincideix amb el que formen les hipotenuses dels triangles rectangles formats pel punt mig del segment que uneix les dues càrregues, el punt P i la posició de q ₊ o q _- . Aleshores, cos θ és igual al quocient del catet contigu a θ i la hipotenusa, és a dir, cos θ a /(a √5) 1/ √5.

Activitat

1.2. Calculeu el camp elèctric creat pel dipol de l’exemple 1.4 en els punts N (-2a,0), O = (0,0) i S (a/2,0).

Resposta

2.4. Línies de camp elèctric

La visualització d’un camp elèctric E es fa mitjançant les línies de camp elèctric.

Una línia de camp elèctric és una línia imaginària que en cada un dels seus punts el vector camp elèctric és tangent a la línea, i que té el seu sentit.

Figura 1.6

La definició de línia de camp que acabem de donar per al camp E és generalitzable a altres camps vectorials, per exemple les línies de camp gravitatori o les de camp magnètic (que estudiarem en el capítol “Magnetisme”).

Sigui quin sigui el tipus de camp, les línies de camp no es tallen mai. Si una línia de camp es tallés, la seva definició implicaria que en el punt de tall el vector hauria de tenir dues direccions, la qual cosa és absurda.

Els diferents exemples de la figura 1.7 mostren una propietat general del camp elèctric: per a qualsevol distribució de càrregues, les línies del camp elèctric sempre comencen en les càrregues positives (o l’infinit) i acaben en les negatives (o l’infinit).

Figura 1.7

Quan es dibuixen les línies de camp elèctric es fa de manera que el nombre de línies que entren o surten d’una càrrega és proporcional a la càrrega. A més a més, les línies entren o surten de punts distribuïts simètricament al voltant de la càrrega. Seguint aquest conveni, les línies de camp dibuixades satisfan la propietat següent: com més intens és el camp, les línies de camp estan més juntes. Podeu comprovar aquest fet en la figura 1.7 on a mesura que ens apropem a les càrregues, i per tant el camp elèctric és més intens, les línies de camp es van ajuntant.

2.5. Flux del camp elèctric

El nombre de línies de camp elèctric que travessen una determinada superfície està relacionat amb una magnitud matemàtica que s’anomena flux. A continuació definirem el flux del camp elèctric. Aquesta definició és generalitzable a altres camps vectorials.

Producte escalar

Recordeu que el producte escalar entre dos vectors A i B és un nombre real igual a A · B = AB cos θ on A i B són els mòduls dels vectors A i B, i θ és l’angle que formen A i B.

Sigui un camp elèctric E i una superfície imaginària S que dividim en elements prou petits per poder-los considerar pràcticament plans (figura 1.8). Sigui n _i un vector unitat normal (perpendicular) a cada un d’aquests elements de superfície i ΔA _i la seva àrea. Si E _i indica el camp elèctric en el centre de l’element i-èsim, el flux del camp elèctric a través d’aquest element de superfície es defineix com

Figura 1.8

Aleshores, el flux del camp elèctric a través de tota la superfície S es defineix com la suma de tots els Δφ _i quan s’ha fet el límit en què l’àrea de cada element tendeix a zero. Una suma definida així és una integral de superfície, i l’expressió matemàtica del flux del camp elèctric és

Les unitats SI del flux del camp elèctric són les del camp elèctric (N/C) per les de superfície (m²), això és, Nm²/C.

El càlcul general d’integrals de superfície està fora dels objectius d’aquesta assignatura. És important, però, que reconegueu l’expressió del flux en forma d’integral i que entengueu el seu significat. Si és així, en alguns casos el flux elèctric es pot calcular amb certa facilitat. Aquest és el cas del flux d’un camp E uniforme a través d’una superfície plana S d’àrea A.

2.5.1. Flux d’un camp elèctric uniforme a través d’una superfície plana

Un camp elèctric uniforme és aquell en què el vector E és el mateix en tots els punts. En aquest cas les línies del camp elèctric són rectes paral·leles que es dibuixen equiespaiades com en la figura 1.9. En una regió de l’espai on un camp elèctric uniforme és el doble d’intens que en una altra regió es dibuixen el doble de línies.

En una superfície plana n és el mateix en tots els punts (figura 1.9) i el seu producte escalar amb un camp E uniforme té un valor constant E · n = E cos θ, on θ és l’angle que forma E amb ṋ (figura 1.9a). Aleshores aquesta constant es pot treure fora de la integral que defineix el flux:

Figura 1.9

La integral de dA estesa a tota la superfície S és igual a la seva àrea A. Així doncs, tenim que,

Quan una superfície plana és paral·lela a E (figura 1.9b) cap línia de camp no la travessa (θ = 90º i el flux és φ = 0). En canvi, quan la superfície és perpendicular a E (figura 1.9c) el flux és màxim (θ = 0º i el flux és φ = EA).

Aquest cas (figura 1.9) mostra una propietat general de qualsevol flux: el flux a través d’una superfície és proporcional al nombre de línies de camp que la travessa.

Fins ara hem considerat que n té el mateix sentit que E. Si haguéssim triat el sentit oposat, hauriem obtingut un flux negatiu (cos(θ + π) = -cos θ). Un flux negatiu indica que les línies de camp travessen la superfície en sentit contrari al que fixem com a positiu quan triem un o altre sentit de n.

Per a evitar l’ambigüitat de signe en el flux a través de superfícies tancades s’ha establert el conveni que el vector normal unitat, n, es tria de manera que sempre està dirigit cap a fora del volum tancat per aquesta.

2.6. Llei de Gauss

Figura 1.10. Superfícies gaussianes

Considerem ara una sola càrrega puntual q i dos tipus de superfícies tancades com les de la figura 1.10: una superfície tancada S ₁ que conté q i una superfície tancada S ₂ que no la conté. Com es veu a la figura 1.10, el nombre de línies de camp que travessen S ₁ és el mateix que el que travessen una superfície esfèrica S ₀ de radi R concèntrica amb q. Per tant, el flux del camp elèctric a través de S ₁ és el mateix que a través de S ₀.

El camp E creat per q en qualsevol punt de S ₀ és perpendicular a aquesta superfície, per la qual cosa el vector unitat r que indica la direcció de E en cada punt de S ₀ coincideix amb el vector unitat n normal a aquesta superfície i r · n =1. Llavors, en la superfície S ₀,

és una constant que es pot treure fora de la integral del flux. Aleshores, com que la integral estesa a una superfície tancada s’indica amb el símbol , tenim el següent:

La integral de dA estesa a tota la superfície esfèrica S ₀ és precisament l’àrea total, que és igual a 4πR ². Per tant, el flux del camp elèctric a través de qualsevol superfície tancada que contingui una sola càrrega puntual és

Quan la càrrega q és positiva, les línies de camp surten de la superfície i φ > 0, i quan q és negativa, les línies entren i φ < 0.

En canvi, com es veu a la figura 1.10, totes les línies de camp que entren a una superfície tancada S ₂ que no contingui la càrrega q n’acaben sortint. Per tant, el flux a través de S ₂ és nul.

Tenint en compte que el camp E degut a dues càrregues puntuals q ₁i q ₂ és la suma dels camps E ₁ i E ₂ creats per cada càrrega per separat, es dedueix que el flux net φ a través d’una superfície tancada S també és la suma dels fluxos φ₁ i φ₂ produïts per cada càrrega per separat. És a dir,

on φ _i val q _i ε₀ quan q _i és dintre de S o és nul si no hi és. Si ampliem aquest resultat a un sistema de més càrregues obtenim la llei de Gauss.

La llei de Gauss estableix que el flux del camp elèctric a través de qualsevol superfície tancada és

on Q _int és la càrrega neta a l’interior de la superfície tancada S.

S’entén per Q _int la suma del valor de les càrregues positives menys el valor absolut de les negatives (vegeu l’exemple de la figura 1.11).

Figura 1.11. Aplicació de la llei de Gauss

Les superfícies tancades a través de les quals es calcula φ s’anomenen superfícies gaussianes. Si Q _int és positiva, φ també ho és, la qual cosa vol dir que el nombre de línies de camp que surten de la superfície gaussiana és més gran que el de les que hi entren. En canvi, si Q _int és negativa, φ és negatiu i el nombre de línies de camp que hi entren és més gran que el de les que en surten.

2.7. Camp elèctric prop d’un pla carregat uniformement

Si per una làmina d’àrea A hi ha distribuïda uniformement una càrrega Q, la seva densitat superficial de càrrega és

En punts molt propers a la làmina i lluny dels seus extrems, el camp E es pot aproximar al d’un pla infinit carregat amb σ. A la naturalesa no hi ha plans infinits però són un model ideal que ens permet trobar de forma aproximada el camp prop d’una làmina finita.

Si considerem un pla infinit carregat uniformement amb una σ > 0, les línies de E s’allunyen del pla (amb sentits oposats a cada costat). Per raons de simetria, E ha de ser perpendicular al pla (figura 1.12) i ha de ser el mateix en tots els punts equidistants al pla.

Figura 1.12. Secció d’un pla infinit carregat amb s > 0

Amb aquesta informació, podem determinar el flux del camp elèctric a través de la superfície d’una caixa cilíndrica com la de la figura 1.13. Les dues bases del cilindre, B ₁i B ₂, estan a la mateixa distància h del pla i l’àrea de cada una és A _b . El flux φ a través d’aquesta superfície gaussiana és igual al flux a través de la superfície lateral del cilindre, S _lat , més el flux a través de les bases.

El flux lateral φ _lat és nul perquè cap línia de camp no travessa la superfície lateral (E · ṋ = 0). Els fluxos φ₁i φ₂ són iguals a EA _b perquè E és perpendicular a les bases, E · n ⁼ E, i E es pot treure fora de la integral perquè val el mateix en tots els punts.

Figura 1.13

D’altra banda, la càrrega interior a la caixa cilíndrica és Q _int = σA _b (l’àrea de la intersecció del pla amb el cilindre coincideix amb la de les bases) i, segons la llei de Gauss,

Llavors, si igualem els dos resultats de φ que hem obtingut,

veiem que

_(1.9)

Fixeu-vos que el valor de E és independent de la distància h. És a dir, a cada costat del pla el camp elèctric és uniforme.

Si h és un vector unitat normal a un pla i que assenyala en el sentit que s’allunya del pla, podem considerar que el camp elèctric prop d’un pla carregat uniformement és

(1.10)

Aquest resultat també és correcte quan el pla està carregat negativament. Si σ < 0, E té sentit contrari a h i assenyala cap al pla.

Exemple 1.5. Camp elèctric prop d’un pla carregat uniformement

Quina força actua sobre una càrrega puntual q = 100 pC que està sobre l’eix z a 20 cm d’un pla molt gran carregat amb σ = 0,3 pC/cm², que coincideix amb el pla xy (figura 1.14)? Quin és el flux del camp elèctric a través d’una superfície esfèrica S de 10 cm de radi centrada a l’origen de coordenades?

Figura 1.14

Sempre que disposem de dades en unitats que no són SI, com ara σ, és recomanable passar-les primer al SI.

El camp elèctric prop del pla (equació 1.10) és

i aquest camp fa una força repulsiva sobre q

D’altra banda, com que q està fora de la superfície esfèrica S, la càrrega a l’interior de S és la d’un disc de 10 cm de radi carregat amb σ, és a dir,

i, d’acord amb la llei de Gauss, el flux a través d’aquesta superfície és

Activitat

1.3. Considereu el pla i la càrrega puntual de l’exemple anterior. Quina força actuaria sobre una càrrega puntual de -200 pC situada en el punt (0 cm, 5 cm, 20 cm)? Quin seria el flux del camp elèctric a través d’una superfície esfèrica de 10 cm de radi centrada en aquesta nova càrrega?

Resposta

2.7.1. Camp elèctric entre dues làmines paral·leles molt properes amb càrregues oposades

Considerem ara dues làmines paral·leles de la mateixa àrea A i molt properes que estan carregades uniformement, l’una amb una càrrega positiva Q i l’altra amb -Q (figura 1.15). En aquesta situació, el camp E entre les dues làmines lluny dels seus extrems es pot aproximar a la superposició dels camps creats per dos plans infinits carregats amb σ i -σ, respectivament, on σ = Q/A. Entre els dos plans, aquests dos camps són iguals en mòdul (σ/(2ε₀)), direcció i sentit. Per tant, el mòdul de E és dues vegades σ/(2ε₀). Així, doncs,

Figura 1.15

Per tant, el camp entre les dues làmines, negligint els efectes dels extrems, es pot considerar uniforme. Les línies del camp són perpendiculars a les làmines i van de la positiva a la negativa.

2.8. Treball i energia

En general, quan una força actua sobre un cos que es mou, aquesta realitza un treball. Aquest treball es calcula mitjançant el procediment següent. La trajectòria (o camí) C que ha seguit el cos es divideix en elements prou petits per poder considerar que són segments rectes i que la força en cada un d’aquests desplaçaments és pràcticament constant. Si Δ< _i és el vector que va des d’un extrem fins a l’altre del segment i-èsim en el sentit del moviment, el treball fet per la força F _i en aquest desplaçament es defineix com

Figura 1.16. Treball fet per una força

Aleshores, el treball al llarg de tota la trajectòria és la suma de tots els W _i en el límit en què els desplaçaments Δ< _i són infinitesimals. Una suma així definida és una integral de línia, i l’expressió matemàtica del treball fet per una força sobre un cos que segueix una determinada trajectòria és

La unitat SI del treball és el joule (1 J = 1 N·m).

El càlcul general d’integrals de línia està fora dels objectius d’aquesta assignatura. És important, però, que reconegueu l’expressió del treball en forma d’integral i que entengueu el seu significat físic.

Es pot demostrar que el treball fet per la força neta (suma de totes les forces) que actua sobre un cos és igual a la variació de l’energia cinètica ⁽³⁾ del cos, ΔK, això és

(1.13)

En general, el treball fet per una força depèn de la trajectòria que segueix el cos. Però hi ha un tipus molt important de forces, les forces conservatives, que fan un treball independent de la trajectòria i que només depèn dels punts inicial i final del recorregut. La força gravitatòria n’és un exemple.

Els cossos sotmesos a camps de forces conservatives tenen una propietat anomenada energia potencial, que canvia de valor quan el cos canvia de posició. La variació d’energia potencial produïda per una força conservativa F _cons sobre un cos que es mou des d’un punt inicial A fins a un punt final B es defineix com el treball que ha fet la força canviat de signe, això és

(1.14)

L’energia potencial U d’un cos situat en un punt determinat es defineix com la variació ΔU que es produiria si el cos es desplacés des d’un punt de referència fins al punt en qüestió. És a dir, es tria un punt en el qual s’estableix que U és zero. En principi aquest punt pot ser qualsevol. Així, dues persones que han triat dos punts de referència diferents diran que un mateix cos té valors diferents de U. Aquestes dues persones, però, obtindran els mateixos valors de ΔU. Per tant, només ΔU té un significat físic.

• Quan alcem un cos, estem fent un treball i li donem energia potencial.

• Si el deixem anar, el cos cau i la seva energia cinètica va augmentant i la potencial, disminuint.

L’energia mecànica d’un cos es defineix com la suma de la cinètica més la potencial.

Tenint en compte la definició de treball (equació 1.12) i l’equació 1.13, la definició de ΔU (equació 1.14) implica que quan sobre un cos només actuen forces conservatives, ΔK ΔU, això és

i per tant, l’energia mecànica es manté constant.

Quan intervenen forces de fregament, que no són conservatives, part de l’energia mecànica es transforma en energia calorífica i, per tant, l’energia mecànica ja no es manté constant. L’energia potencial s’anomena així perquè indica la capacitat de transformar-se en un altre tipus d’energia, cinètica o calorífica per exemple, que es pot aprofitar per realitzar treball.

2.9. Energia potencial electrostàtica d’una càrrega puntual

Es pot demostrar que les forces elèctriques entre càrregues són conservatives. Per tant, una càrrega puntual q en presència d’un camp E creat per altres càrregues té una energia potencial. En aquest cas es parla d’energia potencial electrostàtica.

Com que la força que fa el camp elèctric és F = q E, la variació d’energia potencial electrostàtica d’una càrrega puntual que s’ha desplaçat des d’un punt A fins a un punt B, és

Així, doncs, la variació d’energia potencial electrostàtica és el treball del camp elèctric canviat de signe.

Si un agent extern (F _ext), en presència de E, desplaça q des de A fins a B sense modificar la seva energia cinètica, vol dir que (d’acord amb l’equació 1.13) el treball net fet sobre q és nul.

Per tant, la variació d’energia potencial electrostàtica d’una càrrega també es pot entendre com el treball que s’ha de fer contra el camp elèctric per portar-la des de A fins a B sense modificar la seva energia cinètica.

Quan el camp E és degut a càrregues distribuïdes en una regió finita de l’espai, s’acostuma a triar l’infinit com el punt d’energia potencial zero. Seguint aquest conveni, a continuació veurem quina és l’energia potencial electrostàtica U d’una càrrega puntual q ₀ deguda al camp E d’una altra càrrega puntual q fixada a l’origen de coordenades. En aquesta situació E = (kq /r ²) r. Aleshores, si q ₀ està en el punt r ₀ ,

on la integral la farem seguint una línia del camp E (figura 1.17). Al llarg d’aquesta recta d < és paral·lel a r i d < = dr r . Llavors, com que r · r = 1,

Figura 1.17

Si substituïm aquest resultat en l’equació anterior veiem que U només depèn de la distància r ₀ entre les càrregues. Com que r ₀ pot ser qualsevol distància, en el seu lloc escriurem r. Llavors veiem que l’energia potencial electrostàtica d’una càrrega puntual q ₀ que està a una distància r d’una altra càrrega puntual q és la següent

(amb U = 0 a l’infinit).

(1.17)

Quan q ₀i q ₁ són del mateix signe U > 0, i quan són de signe oposat U < 0.

Per trobar l’energia potencial electrostàtica de q ₀ deguda al camp E creat per dues càrregues puntuals q ₁i q ₂ fixades en els punts r ₁ i r ₂ , respectivament, hem de tenir en compte que E és igual a la suma dels camps E ₁ i E ₂ deguts a cada una per separat. Si q ₀ està en el punt r ₀ tenim que

Veiem, doncs, que U és la suma de les energies potencials electrostàtiques degudes a E ₁ i E ₂ per separat. Aleshores, tenint en compte l’equació 1.17,

on r ₁₀ i r ₂₀ són les distàncies que hi ha des de q ₁i q ₂ fins al punt r ₀ , respectivament. Si generalitzem aquest resultat veiem que l’energia potencial electrostàtica d’una càrrega puntual q ₀ deguda al camp elèctric d’un sistema de càrregues puntuals és

(1.18)

Exemple 1.6. Energia potencial electrostàtica d’una càrrega puntual

Les càrregues q ₁ =10 nC i q ₂ = -15 nC dels exemples 1.2 i 1.3 estan en els punts (0 m,0 m), (5 m,0 m), respectivament.

a) Quina és l’energia potencial electrostàtica de la càrrega q ₃ = 5 nC situada en el punt A = (0 m,5 m)? I si q ₃ estigués en el punt B = (2,5 m,0 m)?

b) Quin treball s’ha de fer contra el camp elèctric de q ₁i q ₂ per portar q ₃ de A a B?

a) Per calcular ⁽⁴⁾ l’energia potencial electrostàtica de q ₃ en el punt A, U _A , hem de tenir en compte l’equació 1.18 (considerant q ₃ en comptes de q ₀). Com que les distàncies que hi ha des de q ₁i q ₂ fins al punt A són r _{1 A} =5 m i r _{2 A} = 52m, tenim que

Si q ₃ està en el punt B, r _{1 B} = r _{2 A} = 2,5 m i

b) Segons l’equació 1.16, el treball que hem de calcular és precisament U _B - U _A . És a dir,

Activitat

1.4. Considereu les tres càrregues de l’exemple anterior. Si q ₃ està en el punt A, quin treball s’ha de fer contra el camp elèctric de les tres càrregues per portar una càrrega q ₄ = 2 nC des de l’infinit fins al punt (5 m,5 m)? Quin és el flux del camp elèctric a través d’una superfície esfèrica de 5 m de radi centrada en B?

Resposta

2.10. Potencial elèctric

Com que l’energia potencial electrostàtica d’una càrrega puntual és proporcional al seu valor, és útil introduir el concepte de potencial elèctric.

El potencial elèctric V en un punt es defineix com l’energia potencial electrostàtica U per unitat de càrrega que tindria una càrrega d’assaig positiva q ₀ situada en el punt en qüestió. Això és

(1.19)

Desplaçant q ₀ d’un punt a l’altre es pot trobar V a tots els punts de l’espai. El potencial elèctric és un camp escalar.

La unitat SI per al potencial elèctric és el joule per coulomb (J/C), unitat que s’anomena volt (V).

El potencial elèctric degut a un sistema de càrregues puntuals s’obté immediatament dividint l’energia potencial de q ₀ deguda a un sistema de càrregues puntuals (equació 1.18) per q ₀, això és

(1.20)

on V _i = kq _i /r _{i 0} és el potencial elèctric degut a una sola càrrega puntual.

Fixeu-vos que, de la mateixa manera que el camp E, V és independent de la càrrega d’assaig q ₀.

Exemple 1.7. Potencial elèctric degut a càrregues puntuals

En els vèrtexs d’un quadrat amb costat < = 10 cm, hi ha tres càrregues puntuals (figura 1.18). Les càrregues q ₁i q ₃ són positives i tenen el mateix valor q = 5 nC. La càrrega q ₂ val = 2q. Quin és el potencial elèctric en el vèrtex sense càrrega?

Com que la distància de les dues càrregues positives al vèrtex superior dret és < = 10 cm = 0,1 m, el potencial elèctric creat per cada una en aquest punt és

Figura 1.18

La distància de la càrrega negativa a aquest vèrtex és 2 i la seva contribució al potencial és

Per tant, el potencial en el vèrtex sense càrrega és la suma dels potencials deguts a cada càrrega per separat:

2.11. Diferència de potencial

Com que els valors de l’energia potencial electrostàtica depenen de l’elecció del punt en el qual s’ha fixat U igual a zero, els de V també en depenen. Per tant, només tenen significat físic les diferències de potencial. De les definicions de variació d’energia potencial electrostàtica i de potencial elèctric (equacions 1.16 i 1.19), la diferència de potencial entre dos punts A i B és

Així, doncs, la diferència de potencial V _B – V _A és el treball per unitat de càrrega, canviat de signe, que fa el camp elèctric quan una càrrega d’assaig positiva es desplaça des del punt A fins al punt B. També es pot entendre com el treball per unitat de càrrega que s’ha de fer contra el camp elèctric per desplaçar una càrrega d’assaig positiva sense modificar la seva energia cinètica.

Per a calcular la diferència de potencial V _B – V _A deguda a sistemes de càrregues puntuals, hem de calcular V _B i V _A mitjançant l’equació 1.20 i restar-los. En altres situacions l’hem de calcular amb la integral de l’equació 1.22.

Activitat

1.7. Sobre l’eix de les x hi ha dues càrregues puntuals q ₁ = 2 μC i q ₂ =5 -μC. q ₂ està 10 cm a la dreta (en el sentit positiu de les x) de q ₁.

a) Quin és el camp elèctric 20 cm a l’esquerra de q ₁ (punt A)? I 20 cm a la dreta de q ₂ (punt B)? b) Quina és la diferència de potencial V _B – V _A ?

c) En quins punts el camp elèctric és zero?

d) En quins punts de l’eix de les x és zero el potencial elèctric?

Resposta

a) E _A 50 × 10³ (N/C) i i E _B - 925 × 10³ (N/C) i.

b) V _B – V _A = – 105.000 V.

c) A l’eix x, 17,2 cm a l’esquerra de q ₁.

d) 6,7 cm a l’esquerra i 2,8 cm a la dreta de q ₁.

2.11.1. Diferència de potencial entre dues làmines paral·leles molt properes amb càrregues oposades

A continuació calcularem la diferència de potencial V _B – V _A entre dues làmines paral·leles i separades una distància d, petita en comparació amb la seva longitud i amplada, que estan carregades amb σ i -σ, respectivament. Recordeu que al subapartat 2.7.1 hem vist que entre les dues làmines el camp es pot considerar uniforme i que les línies de camp van de la làmina positiva a la negativa.

Per calcular V _B – V _A farem la integral de l’equació 1.22 seguint una línia de camp en sentit contrari, és a dir, des de la làmina negativa a la positiva. Aleshores, com que E i d < són paral·lels i de sentits oposats, E · d < = Ed< i

E es pot treure fora de la integral perquè és una constant, i la integral estesa a d és igual a la separació d,

(1.23)

i, tenint en compte que E = σε₀ (equació 1.11), obtenim el següent resultat: la diferència de potencial entre dues làmines paral·leles separades una distància d petita i carregades uniformement amb σ i -σ és

(1.24)

L’equació 1.23 implica que

(1.25)

La unitat SI del camp elèctric (NC) també és el volt partit per metre (Vm).

L’equació 1.25 és més útil que l’equació 1.11 perquè V _B – V _A es pot mesurar amb un voltímetre, mentre que no hi ha aparells per a mesurar directament densitats superficials de càrrega.

La definició de diferència de potencial implica que si una càrrega puntual q es desplaça des d’un punt A fins a un punt B amb potencials V _A i V _B , respectivament, la seva variació d’energia potencial electrostàtica és

(1.26)

2.12. Superfícies equipotencials

Una superfície equipotencial és aquella en la qual tots els seus punts tenen el mateix potencial.

La definició de potencial elèctric implica que si una càrrega puntual es mou per una superfície equipotencial, el camp elèctric no fa cap treball. Això vol dir que els desplaçaments d entre dos punts molt propers d’una superfície equipotencial són perpendiculars al camp E (E · d < = 0). Per tant, les línies de camp elèctric sempre són perpendiculars a les superfícies equipotencials. Aquesta propietat la podeu comprovar a la figura 1.19.

En el cas d’una càrrega puntual positiva q, les línies de camp s’allunyen de q i el potencial V = kq /r disminueix a mesura que ens allunyem de q. En canvi, si q és negativa les línies s’apropen a q i el potencial disminueix a mesura que ens hi apropem (es fa més negatiu). Per tant, les línies de camp elèctric apunten en el sentit en què el potencial decreix. Aquesta propietat sempre es compleix.

Figura 1.19. Superfícies equipotencials

En el cas d’un camp elèctric uniforme, com que les línies de camp són rectes paral·leles, les superfícies equipotencials són plans perpendiculars a les línies de camp (figura 1.20). Per tant, la diferència de potencial entre dos plans equipotencials és igual a la diferència de potencial V _B – V _A entre dos punts A i B, un de cada pla, units per una línia de camp.

Aleshores, procedint com en el cas de dues làmines paral·leles amb càrregues oposades (subapartat 2.7.1), es demostra que en un camp elèctric uniforme la diferència de potencial entre dos plans equipotencials separats una distància < és

(1.27)

quan les línies de camp van des de B fins a A (si les línies de camp anessin des de A fins a B tindríem

Figura 1.20. Camp E uniforme

2.13. Pantalles de raigs catòdics

La pantalla d’alguns ordinadors i televisors es fonamenta en el tub de raigs catòdics que hem esquematitzat a la figura 1.21. Aquest dispositiu, en la seva forma més bàsica, consisteix en un tub pràcticament buit (amb gas a molt baixa pressió) que conté un canó electrònic que dispara electrons contra una pantalla fluorescent. Quan els electrons incideixen sobre la pantalla activen substàncies fluorescents i hi produeixen un punt lluminós. Els electrons disparats formen un feix que s’anomena raig catòdic.

El canó electrònic és molt semblant a la vàlvula de buit que hem vist en l’exemple 1.8. El càtode s’escalfa i emet electrons que són atrets per l’ànode que està a un potencial més alt. L’ànode té un petit forat en el centre i els electrons que el travessen surten disparats cap a la pantalla.

En el seu camí cap a la pantalla, els electrons travessen una o més regions amb un camp elèctric o magnètic. Aquests camps fan una força sobre els electrons i els desvien cap a un punt determinat de la pantalla. En els oscil·loscopis ⁽⁶⁾

Figura 1.21

el feix d’electrons passa a través de dos parells de plaques metàl·liques carregades anomenades plaques deflectores. Entre cada parell de plaques hi ha un camp elèctric. Així, quan els electrons travessen el primer parell de plaques, la força del camp elèctric els desvia horitzontalment, i quan travessen la segona són desviats verticalment (figura 1.21). En absència de camp elèctric els electrons segueixen una trajectòria recta i produeixen un punt lluminós en el centre de la pantalla.

En les pantalles de televisor i ordinador, els electrons són desviats per camps magnètics creats per bobines ⁽⁷⁾ . El feix escombra la pantalla seguint una línia horitzontal, salta cap avall i escombra la línia següent. En un segon la pantalla és escombrada completament unes 30 vegades. En les pantalles de color aquest procés el fan simultàniament tres feixos, cada un dels quals incideix en un punt de la pantalla que produeix un punt lluminós de color vermell, blau o verd.

Avui dia, però, les pantalles fonamentades en el tub de raigs catòdics, a causa del seu volum i del seu consum elèctric, estan deixant pas a les pantalles planes, la qualitat i preu de les quals ha millorat molt els darrers anys. Tots els ordinadors portàtils tenen pantalla plana de cristall líquid controlada per transistors (TFT, thin film transistor), i de mica en mica també es van imposant en els altres ordinadors. D’altra banda, tot i que encara són bastant cars, sembla que els televisors seran amb pantalla plana de plasma. Ambdues tecnologies, la de cristall líquid i la de plasma, són completament diferents entre si i diferents de la de raigs catòdics.

3.1. Conductors en equilibri electrostàtic

En el subapartat 1.1 d’aquest capítol hem vist que els metalls són bons conductors perquè tenen electrons lliures que es poden desplaçar en el si del material. En aquest apartat estudiarem els conductors metàl·lics en equilibri electrostàtic.

Un conductor en equilibri electrostàtic és aquell en el qual no s’observen càrregues en moviment. Això implica que dintre d’un conductor en equilibri electrostàtic el camp elèctric és igual a zero. Si no fos així les càrregues lliures estarien sotmeses a una força elèctrica que les faria moure. ⁽⁸⁾

Com que E és zero, el flux de E a través de qualsevol superfície tancada en l’interior del conductor és nul. Això, segons la llei de Gauss, implica que la càrrega neta a l’interior d’aquestes superfícies és zero. Per tant, no pot haverhi cap excés de càrrega dintre del conductor. En un conductor en equilibri electrostàtic l’excés de càrrega es troba en la seva superfície.

En un metall en equilibri els electrons lliures estan distribuïts de manera que en l’interior la seva càrrega negativa contraresta la positiva dels àtoms ionitzats i només hi ha un excés o defecte d’electrons a la superfície. Quan al metall li apliquem un camp elèctric extern E ₀ constant (és a dir, que no canvia en el temps) els electrons lliures es redistribueixen per la superfície i creen un camp addicional E _e en l’interior que contraresta el camp extern, E _e E ₀ , de manera que el camp net a l’interior és nul (vegeu l’exemple de la figura 1.22).

Figura 1.22. Làmina metàl·lica neutra en un camp elèctric extern

A més a més, com que E és nul, la diferència de potencial entre dos punts del conductor també ho és. En fer la integral de línia de l’equació 1.22 seguint un camí interior al conductor, en tots els punts E · d < = 0 i, per tant, aquesta integral també és 0. És a dir, tots els punts d’un conductor en equilibri electrostàtic tenen el mateix potencial elèctric.

Quan es connecten dos conductors carregats, és a dir, els unim amb un cable conductor, es produeix una transferència de càrrega de l’un a l’altre i tots dos queden al mateix potencial. Per tant, dos conductors connectats entre si es comporten com un sol conductor.

La Terra és un conductor que per a molts propòsits es pot considerar infinit i amb una reserva de càrrega il·limitada, fet que implica que el seu potencial sigui constant. Per això, sovint es pren la Terra com a zero del potencial.

3.2. Dielèctrics

Els materials no conductors, com ara el vidre, el paper o els plàstics, s’anomenen dielèctrics. Aquests materials estan formats per molècules neutres que poden ser de dos tipus, polars o no polars.

Per explicar les seves propietats elèctriques primer introduirem el concepte de dipol elèctric: un dipol elèctric és un sistema de dues càrregues puntuals q i q separades una distància d. Els dipols es caracteritzen amb un vector anomenat moment dipolar que es defineix com

p = qd

on d és un vector de mòdul d que assenyala de -q a q.

En un camp E ₀ uniforme les càrregues d’un dipol es veuen sotmeses a forces iguals i oposades (figura 1.23) de manera que un dipol tendeix a orientar-se en el sentit de E ₀ .

Figura 1.23

En una molècula no polar el centre de càrrega dels electrons (definit com el centre de masses però canviant les masses per càrregues) coincideix amb el dels protons (figura 1.24). En presència d’un camp elèctric extern, però, els nuclis d’aquesta molècula es veuen sotmesos a una força en el mateix sentit que el camp i oposada al sentit de la força neta que actua sobre els electrons, de manera que els corresponents centres de càrrega se separen (figura 1.24). Aleshores aquestes molècules es comporten com un dipol amb un moment dipolar, anomenat moment dipolar induït, que té el mateix sentit que el camp.

Figura 1.24. Esquema d’un àtom no polar

En les molècules polars, com ara la de l’aigua (figura 1.25), el centre de càrrega positiva no coincideix amb el de la negativa i es comporten com un dipol elèctric amb un moment dipolar permanent. Com a conseqüència de l’agitació tèrmica, aquests moments estan orientats a l’atzar de manera que la seva suma és zero. En canvi, en presència d’un camp elèctric extern, els moments tendeixen a orientar-se en el sentit del camp i la seva suma ja no és zero.

Figura 1.25

Quan les molècules d’un dielèctric, polars o no, tenen els moments dipolars predominantment orientats en el sentit d’un camp elèctric extern E ₀ , diem que el material està polaritzat. En un material polaritzat els dipols moleculars produeixen un camp elèctric addicional, E _b , de sentit oposat a E ₀ . Llavors el camp net en l’interior del dielèctric és més feble que el camp E ₀ que l’ha polaritzat.

Per entendre millor aquest efecte considerem un bloc d’un material dielèctric en un camp E ₀ uniforme com el que es representa en la figura 1.26.

A l’interior del bloc les càrregues positives i negatives dels dipols es compensen. L’efecte net de la polarització és l’aparició d’una distribució superficial de càrrega de signe oposat a les dues cares perpendiculars a E ₀ (figura 1.26a). Aquesta distribució de càrregues produeix un camp E _b oposat a E ₀ (figura 1.26b). Llavors el mòdul del camp net és E = E ₀ -E _b i, per tant, E < E ₀.

Figura 1.26. Polarització

El camp elèctric E en un medi dielèctric és menys intens que el camp E ₀ que hi hauria a l’espai lliure, això és,

(1.29)

on ε _r és una constant adimensional, amb valor igual o superior a 1, característica de cada material que s’anomena constant dielèctrica o permitivitat relativa.

Taula 1.2

Així, per exemple, com que el camp elèctric creat en l’espai lliure per una càrrega puntual és E ₀ (kqr ²) ȓ, i k 1(4πε₀), en un dielèctric el camp és

on

(1.30)

és la permitivitat absoluta del dielèctric.

Fins ara hem estudiat el camp elèctric en l’espai lliure, és a dir, en el buit, sense cap medi dielèctric. Totes les lleis de l’electrostàtica que hem enunciat segueixen sent correctes en un medi dielèctric si en totes les formules substituïm ε₀ per ε.

En els materials polars els moments dipolars no estan completament alineats amb el camp elèctric. Com més gran és l’agitació tèrmica, menys alineats estan i, per això, el valor de ε _r disminueix quan la temperatura augmenta. En canvi, en els materials no polars ε _r es pot considerar independent de la temperatura.

3.3. Condensadors

Un condensador és un dispositiu format per dos conductors molt propers però aïllats l’un de l’altre per un material dielèctric (o el buit).

Independentment de la forma dels dos conductors, cada un s’anomena placa del condensador. La figura 1.27 mostra un condensador de plaques paral·leles format per dues làmines conductores.

D’altra banda, una bateria és un dispositiu que manté una diferència de potencial entre dos terminals metàl·lics. El terminal que està a un potencial més elevat s’anomena born positiu i l’altre és el born negatiu.

Figura 1.27

Quan les plaques d’un condensador es connecten als terminals d’una bateria, com s’esquematitza en la figura 1.28, es transfereix càrrega de l’una a l’altra fins que s’assoleix l’equilibri electrostàtic. Aleshores cada placa està al potencial del seu terminal i, per tant, la diferència de potencial entre les plaques és la mateixa que entre els terminals de la bateria.

Figura 1.28

• El segment més curt del símbol de la bateria representa el born negatiu.

• Les línies rectes entre el condensador i la bateria representen els fils conductors.

Una vegada assolit l’equilibri, la placa connectada al born positiu té una càrrega positiva Q i l’altra una càrrega -Q. La primera ha perdut electrons que han anat a la segona. Llavors es diu que el condensador està carregat.

Sempre que parlem de la càrrega Q d’un condensador ens referim al valor absolut de la càrrega de cada placa (no a la càrrega neta de les dues, que és zero).

Sovint, una diferència de potencial s’escriu amb la forma abreviada ddp. Si V _A és el potencial de la placa carregada positivament, i V _B el de l’altra, la ddp V _B – V _A s’acostuma a indicar amb la lletra V.

Es pot demostrar, i així s’observa experimentalment, que la càrrega Q de tot condensador és proporcional a la ddp V entre les seves plaques.

La raó de proporcionalitat entre la càrrega Q d’un condensador i la diferència de potencial V entre les seves plaques és una propietat de cada condensador que s’anomena capacitat C:

(1.31)

La capacitat d’un condensador ens indica la quantitat de càrrega que pot emmagatzemar per unitat de ddp.

La unitat SI de la capacitat és el coulomb per volt (CV) i rep el nom de farad (F).

3.3.1. Condensador de plaques paral·leles

A continuació determinarem la capacitat d’un condensador de plaques paral·leles d’àrea A, separades una distància d, on d és petita en comparació amb la longitud i amplada de les plaques, i que té un dielèctric amb una ε _r entre les plaques. Quan aquest condensador té una càrrega Q es comporta com dues làmines paral·leles molt properes carregades amb σ i -σ, on σ Q/A. Llavors, tenint en compte l’equació 1.11 i la 1.29, el camp elèctric entre les plaques és

(1.32)

i, d’acord amb l’equació 1.23, deduïm que la diferència de potencial entre les plaques és

(1.33)

Si substituïm aquest resultat en la definició de capacitat (equació 1.31), veiem que la capacitat d’un condensador de plaques paral·leles és

(1.34)

Fixeu-vos que C és independent de Q i V, ja que només depèn de A, d i ε _r .

L’equació 1.34 indica una propietat que satisfan tots els condensadors: la seva capacitat, independentment de la forma del condensador, només depèn de la seva geometria i del material dielèctric que hi ha entre les plaques. A més a més, també indica que la capacitat d’un condensador es pot augmentar en:

a) augmentar l’àrea de les seves plaques,

b) disminuir la separació entre les seves plaques,

c) introduir entre les plaques del condensador un material dielèctric amb ε _r més gran.

Exemple 1.9. Teclat d’un ordinador

Alguns teclats d’ordinador fan servir interruptors de capacitat. Una placa metàl·lica muntada sobre un èmbol connectat a la tecla actua com a placa superior del condensador (dibuix següent). Quan premem la clau cap avall, la separació entre les plaques varia i, per tant, la seva capacitat també. Aleshores, com que la ddp V es manté constant, la càrrega del condensador es modifica i es dispara el circuit electrònic per introduir la informació a l’ordinador.

Si la separació entre plaques abans de prémer la clau és d _a = 5 mm, i la separació quan la premem és d _p = 0,3 mm, quina és la variació de la capacitat? I la de la càrrega?

La capacitat del condensador abans de prémer és C _a εAd _a , i després

La càrrega abans de prémer és Q _a = C _a V, i després

Quan premem la clau, el condensador es carrega i, quan la deixem, es descarrega. Això produeix un senyal elèctric que activa el circuit electrònic per introduir informació a l’ordinador.

Activitat

1.8. Considereu un condensador de plaques paral·leles, format per dues làmines conductores quadrades de 10 cm de costat i separades 1 mm, que està connectat a una bateria de 12 V. Calculeu-ne la seva capacitat, la seva càrrega i el camp elèctric entre les plaques.

a) Quan l’espai entre les plaques és ple d’aire (ε _r ≈1).

b) Quan l’espai entre les plaques és ple de paper (ε _r = 3,6).

Resposta

a) 88,5 pF, 1,062 nC i 12 kV/m.

b) 318,7 pF, 3,825 nC i 12 kV/m.

3.3.2. Ruptura del dielèctric

La ddp que es pot aplicar a un condensador i la càrrega que pot emmagatzemar estan limitades pel fet que les molècules del dielèctric es ionitzen en presència de camps elèctrics elevats. Aquest fenomen s’anomena ruptura del dielèctric.

Aleshores els dielèctrics esdevenen conductors, deixen passar càrrega directament d’una placa a l’altra, i el condensador deixa de funcionar com a condensador, és a dir, s’espatlla. La intensitat del camp elèctric a partir de la qual es presenta la ruptura dielèctrica (E _max a la taula 1.3) s’anomena resistència dielèctrica del material.

Taula 1.3

3.4. Combinació de condensadors

Per a poder treballar amb ddp més grans i emmagatzemar més càrrega es poden utilitzar combinacions de condensadors.

Sovint, en molts circuits intervenen combinacions de condensadors connectats entre si de formes molt diferents. Aquestes combinacions es poden considerar com un sol condensador amb una capacitat equivalent. La capacitat equivalent d’una combinació de condensadors és la capacitat que hauria de tenir un sol condensador que, quan reemplaça la combinació, produeix els mateixos efectes. Les combinacions més senzilles són les connexions en paral·lel i en sèrie:

1) Condensadors en paral·lel

La figura 1.29a mostra dos condensadors en paral·lel. Les plaques de la dreta dels dos condensadors estan connectades per un fil conductor i, per tant, estan al mateix potencial V _A . Les plaques de l’esquerra també estan connectades i estan a un potencial comú V _B . Per tant, la ddp V V _A V _B entre les plaques dels dos condensadors coincideix i les seves càrregues són les que presentem a continuació:

• Q ₁ = C ₁ V,

• Q ₂ = C ₂ V.

Figura 1.29. Condensadors en paral·lel

Aquesta combinació de condensadors es comporta com un sol condensador (figura 1.29) amb una ddp V i una càrrega

Llavors la capacitat equivalent dels dos condensadors és

La capacitat equivalent de diversos condensadors en paral·lel és:

(1.35)

2) Condensadors en sèrie

La figura 1.30a mostra dos condensadors en sèrie. Quan els extrems A i B es connecten a una bateria, aquesta estableix una ddp V = V _A - V _B > 0, que ha de ser igual a la suma de les diferències de potencial V ₁i V ₂ de cada condensador, és a dir, V = V ₁ + V ₂. Per fer-ho, la bateria transfereix electrons de la placa dreta de C ₂ a l’esquerra de C ₁. Per tant, la placa esquerra de C ₁ té una càrrega Q > 0 i la dreta de C ₂ té -Q. Com que les càrregues de les plaques d’un condensador han de ser de valor igual absolut però de signe oposat, la placa dreta de C ₁ ha de tenir una càrrega -Q i l’esquerra de C ₂ ha de tenir Q. És a dir, també es produeix transferència de càrrega entre les plaques connectades pel fil conductor del mig. Aleshores

Aquesta combinació de condensadors es comporta com un sol condensador (figura 1.30b) amb una càrrega Q i una ddp V. Llavors la inversa de la seva capacitat equivalent és

Figura 1.30. Condensadors en sèrie

La inversa de la capacitat equivalent de diversos condensadors en sèrie és:

(1.36)

Si associem condensadors en paral·lel aconseguim una capacitat equivalent més gran i, per tant, podem emmagatzemar més càrrega. En canvi, si els associem en sèrie la capacitat equivalent és més petita. L’avantatge de les combinacions en sèrie és que podem aplicar a la combinació una ddp més gran que la que poden aguantar cada condensador per separat, sense que es produeixi la ruptura del dielèctric.

3.5. Energia emmagatzemada en un condensador

Durant el procés de càrrega d’un condensador la bateria transfereix electrons d’una placa a l’altra, de manera que el potencial de la placa que perd electrons (la placa positiva) es va fent més alt que el potencial de la que els guanya (la negativa). Per tant, per portar un electró des de la placa positiva fins a la negativa, la bateria ha de fer un treball per augmentar l’energia potencial de l’electró.

L’energia elèctrica emmagatzemada en un condensador, U, es defineix com l’increment d’energia potencial dels electrons transferits d’una placa a l’altra.

Com que transferir electrons de la placa positiva a la negativa és equivalent a transferir càrrega positiva en sentit contrari, per calcular aquesta energia considerarem el segon procés.

Figura 1.33

Sigui q la càrrega d’un condensador, de capacitat C, en un cert instant del procés de càrrega (figura 1.33). Per tant, la ddp entre les plaques en aquest instant és (v - v) q/C. Aleshores, si es transfereix una quantitat infinitesimal de càrrega dq de la placa negativa a la positiva, la seva energia potencial augmenta en

Llavors l’increment de l’energia potencial de tota la càrrega transferida és la suma o integral dels increments infinitesimals d’energia dU de cada dq quan q augmenta des de zero fins al seu valor final Q, això és

Tenint en compte que Q = CV, l’energia elèctrica emmagatzemada en un condensador es pot expressar de diverses maneres:

Exemple 1.12. Energia dels condensadors

Dos condensadors C ₁ = 20 μF i C ₂ =15 μF es carreguen amb una ddp V ₁ = 24 V i V ₂ = 12 V, respectivament. Després es connecten les plaques positives entre si, i les negatives també (figura 1.34). Quina és la variació de la seva energia?

Figura 1.34

L’energia inicial de cada condensador és

i les càrregues inicials són

Quan connectem els condensadors entre si la seva ddp ha de ser la mateixa. Això vol dir que part de la càrrega de C ₁ ha passat a C ₂. Si q és aquesta càrrega, s’ha de satisfer

Per tant, les càrregues finals són Q _{1 f} Q _{1 i} q 377,14 μC i Q _{2 f} Q _{2 i} q 282,86 μC. Amb aquestes càrregues podem comprovar que, efectivament, les ddp coincideixen,

Llavors les energies dels condensadors són

i, per tant, la variació d’energia és

En el procés de redistribució de càrregues s’ha perdut energia. Com veurem en el proper capítol, les càrregues perden energia quan es desplacen per un conductor.

Activitat

1.10. Dos condensadors de capacitats C ₁ = 6 μF i C ₂ = 8 μF, inicialment descarregats, es connecten tal com s’indica a la figura 1.35. La bateria proporciona una ddp de 20 V i l’interruptor es pot connectar als punts A o B. Determineu la seva energia després de cada un dels passos següents:

a) Primer connectem l’interruptor al punt A.

b) Després el desconnectem de A i el connectem a B.

c) A continuació el desconnectem de B i el tornem a connectar a A.

d) Finalment el tornem a desconnectar de A i el tornem a connectar a B.

Figura 1.35

Resposta

3.5.1. Densitat d’energia d’un camp elèctric

L’energia elèctrica d’un condensador l’hem associat a l’energia potencial de les seves càrregues. Aquesta energia també es pot interpretar com l’energia del camp elèctric entre plaques. En el cas d’un condensador de plaques paral·leles d’àrea A separades una distància d, C = εA/d, i la DDP V i el mòdul del camp elèctric E entre les plaques satisfan V = Ed. Si substituïm C i V en l’equació 1.37, obtenim l’energia del condensador U en funció de E, això és

El producte Ad és el volum de l’espai entre les plaques que contenen el camp elèctric. Si dividim U per aquest volum trobem l’energia per unitat de volum, és a dir, la densitat d’energia d’un camp elèctric:

Aquest resultat és vàlid per a qualsevol camp elèctric.

• 4,5 pJm³.

• 358 pJm³.

3.6. Condensadors molt petits de gran capacitat

Un dels grans avenços tecnològics actuals és la fabricació de circuits electrònics integrats en xips cada vegada més sofisticats, més petits i més econòmics. Els circuits integrats s’han de complementar amb condensadors que permetin eliminar senyals elèctrics no desitjables i absorbir els excessos de càrrega que podrien espatllar el circuit i alterar el seu funcionament. Així, un dels reptes de la indústria electrònica és aconseguir fabricar condensadors al més petit possibles amb una capacitat prou gran.

En el subapartat 3.3 hem vist que hi ha tres maneres d’augmentar la capacitat d’un condensador. Actualment hi ha dos tipus de condensadors que permeten reunir aquestes tres característiques en el mínim volum possible:

a) Els condensadors ceràmics de capes múltiples (CCCM) estan formats per dues plaques conductores amb les superfícies enfrontades (vegeu figura 1.36). Les plaques estan separades pocs micròmetres (1 μm = 10⁶ m) per un material ceràmic, com el titanat de bari i estronci, que té una constant dielèctrica de l’ordre dels milers.

Figura 1.36. Esquema de la secció d’un CCCM

Les parts grises indiquen les làmines metàl·liques, la zona en blanc correspon al material ceràmic i les dues parts laterals negres representen el conductor que connecta les làmines.

La seva fabricació, explicada molt esquemàticament, consisteix a cobrir per una cara làmines metàl·liques molt fines amb una pel·lícula (capa molt fina) de material ceràmic. Unes quantes desenes d’aquestes làmines s’apilen desplaçades alternativament a dreta i esquerra. Les de la dreta es connecten entre si amb un material conductor, i les de l’esquerra també. Així s’arriben a fabricar condensadors d’uns 4 cm² d’àrea i un gruix d’uns 40 μm que tenen una capacitat de bastants microfarads (1 μF = 10⁶ F).

b) Els condensadors electrolítics permeten tenir la mateixa capacitat que els CCCM en volums encara més petits. Encara que el seu procés de fabricació és molt més complex, podem pensar que són com un condensador de plaques paral·leles, d’àrea molt gran i molt primes, que s’arruga (com si fos un full de paper) fins a formar un cub molt petit.

Aquests condensadors consten d’una làmina metàl·lica (alumini o tàntal) recoberta d’una pel·lícula d’òxid del mateix metall (que s’obté mitjançant un procés electrolític) amb una pasta conductora per sobre (bari o diòxid de manganès). La capa d’òxid, que pot ser de dècimes de micròmetre, té una constant dielèctrica amb valors compresos entre 5 i 30.

Aquestes tres capes, /làmina metàl·lica/òxid dielèctric/pasta conductora/, constitueixen un condensador molt prim que es pot ‘arrugar’. A causa de les propietats elèctriques dels materials d’aquestes capes, la placa d’un condensador electrolític corresponent a la làmina metàl·lica sempre s’ha de carregar positivament perquè si no el condensador s’espatlla. Per aquesta raó, a diferència dels CCCM, els condensadors electrolítics només es poden fer servir en circuits de corrent continu (en els quals el corrent elèctric sempre circula en el mateix sentit).