Unidad

1.1.La escala en la representación de formas

Comenzaremos esta unidad aclarando una de las principales características de la representación de planos, y es que estos tienen el objetivo de representar lo que en un futuro se va a construir, es decir, es como una construcción virtual que debe ser precisa y clara para que la posterior ejecución sea idéntica a la plasmada mediante el dibujo.

El dibujo es el lenguaje de las profesiones y actividades técnicas, y a diferencia del lenguaje escrito, en el que cada país o zona geográfica comparte un lenguaje distinto al resto, el dibujo tiene una única gramática universal, de manera que un mismo dibujo es entendido sino en todo, en la mayor parte del globo.

Esta circunstancia no sería posible sin la existencia de una normalización, es decir, sin la existencia de una serie de normas, que regulan desde los formatos del papel, el plegado de este, la posición y contenido de un rótulo, la forma de las letras etc.

Con estos antecedentes y una vez puestos en situación, nos centraremos en el objetivo de este apartado, la escala.

La escala, por tanto, es un aspecto que también está normalizado y que todos debemos cumplir escrupulosamente tanto para poder entender y leer un dibujo hecho por otra persona, como para que nuestros dibujos se puedan comprender.

Sin embargo, el uso de la escala no es tanto una norma que cumplir sino un proceso lógico que depende de varios factores.

Primeramente depende del tamaño del objeto o espacio que vayamos a representar, y en segundo lugar del tamaño de papel en el que lo vayamos a realizar.

En vista de estas dos variables, no siempre vamos a poder dibujar algo al tamaño natural, es decir, con las dimensiones reales.

Por ejemplo, un edificio deberá dibujarse a un tamaño menor que el verdadero, o una pequeña pieza de un coche deberá dibujarse más grande que la del tamaño real para que sea entendible por el ojo humano, pero de igual manera ambas representaciones tienen que guardar una relación con el objeto real que representamos.

Pues bien, esa relación que debe guardar el dibujo con respecto al verdadero tamaño del objeto representado es lo que llamamos escala, dicho de otra forma, la escala es la relación entre la medida de un segmento en el dibujo y la verdadera medida en el objeto real.

Por ejemplo, un dibujo con una escala 1:5, quiere decir, que 1 unidad en el dibujo, ya sea 1 milímetro, 1 centímetro o 1 metro, representa 5 unidades en la realidad, lo que serían 5 milímetros, 5 centímetros o 5 metros respectivamente.

ESCALA	UNIDADES EN EL DIBUJO	UNIDADES REALES
1:5	1	5
1:50	1	50
2:1	2	1
1:100	1	100

Este tipo de escalas, en el que el objeto dibujado es menor que el real se denomina escala de reducción.

Por el contrario una escala 5:1, indicaría que 5 unidades en el dibujo, representan una unidad en la realidad, por lo que 5 centímetros en el dibujo equivaldrían a 1 centímetro en la realidad. Este tipo de escala en el que el dibujo es mayor que la realidad se denomina escala de ampliación.

Por último, la escala natural, es la que se refiere a la escala 1:1, es decir la escala en la que un objeto se representa con las medidas reales en el papel.

Entendiendo esto, ¿podríamos realizar cualquier dibujo mientras que guarde una relación de semejanza con el objeto original?

Importante

El concepto de escala se refiere a la relación establecida entre las dimensiones reales de un objeto y las dimensiones de la representación de ese mismo objeto sobre un papel.

La respuesta es no, y si recordamos que el dibujo está normalizado, las escalas también, y por lo tanto no podemos realizar un dibujo a cualquier escala.

No podemos realizar un dibujo a escala 1:27 o a escala 1:115, hay que utilizar dentro de las opciones de las escalas normalizas, las que mejor nos vengan dependiendo del objeto a representar, el tamaño del papel y el detalle que le queramos dar a ese dibujo.

ESCALAS DE AMPLIACIÓN	ESCALAS DE REDUCCIÓN
ESCALAS DE AMPLIACIÓN	Fabricación e instalaciones	Construcción civil	Topografía	Urbanismo
2:1	1:2,5	1:5	1:100	1:500
5:1	1:5	1:10	1:200	1:2000
10:1	1:10	1:20	1:500	1:5000
	1:20	1:50	1:1000	1:25000
	1:50	1:100	1:2000	1:50000
	1:100	1:200	1:5000
	1:200	1:500	1:25000
		1:1000	1:50000

Importante

Las escalas arriba definidas no son las únicas, ya que existen otras como la escala 1:25, 1:250 ó 1:400, sin embargo no son aconsejables.

Bien, ahora ya sabemos que entre un objeto real, y su representación en un plano debe haber una proporción constante llamada escala, pero ¿cómo leo, o cómo construyo un plano a escala? Existen varias maneras de utilizar una escala, bien sea para dibujar, o bien sea para leer un plano.

–La escala gráfica

La primera y más utilizada es el escalímetro, una regla especial que contiene distintas escalas gráficas dentro de la misma, con lo que podremos dibujar segmentos a la escala elegida, o medirlos de la misma manera.

Escalímetro manual

–La escala numérica o matemática

La otra opción, es calcular las distancias matemáticamente, dado que la proporción que llamamos escala se define mediante:

Donde E es la escala; P, la medida del plano, y R, la medida real del objeto a representar.

De esta manera:

∙Si tenemos un segmento de 12 cm en el plano, y sabemos que su escala es 1:25, despejaríamos R de la fórmula para saber la magnitud real, con lo que

∙Si tenemos que dibujar un segmento de 25 metros a escala 1:100, despejaríamos P de la fórmula para saber lo que debe medir en el plano, con lo que:

El procedimiento matemático no es complicado, ya que se resuelve con un sencillo procedimiento, pero el objetivo de esta unidad formativa en general y de este apartado en particular es la resolución gráfica de los problemas.

Por ello planteamos que se dé el caso de no disponer de escalímetro con la escala deseada, y si debemos realizar un plano complejo nos va a llevar mucho tiempo la conversión mediante este método, por lo que se aconseja dibujar nosotros mismos la escala gráfica correspondiente.

¿Cómo construimos una escala gráfica?

–Matemáticamente: realizamos la conversión matemática de la escala, 1:500 por ejemplo, con lo que tendremos las siguientes equivalencias representadas en la tabla siguiente, y aunque no son todas, claro está, son las más representativas:

MEDIDA EN PLANO	MEDIDA REAL
1	500 m
1.1 m	50 m
1.01 m	5 m
0.002 m	1 m

Una vez obtenidas estas medidas procedemos a dibujar la escala gráfica:

∙Se dibuja una recta, y en ella un punto de origen 0.0

∙A partir de este punto dibujamos hacia la izquierda, segmentos consecutivos de 2mm, que representarían la longitud real de 1m, hasta llegar a 10m.

∙A partir del punto de origen 0.0, dibujamos hacia la derecha segmentos consecutivos de 1cm, que equivaldrían a la medida real de 5 m.

Así la escala gráfica sería así:

Escala gráfica 1:500

La escala situada a la izquierda del punto 0.0 se llama contra escala, y la situada a la derecha es la propia escala. Veamos cómo se utiliza.

Supongamos que construyendo un plano determinado, debemos llevar sobre dicho plano, un segmento de 32 metros reales.

Para ello y con la ayuda de un compás, situamos la punta del compás en la división que representa el 30 de la escala gráfica y la otra punta en la división 2 de la contraescala, esa medida, sobre el plano, correspondería con 32 metros en la medida real.

Si por el contrario lo que queremos es saber la medida real de un segmento que esté representado en el plano, lo que haríamos sería tomar esa medida con el compás y llevarla sobre la escala gráfica, de la siguiente manera.

Si la medida que tomamos es mayor que la contraescala deberemos colocar una punta del compás sobre las divisiones 10, 20, 30 etc. de la escala gráfica de manera que la otra punta del compás quede en la contraescala.

Así, si con una punta situada en la división 30, la otra no llega a la contra escala (es decir, la medida tomada es menor de 30 metros en la medida real), colocaremos la punta en la división inferior, en la de 20 m.

De esta manera, la otra punta si nos daría una medida en la contraescala, y sabríamos por tanto la medida real a la que corresponde ese segmento del plano.

Si por el contrario, la medida tomada sobre el plano es menor que la contra escala, deberíamos situar una punta del compás en el punto de origen 0.0, y llevarla directamente sobre la contraescala para saber la medida real a la que corresponde ese segmento tomado.

–Gráficamente: la obtención de la escala deseada mediante un método gráfico se realizará dela siguiente manera:

Para realizar esta escala gráfica que podríamos representar en un papel que posteriormente haría las veces de escalímetro, debemos empezar por dibujar, sobre una línea horizontal, la escala 1:1, la escala natural.

∙Por su extremo izquierdo, osea el punto 0.0, le hacemos una línea perpendicular y elegimos un punto cualquiera de este, que llamaremos P.

∙El siguiente paso sería unir el punto P, con cada una de las divisiones de la escala 1:1. Con lo que obtendríamos las rectas P1, P2, P3 etc.

∙En este punto, para obtener la escala, por ejemplo, 1:2, trazamos una línea vertical por la división número 1 de la escala natural, y marcamos el punto X donde este vertical se intersecta con la recta P2 que hemos trazado desde el punto P hasta la división 2 de la escala real.

∙En este momento, trazamos una horizontal por ese punto X de intersección, y todas las rectas trazadas inicialmente desde el punto P, nos darán la división de ese segmento en las unidades de la escala 1:2.

Trazado de la escala 1:2de manera gráfica

Si por el contrario la escala que pretendemos realizar es de ampliación, el procedimiento sería exactamente el mismo, la diferencia es que esa escala, por ejemplo 5:1 aparecería por debajo de la escala 1:1.

Como conclusión de este punto en el que realizamos una primera introducción en el concepto de escala, debemos comprender fundamentalmente que el uso y comprensión de este concepto es fundamental para el entendimiento de cualquier plano en cualquier parte del mundo.

Sin ello sería imposible realizar planimetrías legibles y que estas pudiesen ser interpretadas por cualquier persona, que no deja de ser uno de los objetivos más importantes del dibujo.

Ni que decir tiene, que tratar de dibujar todos los objetos a escala natura, o escala 1:1, aunque sería legible, no podría ser de ninguna manera útil o manejable, dado el tamaño que alcanzarían algunas representaciones. Al final, el hecho de dibujar a escala, también tiene que ver con la normalización de los tamaños del papel, que veremos en temas posteriores, ya que al fin y al cabo debemos adaptarnos al formato y dimensiones de los soportes, en este caso, como soporte fundamental, el papel.

Recuerda

En la representación de cualquier forma u objeto, siempre hay que indicar la escala a la que está representada, bien sea una escala gráfica o matemática.

Por lo tanto, bien a la hora de comenzar a dibujar o representar un elemento, o bien a la hora de leer un plano, debemos tener en consideración la escala a la que se realiza la representación. Lo más importante es tener en cuenta esto cuando comencemos a realizar el dibujo, ya que dependiendo de la escala a la que decidamos realizar los plano, las características de estas serán diferentes.

Uno de los aspecto fundamentales para realizar un correcto dibujo, es que el nivel de detalle que el autor de un plano debe alcanzar, depende de la escala a la que este se represente, es decir, que realizar un plano del trazado de una vía rodada a escala 1:10.000 no nos permite dibujar los elementos de un puente con detalle. Sin embargo, si esta vía, se representase a escala 1:100, si se podría darle una definición mucho mayor a las partes que componen la vía, claro que el resto del plano debería presentar también el mismo nivel de detalle para que fuese coherente.

1.2.La proporción en la representación gráfica

Una vez entendido el concepto de escala, debemos dejar claro que se aconseja relacionar siempre el concepto de escala con el de proporción, y no con el de distancias, o medidas, dado que en otras partes del mundo, en las que no se utiliza el sistema decimal, las escalas numéricas al estar basadas, por ejemplo en millas, no serían de aplicación para nuestro sistema decimal y deberíamos convertir esa escala numérica en una escala gráfica para poder tomar nuestras propias medidas.

Definición

Bien, ahora que ya hemos tratado el concepto y uso de la escala, debemos analizar otro concepto igual de importante, la proporción en la geometría. La proporción surge por la comparación de dos medidas o magnitudes que pertenecen a la misma clase o especie, es decir, la comparación entre dos segmentos medidos en las mismas unidades, también denominada razón.

Estas medidas o magnitudes, para tratar el concepto de escala, no se ciñen al plano, a la representación, sino a la construcción real de lo representado en el plano. El concepto de proporción es aplicable a cualquier cosa.

Un ejemplo, si existe un segmento AB de 12 cm de longitud, y otro CD de 7 cm de longitud, la razón entre ambos quedaría simbolizada por AB/CD, o por a/b, siendo a y b las longitudes de estos segmentos.

Pues bien, la proporción es la igualdad de dos razones, es decir, si hemos establecido dos razones como a/b y c/d, la proporción sería la igualdad entre ambas razones, es decir, a/b = c/d, lo que querría decir, q a comparado con b es como c comparado con d. Esta es la proporción geométrica que se utiliza en el campo del diseño y la composición.

Dentro de este tipo de proporción geométrica, pueden identificarse la proporción discontinua, si todos los elementos de la razón son distintos (a/b =c/d), o la proporción continua si dos de los cuatro elementos de la razón son iguales (a/b = b/c). Lo más importante en este punto es no confundir el concepto de razón, (el cociente entre dos medidas), con el concepto de proporción.

La proporción, además de ser una comparación como la razón, define una cualidad invariable que se transporta de una razón a otra.

–A/ B es una razón, o cociente, que compara A y B

–A/B = C/D es una proporción que no solo compara AB y CD, sino que establece una relación entre las dos razones.

Recuerda

El concepto de proporción, aunque se trata de una relación entre las dimensiones de distintos elementos, no es una relación entre dimensión real y dimensión de la representación como es la escala, sino que es una relación de dimensiones entre los distintos elementos que conforman un objeto.

La sección áurea

No podemos hablar de proporción sin hacerlo de la sección o proporción aurea, que no es otra cosa que la división armónica de una recta de manera que el segmente menor es al segmento mayor, como el segmento mayor es a la suma de los dos segmentos.

Dicho de otra manera, a/b = c/ a

Proporción áurea en un segmento

Todo empezó en época romana, Vitrubio, un importante arquitecto definió la simetría como “el acuerdo de medidas entre los diferentes elementos de la obra y de estos con el conjunto” y creó una fórmula matemática para la composición del espacio dentro del dibujo que denominó y dio a conocer hasta nuestros días como sección o proporción aurea.

Su definición la basó en la proporción entre los lados más cortos y los más largos de un rectángulo.

Es decir, partiendo de un cuadrado, y hallando una diagonal desde el punto medio de uno de sus lados, podemos utilizar esa medida como radio para ampliar el cuadrado hasta convertirlo en un rectángulo de proporciones áureas o “rectángulo áureo), llegando así a la proporción a/b = c/a.

Trazado del rectángulo áureo

La espiral logarítmica es otra manera de representar las proporciones áureas y que está también muy presente en estructuras naturales y orgánicas. Si tomamos un rectángulo áureo ABCD, y le sustraemos el cuadrado AEFD, de lado AD, que es el lado menor del rectángulo inicial, el rectángulo EBCF resultado de esa sustracción también es áureo. Este proceso se puede repetir indefinidamente, y veremos que se produce una sucesión de rectángulos áureos que convergen hacia un vértice O, que es el origen de una espiral logarítmica.

Trazado de la espiral logarítmica

Para finalizar este punto, y aportar información acerca del uso de la proporción áurea en la historia, vamos a ver algunos ejemplos de cómo distintos autores en distintas disciplinas han utilizado la proporción áurea a lo largo de la historia, y como en numerosos objetos cotidianos de nuestros días esta proporción está presente.

En arquitectura fue una proporción muy utilizada por griegos, romanos o musulmanes, y hoy en día iconos como el Partenón de Atenas, el Panteón de Agripa en Roma o la Alhambra de Granada presentan dichas proporciones en la composición de fachadas, espacios interiores o calles.

En la imagen podemos comprobar que AB/CD da como resultado el número áureo, al igual que AC/AD y CD/CA.

El número áureo también ha sido de gran utilidad para la composición de cuadros, algunos incluso tan conocidos como Las Meninas, que analizaremos a continuación.

Por último tenemos ejemplos de la proporción áurea en forma de espiral logarítmica en muchos organismos como plantas o animales, tal y como podemos ver en la imagen 9 que muestra las proporciones áureas en la concha de un Nautilus

Pero todos estos ejemplos no son sino una pequeña muestra de la utilidad que recibe, aún hoy en día esta proporción, que se encuentra oculta en números objetos que utilizamos cotidianamente como el carnet de identidad o las cajetillas de tabaco.

Sabías qué

La proporción áurea está presente en muchas estructuras de la naturaleza, como árboles o animales y además es utilizada en la construcción de muchos objetos que utilizamos cada día.

1.3.Bisectriz, Mediatriz

Introducción

Como para entender y trazar una bisectriz, primeramente hay que tener un ángulo, vamos a comenzar con unas nociones acerca de cómo trazar determinados ángulos:

–Trazar una recta que forme con otra recta r, y determinado ángulo α:

Planteamos un caso en el que tenemos representado gráficamente un ángulo α y pretendemos trazar ese mismo ángulo sobre una recta r ya dada. Existen varias maneras de solucionar este problema gráficamente:

∙Por arcos iguales:

Marcando con el compás el centro en el vértice V del ángulo α, trazamos un arco de cualquier radio que corte a los segmentos que forman el ángulo en dos puntos que llamaremos M y N.

En segundo lugar, sobre la recta r, sobre la que queremos trazar el ángulo α, marcamos de manera arbitraria, un punto A.

Con centro en ese punto A, y radio VM, trazamos un arco β que corta a la recta r en el punto B.

Con el centro en ese punto B de la recta r, y radio MN, trazamos un arco que corta al arco β en el punto que llamaremos C.

Trazando una recta que una el punto C, con el punto A, obtendremos la recta t que formará junto con la recta r el ángulo α‘ = α.

∙Por segmentos guales:

Por un punto M cualquiera de una de las rectas que forma el ángulo α, trazamos una perpendicular a la otra recta que forma el ángulo, obteniendo así el punto N.

Sobre la recta r en la que queremos trazar el ángulo correspondiente, elegimos un punto cualquiera A, y con centro en él, llevamos la medida VN, que cortará a la recta r en el punto B, por lo que VN=AB.

Sobre el punto B, trazamos una perpendicular a r, y desde el mismo punto B, llevamos la medida NM, que cortará a esa perpendicular en el punto C, de manera que BC=MN.

Uniendo el punto A con el punto C, obtendremos las recta t, que formará junto con la recta r, el ángulo α‘ = α. que pretendíamos.

–Construcción de un ángulo suma de otros tres ángulos dados.

Tenemos 3 ángulos α, β, γ, de distinta magnitud, y se plantea realizar un ángulo δ resultado de la suma de los tres ángulos dados.

Proceso para dibujar el ángulo δ:

Con centro en los vértices v1, v2 y v3 respectivos a cada uno de los ángulo α, β, γ trazamos un arco de radio aleatorio Rs, que será el mismo para los 3 ángulos.

En una recta r, elegimos un punto aleatorio A que será el vértice del ángulo δ sumatorio de los 3 originales.

Con centro en el punto A de la recta r, trazamos un arco Rs, de igual medida que el trazado en los 3 ángulos originales, de manera que obtenemos un punto B sobre la reta r.

Trazamos sobre los ángulo dados, un arco Rx, Ry, y Rz respectivamente, y que corresponde con las distancias obtenidas por la intersección entre el arco de radio Rs y las rectas que forman los ángulos.

Sobre la recta r, y desde el punto B, trazamos los radios Rx, Ry y Rz sobre el arco Rs trazado anteriormente, y obteniendo finalmente un punto C, que al unir con el punto A, vértice del ángulo δ, obtenemos el ángulo resultado de la suma de los 3 ángulos dados inicialmente.

Bisectriz

La definición de bisectriz de un ángulo es la semirecta que se traza desde el vértice V de un ángulo y lo divide en dos partes iguales, de manera que todos los puntos que conforman la bisectriz equidistan de las semirectas que forman el ángulo inicial correspondiente. El elemento de la bisectriz tiene infinidad de aplicaciones en la geometría descriptica en general, y en la construcción de triángulos y polígonos en particular, y lo veremos a medida que vamos abordando los distintos temas restantes.

Pero primero vamos a abordar qué es la bisectriz y las distintas maneras de obtenerlo y en los próximos apartados veremos sus utilidades.

–Trazar la bisectriz de un ángulo α dado:

Existen distintas maneras de trazar la bisectriz de un ángulo ya dado, veremos en este punto dos maneras de hacerlo:

∙Método de la mediatriz:

Con centro en el vértice V del ángulo realizamos un arco de radio Rs cualquiera que corta a las rectas m y n en dos puntos, A y B respectivamente.

Con el mismo radio Rs, y con centro en A trazamos un arco, y realizamos la misma operación con centro en el punto B, de manera que ambos arcos se intersecan en el punto que llamaremos C

Al unir el punto C con el vértice A, obtenemos la recta t que es la bisectriz del ángulo α dado inicialmente.

∙Método de la simetría:

Con centro en el vértice V del ángulo dado, trazamos dos arcos de radios R1 y R2 aleatorios, con los que obtendremos los puntos A, B, C y D en las intersecciones con las rectas r y s que forman el ángulo.

Unimos el punto A con el punto D, obteniendo el segmento AD

Unimos el punto B con el punto C, obteniendo el segmento BC

Ambos segmentos trazados son simétricos con respecto a la bisectriz del ángulo α dado, por lo que el punto de intersección de ambos segmentos, que llamaremos E, formará parte de dicha bisectriz.

Al unir el punto E con el vértice V del ángulo obtendremos la bisectriz del ángulo α.

Tras estos dos ejemplos de cómo trazar la bisectriz de un ángulo, nos damos cuenta de que en ambos métodos partimos del vértice V del ángulo, pero se puede dar el caso de que en el plano que tengamos no se llegan a cruzar las rectas que forman el ángulo, es decir, que el vértice queda fuera del dibujo.

En este caso existen otros métodos para realizar la bisectriz

–Trazar la bisectriz de ángulos en los que el vértice se encuentra fuera del dibujo:

Existen tres métodos para realizar este ejercicio:

∙Método de paralelas a un lado:

Teniendo dos rectas m y n, marcamos un punto cualquiera A, en una de ellas, por ejemplo en la recta m.

Trazamos por ese punto A, una paralela a la recta n que llamaremos n’.

Con esta situación, y con centro en A, trazamos un arco de radio R1 que corta a la recta m y a la recta n’ en los puntos B y C respectivamente

Unimos esos dos puntos B y C y lo prolongamos hasta que corte a la recta n en un punto que llamaremos D.

Trazamos un arco con radio aleatorio R2 con centro en el punto B

Trazamos un arco con igual radio R2, con centro en el punto D, que se cortará con el arco anterior en dos puntos, que llamaremos E y F, que serán pertenecientes a la bisectriz buscada

Al unir estos dos puntos trazaremos la recta EF que será la bisectriz del ángulo que formaban las rectas m y n.

∙Método de las bisectrices de los ángulos internos:

Dadas dos rectas m y n, trazamos una recta secante s, es decir, una recta que corte a m y n.

De esta manera obtenemos un punto A y otro punto B respectivamente.

En este momento tenemos 4 ángulos, los ángulos α1 y α2 con vértice en el punto A de la recta n y otros dos ángulos, los ángulos α3 y α4 con vértice en el punto B de la recta m.

Trazamos las bisectrices de estos cuatro ángulos por cualquiera de los métodos descritos anteriormente, de manera que tendremos 4 bisectrices, bα1, bα2, bα3, bα4.

La intersección entre bα1 y bα3, nos dará un punto C perteneciente a la bisectriz buscada.

La intersección entre bα2, y bα4 nos dará un punto D perteneciente a la bisectriz buscada

Uniendo el punto C y el punto D, obtendremos la recta CD, que es la bisectriz buscada del ángulo formado por las rectas m y n.

∙Método de las paralelas equidistantes a los dos lados:

Dadas dos rectas m y n, elegimos aleatoriamente un punto A y otro B respectivamente.

Trazamos una semicircunferencia con radio r1 haciendo centro con el compás en el punto A

Hacemos la misma operación haciendo centro con el compás en el punto B, e igual radio R1.

En este punto, trazamos una paralela a la recta m que seccione la semicircunferencia anteriormente trazada. La llamaremos m’.

Trazamos de nuevo una paralela, esta vez una paralela a la recta n, pero con la misma distancia que la paralela anterior. Llamaremos a esta recta n’

El punto de intersección de la recta m’ y de la recta n’ nos marca el punto C, perteneciente a la bisectriz buscada y que funcionará como vértice del ángulo formado por m’ y n’.

Por último, trazamos la bisectriz de este ángulo formado por m’ y n’, que será finalmente la bisectriz buscada.

Estos son los métodos más utilizados para resolver la obtención de la bisectriz de un ángulo en función de la situación del ángulo dado.

Ahora, y dentro también de este punto de bisectrices, vamos a ver un método para trazar las bisectrices de ángulos mixtilíneos y curvilíneos.

–Bisectriz de un ángulo mixtilíneo:

Un ángulo mixtilíneo es un ángulo que al contrario que en el apartado anterior, en el que este estaba formado por dos rectas, ahora se forma por una recta y una curva.

Se plantea un ángulo con vértice en A, y formado por una recta m y un arco n, de centro O y radio R.

Primero tenemos que trazar rectas paralelas a la recta m, separadas por una distancia arbitraria cualquiera.

De esta manera, obtendremos las rectas paralelas m1, m2, m3…

En segundo lugar trazamos arcos, concéntricos al arco n dado, y con radio R+x, R+2x, R+3x… de manera que obtendremos los arcos n1, n2, n3…

Las intersecciones entre las rectas paralelas m1, m2, m3 y las curvas concéntricas n1, n2, n3, nos darán como resultado una sucesión de puntos B, C, D respectivamente.

Estos puntos son pertenecientes a la bisectriz buscada, con lo que solamente tendremos que unirlos para hallarla.

–Bisectriz de un ángulo curvilíneo:

Se plantea un ángulo con vértice en V, formada por dos curvas m y n de centros en O1 y O2 respectivamente, y radios R1 y R2.

Con centro en O1 y O2, se trazan arcos concéntricos a m y n que equidisten una distancia constante aleatoria cualquiera.

Así obtenemos los arcos paralelos, n1, n2, n3… y m1, m2, m3…

Los puntos de intersección entre las respectivas paralelas serán puntos pertenecientes a la bisectriz buscada, de manera que la unión de los mismos nos dará la solución.

Recuerda

La importancia de entender y saber trazar la bisectriz de un ángulo, que se trata de una solución gráfica que nos va a permitir resolver problemas geométricos más complejos.

Mediatriz

La mediatriz se denomina a la recta que pasa perpendicularmente por el punto medio de un segmento.

La aplicación esencial de la mediatriz es hallar el punto medio de un segmento AB, pero se trata de un elemento geométrico básico y que tiene una gran utilidad para la construcción de figuras geométricas más complicadas, como son los polígonos regulares o el estudio de proporciones. Esto debe quedar claro porque a medida que avancemos en los sucesivos puntos necesitaremos usarla a menudo.

En primer lugar, vamos a ver el proceso para realizar la mediatriz de un segmento dado AB

–Mediatriz de un segmento AB dado:

Con centro en A, trazamos una circunferencia de radio aleatorio, pero mayor a la mitad del segmento AB.

Con centro en el punto B, trazamos otro arco de igual radio que el que hemos trazado desde el punto A.

Los dos arcos se interseccionan en dos puntos, que llamaremos C y D y que pertenecen a la mediatriz que buscamos.

Al unir los puntos C y D, obtenemos en su intersección con el segmento AB, el punto M, que es el punto medio del segmento AB inicial.

Una de las aplicaciones más importantes de la mediatriz es la de hallar el centro de un arco. En un arco cualquiera, la mediatriz de cualquier cuerda pasa obligatoriamente por el centro de ese arco.

De esta manera, si en un arco trazamos dos cuerdas y sus respectivas mediatrices, la intersección de ambas daría como resultado el centro O del arco inicial.

–Hallar el centro de un arco dado n:

Primero marcamos 4 puntos cualesquiera de ese arco, que llamaremos A, B, C y D respectivamente.

Unimos A con B y C con D, de manera que tendremos trazadas dos cuerdas de este arco.

Es momento de trazar las mediatrices de ambas cuerdas, para ello, trazamos circunferencias con centro en A y B respectivamente para hallar las dos intersecciones que marcarán la mediatriz m1

Realizamos de la misma manera la mediatriz de la segunda cuerda CD. Una vez trazada la mediatriz m2, marcamos el punto en el que m1 y m2 se interseccionan.

Este punto será el punto O, centro del arco dado inicialmente.

Una aplicación derivada de esta última, es la de hallar el centro de la circunferencia que circunscribe a un polígono, es decir, teniendo un polígono regular, trazar la circunferencia que lo circunscribe.

–Hallar la circunferencia que circunscribe un polígono dado:

Entendiendo el ejemplo anterior en el que hallábamos el centro de un arco trazando las mediatrices de dos de sus cuerdas.

En este caso, y aplicando la misma lógica, podemos entender que en una circunferencia, en la que se inscribe un polígono, los lados de ese polígono serán cuerdas de esa circunferencia en la que se inscribe, por lo que hallando las mediatrices de los lados del polígono dado, obtendremos el centro de la circunferencia que circunscribe el polígono, y por tanto trazarlo.

Dado un triángulo ABC, trazamos la mediatriz m1 del lado AB, para ello, haciendo centro en A y B trazamos dos arcos de igual radio obteniendo dos intersecciones D y E.

Unimos los punto D y E, y tendremos la mediatriz m1.

Trazamos la mediatriz m2 del lado BC, para ello, haciendo centro en B y C, realizamos dos arcos de igual radio de manera que hallemos dos puntos de intersección F y G.

Unimos F y G, y lo prolongamos hasta que se interseque con m1.

De esta manera, obtendremos el punto O, centro de la circunferencia que circunscribe el triángulo ABC inicial.

Importante

Sabiendo que el trazado de una mediatriz es simplemente una herramienta para resolver problemas que constan de muchos pasos, es importante que las líneas de construcción de la mediatriz no “manchen” mucho el dibujo para que no dificulten el entendimiento de la solución geométrica final.

1.4.Triángulos

Definición

Un triángulo es un polígono que se representa por la unión de tres segmentos, cuyas intersecciones se representan por 3 puntos no lineales y dentro de un mismo plano. Cada uno de esos tres puntos, que denominaremos A, B y C, pertenecen a dos segmentos del triángulo, es decir, el punto A, pertenece a los segmentos r y s, el punto B pertenece a los segmentos s y t, y el punto C pertenece a los segmentos t y r.

Siendo así, cada uno de estos puntos A, B, C, es cada uno de los vértices del triángulo, y los segmentos r, s, y t a los que pertenecen son los lados del triángulo. Con esta estructura, el triángulo tiene por tanto 3 ángulos exteriores, 3 ángulos interiores, 3 lados y 3 vértices, y en función de la amplitud de sus lados, y el tipo de ángulos que tienen, existirán varias clasificaciones.

SEGMENTO	UNIDO A SEGMENTO	VÉRTICE
r	s	A
s	t	B
t	r	C

Nomenclatura

Antes de entrar en materia es necesario aclarar la nomenclatura con la que se definen los triángulos.

–Vértices:

Los vértices de los triángulos se denominan con las letras en mayúscula A, B y C. Por lo tanto, para denominar un polígono, se utilizan normalmente, la denominación sucesiva de los vértices, estos es, en el caso de los triángulos, por ejemplo, triángulo ABC, o CBA, o BCA etc. Es decir, se denominan nombrando sus vértices pero no en un orden estricto necesariamente.

–Lados

Los lados de un triángulo, pueden denominarse de dos maneras: o bien mediante los vértices contenidos en dichos lados, es decir, lado AB, o lado BC o lado CA, o bien nombrándolos como segmentos, utilizando entonces letras minúsculas, a, b y c, correspondientes respectivamente a AB, BC y CA.

Por tanto los lados de un triángulo se denominarán como AB=a, BC=b y CA=c.

–Ángulos

Los ángulos de este tipo de polígonos y de otros muchos pueden denominarse de distintas maneras.

La principal y más utilizada, es el uso del alfabeto griego, siendo en el caso de los triángulos las tres primeras letras, α, β y γ.

–Medianas:

Se denomina mediana a la recta que une cada vértice con el punto medio del lado opuesto al mismo.

Pero existen otras maneras de referirse a ellos, una es a través de los vértices que forman el ángulo, es decir, el ángulo Â= α; otra es haciendo referencia a los tres vértices del triángulo, situando en el centro el vértice del ángulo al que nos referimos, así, α =Â= ∠BAC

Sabías qué

Cualquier figura geométrica, por muy compleja que sea siempre se puede dividir en triángulos, dado que es el polígono más simple y de menos lados.

Clasificación

–Clasificación por las longitudes de los lados:

∙Triángulo equilátero: se llama triángulo equilátero a aquél que tiene todos sus lados iguales, y que por ende, sus tres ángulos interiores son de 60º cada uno.

∙Triángulo isósceles: se llama triángulo isósceles a aquél que tiene dos de sus lados de la misma longitud, de manera que sus ángulos opuestos a estos lados tienen la misma medida, por lo que se establece una relación entre lados y ángulos, a lados iguales, ángulos iguales.

∙Triángulo escaleno: se llama triángulo escaleno a aquél que tiene sus tres lados con distinta longitud, y por lo tanto tampoco hay ángulos de la misma medida.

–Clasificación de triángulos por las medidas de sus ángulos.

∙Triángulo rectángulo: se denomina triángulo rectángulo a aquél triángulo cuyo uno de sus ángulos tiene una abertura de 90º. Los lados a y b que conforman este ángulo recto se les denomina catetos, y al lado restante se le denomina hipotenusa.

Dentro de los triángulos rectángulos, existen varias posibilidades:

›Triángulo rectángulo isósceles: se denomina así a los triángulos rectángulos cuyos catetos tienen la misma longitud y por tanto los ángulos opuestos a estos lados, son de igual magnitud y de 45º.

›Triángulo rectángulo escaleno: se denomina así a los triángulos rectángulos cuyos catetos no presentan la misma longitud y que por tanto tienen también sus ángulos opuestos con una abertura distinta.

∙Triángulo oblicuángulo: es aquél triángulo que no tiene ninguno de sus ángulos interiores igual a 90º, es decir, no tiene ningún ángulo recto. Este tipo de triángulos se dividen en obtusángulos y acutángulos.

›Triángulo obtusángulo: se denomina así a un triángulo oblicuángulo, cuando tiene un ángulo mayor de 90º y los otros dos por tanto menores de 90º.

Dentro de esta categoría, los triángulos obtusángulos, en función de la longitud de sus lados, se dividen en:

-Triángulo obtusángulo isósceles: Presenta un ángulo obtuso (mayor de 90º) y los lados que lo forman son de la misma longitud.

-Triángulo obtusángulo escaleno: Son aquellos que teniendo un ángulo obtuso (mayor de 90º) todos sus lados son de distinta longitud.

›Triángulo acutángulo: se denomina de esta manera a los triángulos cuyos ángulos son todos inferiores a 90º.

Dentro de los triángulos acutángulos, podemos establecer otras tres divisiones en función de la longitud de sus lados:

-Triángulo acutángulo equilátero: Son aquellos cuyos lados y ángulo son de la misma longitud.

-Triángulo acutángulo escaleno: Es aquel que tiene todos sus ángulos agudos (menores de 90º) y distintos entre sí.

-Triángulo acutángulo isósceles: Se trata de un triángulo con todos sus lados agudos (menores de 90º) en los que dos de ellos son de la misma medida y otro distinto.

Como vemos, la clasificación de los triángulos, puede variar mucho en función de las características en las que nos fijemos para hacerlo, y la variedad que se presenta es muy amplia.

Propiedades

Todos los triángulos, independientemente del tipo, el tamaño o magnitud de los ángulos o la medida de sus lados, tienen unas propiedades muy importantes que posteriormente nos van a servir para su cálculo y la obtención de figuras geométricas más complicadas.

Hay que tener en cuenta, que cualquier figura geométrica, por complicada que sea, se puede dividir en triángulos.

Por ello es muy importante la comprensión de la figura geométrica del triángulo, sus características y sus propiedades.

Las propiedades más importantes y que más hay que tener en cuenta son las siguientes:

–La suma de sus tres ángulos, α + β + γ = 180º. Es una propiedad que se suma en todos los triángulos.

–Uno de los lados del triángulo siempre es menor que la suma delas longitudes de los otros dos lados restantes. De la misma manera, un lado de un triángulo es mayor que la resta de las longitudes de los dos lados restantes.

–Cuanto mayor es un lado, mayor es la dimensión del ángulo opuesto, y recíprocamente igual.

–Las mediatrices de los lados (recta perpendicular a un lado trazada por su punto medio), concurren en un punto único, llamado circuncentro, que es el centro de la circunferencia que circunscribe al triángulo, y pasa por todos sus vértices.

–Las medianas de un triángulo (rectas que unen cada vértice con el punto medio del lado opuesto) tienen su punto de intersección en lo que se denomina como baricentro, o centro de gravedad.

Este punto, esté donde esté en función de cada tipo de triángulo, siempre cumplirá con unas reglas de proporción, de manera que la longitud desde un vértice al baricentro, es dos veces la distancia desde el baricentro al lado medio del lado opuesto, es decir, AD=2DMb, o, BD=2DMc o, CD=2DMa.

De la misma manera, se cumple la proporción inversa en la que DMb = AD/3 ó DMC = BD/3, ó DMa = CD/3.

–Las alturas del triángulo, (rectas perpendiculares a los lados que pasan por el vértice opuesto al mismo) tienen su punto de intersección en el punto llamado ortocentro.

–Las bisectrices de cada ángulo, tienen un punto de intersección en el llamado incentro, que llamaremos I, y que es el centro de la circunferencia inscrita dentro del triángulo.

–En cualquier tipo de triángulo, se cumple la siguiente ley de proporcionalidad, y es que la bisectriz de un ángulo α, divide el lado opuesto en dos segmentos proporcionales entre sí y con los otros dos lados, es decir BD/DC = AB/AC.

–En un triángulo rectángulo, existe una proporción muy clara y conocida, y es que el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos, es decir, = .

De la misma manera, en los triángulos rectángulos, el incentro, coincide con el punto medio de la hipotenusa.

Recuerda

Las principales características de un triángulo son, que sus tres ángulos miden 180º, y la relación entre bisectrices e Incentro, medianas y el baricentro, y alturas y circuncentro.

Construcción de triángulos

Ahora que ya conocemos la estructura de un triángulo, los tipos y sus propiedades, es el momento de comenzar a construirlos.

En este punto veremos cómo construir distintos tipos de triángulos, y sus soluciones en función de los datos iniciales con los que contemos.

Así empezaremos a trabajar con los triángulos equiláteros.

–Triángulos equiláteros:

Son los triángulos más sencillos de construir. Dada la cantidad de propiedades que tienen los triángulos equiláteros, es muy sencillo construirlos con muy poca información. Sabemos que un triángulo equilátero tiene sus tres lados de la misma longitud, y sus tres ángulos son de 60º. De la misma manera, sabemos que este triángulo es totalmente simétrico a su recata h, o altura.

Así, podemos entender que todos los triángulos equiláteros son proporcionales y simétricos entre sí, ya que sus ángulos siempre van a ser 60º.

Por tanto, para construir cualquier triángulo equilátero, con independencia de los datos con los que inicialmente contemos, lo primero es construir un triángulo equilátero ABC, cualquiera, construido de manera aleatoria.

En segundo lugar, trazamos la altura h’ de ese triángulo aleatorio. En este punto, sabemos que los lados del triángulo buscado van a ser paralelos a los lados del triángulo aleatorio que hemos dibujado. De esta manera la altura h del triángulo que buscamos, va a estar sobre la recta en la que se traza h’, la altura del triángulo equilátero aleatorio que hemos dibujado inicialmente.

Con esta estructura podemos encontrarnos ante varios casos, que variarán en función del dato inicial con el que contemos:

∙Sabiendo la altura h del triángulo buscado:

Partiendo del triángulo aleatorio, llevamos la altura conocida h, sobre la altura aleatoria h’.

Sabiendo que uno de los extremos de esa altura h, será el vértice A del triángulo buscado, trazaremos una paralela al lado a’ del triángulo aleatorio, por el vértice A.

Igualmente, trazamos una recta paralela al lado c’ del triángulo aleatorio, trazada también por A.

De esta manera obtendremos los vértices B y C del triángulo buscado, que serán las intersecciones de estas paralelas con el lado c’ del triángulo inicial.

∙Sabiendo la dimensión de un lado:

Partiendo de la estructura del triángulo aleatorio, haremos coincidir, el vértice A del triángulo buscado, con el vértice A’ del triángulo aleatorio. De esta manera, tendremos el primer punto del triángulo que buscamos.

El hecho de hacer coincidir A y A’ nos ayuda a la hora de llevar la longitud del lado conocido del triángulo que buscamos, de manera, que haciendo centro en A, y con la longitud conocida a, trazamos un arco que corte a los lados a’ y c’ en los vértices B y C del triángulo que buscamos.

Recuerda

Para resolver un triángulo equilátero, lo más importante es saber que sus tres lados son iguales y por tanto sus tres ángulos también.

–Triángulos isósceles:

Primeramente, hay que recordar, que un triángulo isósceles es aquel que tiene dos lados de la misma longitud, y que por tanto una de sus propiedades es que dos de sus ángulos, concretamente los ángulos opuestos a estos dos lados iguales, son también de la misma magnitud.

Una vez recordado esto, comenzaremos con la construcción de los triángulos isósceles, en función de los datos iniciales.

∙Conocidos el ángulo α, y la suma de los lados c+a.

Primero, sobre un punto, que será el vértice A del triángulo dado, dibujaremos el ángulo α conocido.

Sabiendo este ángulo, trazaremos de manera aleatoria, un lado a’ y un lado c’.

Estos dos lados aleatorios, deben ser de la misma magnitud, de manera que el triángulo que dibujamos es isósceles. Así, en este momento tenemos un triángulo AB’C’.

A partir de aquí, debemos abatir, con centro en el vértice C’, la distancia C’B’, sobre el eje que pasa por los vértices A C’, de manera que obtendremos el punto D’.

En este punto, tenemos un triángulo AB’D’

Sobre el eje que pasa por A y D’, llevamos la distancia conocida c+a, que nos dará el punto D.

Dadas las características del triángulo isósceles, establecemos la relación proporcional en la que AD’/AD = AB’ / AB, por lo que trazando una paralela a D’B’ por el punto D, obtendremos el punto B, siendo este el vértice del triángulo que buscamos.

Con estos dos vértices ya conocemos la longitud del lado AB, que será la misma que la del lado AC, con lo que podríamos trazar el triángulo.

∙Conocidos el ángulo α = β y la bisectriz de dicho ángulo b1.

Comenzaremos por trazar el ángulo conocido α.

Trazamos la bisectriz de dicho ángulo y llevamos sobre él la longitud b1, con la que obtendremos el punto D, que estará contenido dentro del lado c del triángulo que buscamos.

Sobre el eje que pasa por el vértice A, trazamos una recta r que pase por el vértice A, y que forme el ángulo α, con ese eje.

Si trazamos ahora una paralela a la recta r pasando por el punto D, obtendremos en la intersección con el eje que pasa por el vértice A, el punto C, que es el segundo vértice del triángulo que buscamos.

Teniendo entonces, los vértices A y C, y sus respectivos ángulos, α y β, que son de igual magnitud, solamente con prolongar sus ejes, obtendremos en su intersección el punto B, que será el tercer vértice del triángulo ABC que buscamos.

∙Conocidos los ángulos α = β y la diferencia de los lados c – a:

Sobre una recta r cualquiera, situamos el punto A, que será el vértice de nuestro triángulo.

Desde este punto A, trazamos dos rectas, la recta a y la recta b, que formarán el ángulo α conocido con respecto a la recta r trazada anteriormente de manera aleatoria...

Con centro en A, llevamos la distancia conocida c-a sobre la recta a y sobre la recta r, obteniendo los punto E y D.

Unimos los puntos E y D en una recta que cortará a la recta b en el punto B, segundo vértice de nuestro triángulo.

Trazando una paralela a nuestra recta r, por el punto B, hallaremos una intersección con la recta a, que será el tercer vértice de nuestro triángulo, con lo que ya estará hallado.

∙Conocidos el ángulo α y la mediana Mb=Mc:

Trazamos la mediana Mb conocida. Sus dos extremos, serán el vértice B del triángulo que buscamos y el punto medio D del lado opuesto.

En segundo lugar trazamos por este segmento el arco capaz del ángulo α conocido.

Un arco capaz es un lugar geométrico desde el que un segmento se ve siempre desde el mismo ángulo.

En este caso el segmento es el BD y el ángulo, el ángulo α conocido.

Para ello, trazamos la mediatriz del segmento BD, y trazamos una recta r que pase por el punto B y forme el ángulo α con la recta BD.

A partir de aquí trazamos por el punto B una perpendicular a la recta r hasta que corte a la mediatriz del lado BD. Este punto de intersección lo llamaremos O y será el centro de la circunferencia de radio OB, que contendrá también el punto D.

Tras este paso, trazaremos un arco de diámetro OB, que tendrá su centro en el punto medio de la recta OB.

Sabiendo que en un triángulo isósceles, el ortocentro, el punto en el que se cruzan las medianas, se sitúa en Mb/3, dividimos la recta BD entre tres y situamos el punto Or.

Con centro en Or y radio Or D, trazamos una circunferencia que se cruzará con el arco de diámetro OB.

Ese punto de intersección lo llamaremos E, y será un extremos de la otra mediana Mc, cuya longitud conocemos por ser la misma que la de la mediana Mb.

Una vez hallado el punto E, debemos trazar una recta que lo una con el ortocentro, y llevar sobre dicha recta la medida Mb = Mc conocida, de manera que el punto opuesto a E será el punto C, vértice del triángulo que buscamos.

Para terminar solo tenemos que unir los puntos C y D, y los puntos B y E hasta que se crucen, obteniendo el punto A, tercer vértice del triángulo que buscamos, con lo que ya podríamos trazarlo.

Recuerda

En la resolución de un triángulo isósceles las características más importante a tener en cuenta son que dos de sus lados son de la misma magnitud, y que por tanto, los ángulo opuestos a estos lados, son también de la misma magnitud.

–Triángulos rectángulos:

Los triángulos rectángulos son aquellos que tienen un ángulo de 90º, y que guardan una proporción entre sus lados, de manera que la suma de los cuadrados de los lados que forman el ángulo recto es igual al cuadrado del tercer lado. Esto es a2=b2 +c2.

Una vez dicho esto, pasaremos a construir los distintos triángulos en función de los datos conocidos.

∙Conocidos los catetos b y c:

Sabiendo que las medidas conocidas son las de los catetos a y b, y que ello significa que entre ambos forman un ángulo de 90º, lo primero es trazar un ángulo recto, y llevar sobre ambas rectas las medidas conocidas de b y c respectivamente. De esta manera, uniendo los dos extremos hallados, obtendríamos la hipotenusa, el tercer lado de nuestro triángulo.

∙Conocidos un cateto b y un ángulo γ:

Trazamos el lado b conocido, con lo que tendríamos los vértices C y B de nuestro triángulo.

En uno de sus extremos, el del punto B trazamos un ángulo recto, y por el otro punto, el C, trazamos una recta a que forme con la recta b el ángulo conocido γ.

El punto donde se corten ambas rectas, será el punto A, tercer vértice del triángulo que buscamos.

∙Conocidos la hipotenusa a y el ángulo γ:

Trazamos el lado conocido a, que es la hipotenusa, obteniendo en sus extremos los puntos A y B, vértices del triángulo.

Nos faltaría hallar el vértice C, que en un triángulo rectángulo, vería a la hipotenusa bajo un ángulo de 90º, por lo que deberemos trazar el arco capaz del lado a para un ángulo de 90º. Este arco capaz es el arco trazado desde el punto medio del lado a, con una abertura hasta el punto A.

Una vez trazado este arco, hay que trazar una recta b que forme con la recta a un ángulo γ conocido.

El punto donde se cruzan el arco capas y esta recta b será el punto C, tercer vértice de nuestro triángulo.

∙Conocidos la hipotenusa a y el cateto b:

Dibujamos el cateto b, como unión de los vértices A y B. Por el punto A, trazamos una recta perpendicular a la recta AB.

Con centro en B trazamos un arco de radio a. En el punto donde se crucen el arco y la perpendicular a la recta AB=a, tendremos el tercer vértice C de nuestro triángulo.

∙Conocidos la hipotenusa a, y la diferencia entre los lados b-c:

Comenzamos trazando una recta r cualquiera que utilizaremos como eje en el que se va a contener el lado b.

Sobre esa recta r, marcamos el punto p aleatoriamente.

Con centro en p, llevamos la distancia conocida b-c, de manera que hallaremos el punto A, y que será el vértice de nuestro triángulo.

Con centro en este punto A, trazamos un arco de radio a.

Desde el punto p, trazamos una recta que forme 45º con respecto a la recta r, y en su punto de corte con el arco de radio a, tendremos el vértice B de nuestro triángulo.

Para hallar el último vértice solo tendremos que trazar una perpendicular al lado a que pase por el vértice B, y cuya intersección será el vértice C que nos faltaba para hallar el triángulo.

∙Conocidos un cateto c y la diferencia a-b:

En primer lugar trazamos una recta r cualquiera, sobre la que marcaremos el vértice A de nuestro triángulo, que situaremos aleatoriamente.

A partir del punto A, y perpendicularmente a la recta r, trazamos una recta que será el cateto conocido c, de manera que tendremos B, el segundo vértice de nuestro triángulo.

Con centro en A y radio a-b, trazamos un arco que corte a la recta r, obteniendo el punto D.

Uniendo el punto D con el punto B, y trazando la mediatriz de esa recta, obtendremos un punto de intersección con la recta r que será el vértice C de nuestro triángulo, de manera que ya tenemos nuestro triángulo.

∙Conocidos la hipotenusa a y la suma de sus catetos b+c:

En primer lugar trazamos una recta r aleatoria, sobre la que situaremos también de manera aleatoria el punto C, vértice de nuestro triángulo.

Con centro en C y radio b+c, llevamos sobre r esta medida, obteniendo el punto D. Trazamos por D una recta s que forme 45º con la recta r.

Con centro en el punto vértice C y radio conocido a, trazamos un arco hasta que corte con la recta s.

El punto de intersección será el vértice B de nuestro triángulo, de manera que trazando una perpendicular a la recta r por el punto B, tendremos el punto A, tercer vértice de nuestro triángulo.

Es posible que este arco corte a la recta s en dos puntos, por lo que puede haber dos soluciones posibles.

∙Conocido un cateto c y la suma de a+ b:

Trazamos una recta r cualquiera sobre la que marcamos aleatoriamente el punto A que será el vértice de nuestro triángulo.

Desde el vértice A, y sobre r trazamos un arco de radio a+b, hallando el punto D.

Trazamos una perpendicular a r que pase por el punto A, de manera que llevando sobre ella la medida conocida del cateto c, obtendremos el vértice B de nuestro triángulo.

En este momento, unimos el vértice B con el punto D, trazamos la mediatriz de este segmento BD y cuando esta mediatriz se corte con la recta r, habremos obtenido el vértice C de nuestro triángulo.

∙Conocido la altura Ha y la mediana Ma:

Primero trazamos una recta r sobre la que situaremos un punto D cualquiera.

Sobre este punto D, trazamos una perpendicular a la recta r, y llevamos sobre esta perpendicular la distancia conocida Ha. El extremo de esta recta Ha será el punto A, vértice de nuestro triángulo.

Con centro en A, y radio Ma, trazamos un arco que corta a la recta r en el punto M, que será el punto medio del futuro lado CD que aun no conocemos.

Dado que es un triángulo rectángulo, la recta Ma es de igual magnitud a la mitad del lado CD que buscamos, por lo que con centro en M y radio Ma, trazamos un arco que en sus intersecciones con la recta r, hallaremos los vértices C y B, con lo que ya tenemos los tres vértices de nuestro triángulo, pudiendo así trazarlo.

∙Conocida la altura Ha y la bisectriz Ba:

Partimos de una recta r cualquiera, sobre la que situaremos un punto cualquiera D.

Sobre la perpendicular a r que pasa por D, llevamos la distancia conocida Ha, hallando así en vértice A de nuestro triángulo.

Con centro en A y radio conocido Ba, trazamos un arco que corta a la recta r en E.

En este punto en el que tenemos en vértice A, y su bisectriz, sabiendo que el ángulo Â es de 90º, habría que trazar, a partid de Ba y pasando por A, dos rectas que formen 45º, de manera que corten a la recta r en dos puntos, B y C que serán los dos vértices restantes de nuestro triángulo.

Recuerda

Los triángulos rectángulos tienen la característica principal de que uno de sus ángulos es siempre de 90º, por lo que siempre se cumplirá la relación a2= b2 + c2.

–Triángulos escalenos:

Recordemos que a diferencia de los anteriores, los triángulos escalenos no guardan ninguna relación ni proporción entre sus lados ni sus ángulos, ya que cada uno de ellos es distinto.

∙Conocidos los tres lados a, b y c:

Es el caso más sencillo ya que conocemos prácticamente todo.

Primero elegimos uno de los lados conocidos, por ejemplo el a, y lo trazamos, denominando a sus extremos los puntos A y B, que serán vértices de nuestro triángulo.

Desde el punto A, trazamos un arco con radio b, y desde el punto B trazamos un arco de radio c. El punto donde ambos arcos se cruzan será el vértice C de nuestro triángulo, con lo que ya podremos trazarlo.

∙Conocidos los lados a y c y el ángulo α comprendido entre ellos:

Trazamos una recta r, sobre la cual situamos el punto A de manera aleatoria, el cual será el primer vértice de nuestro triángulo. Trazamos el ángulo α conocido tomando como vértice el punto A.

Con centro en A, trazamos un arco de radio a y otro de radio c, de manera que al cortar las rectas que forman los ángulos obtenemos los otros dos vértices restantes de nuestro triángulo.

∙Conocido los lados a y b, y el ángulo opuesto a uno de ellos:

Trazamos el lado conocido a, obteniendo los vértices A y B de nuestro triángulo.

Trazamos una recta pasando por A, que forme el ángulo conocido con el lado a.

Desde el punto B, trazamos un arco de radio b, hasta que corte con el ángulo anteriormente trazado.

El punto de intersección de ambos será el punto C, tercer vértice del triángulo que buscamos.

En este caso existe la posibilidad de que existan 2 puntos de intersección con lo que habrá dos soluciones posibles.

∙Conocido un lado a, y sus dos ángulos adyacentes α y β:

Trazamos el lado a conocido, comprendido entre los puntos A y B.

Trazamos una recta r que pase por el punto A, y forme un ángulo α con respecto al lado a.

Trazamos un recta s que pase por el punto B, y forme un ángulo β con respecto al lado a.

El punto de unión de las rectas r y s, nos dará el punto C, tercer vértice del triángulo que buscamos.

∙Conocidos dos ángulos α y β y un lado a opuesto a uno de ellos.

Trazamos una recta r cualquiera sobre la que situamos aleatoriamente el punto C, vértice del triángulo que buscamos.

Sobre el vértice C y con respecto a la recta r trazamos dos rectas s y t que formarán los ángulos α y β respectivamente.

Sobre la recta s, llevamos la longitud del lado a conocido, obteniendo el punto B, segundo vértice del triángulo que buscamos.

Sobre el punto B, trazamos una paralela a la recta t, hasta que se cruza con la recta r, obteniendo el punto A, tercer vértice del triángulo.

∙Conocido un lado c, el ángulo α y la mediana Ma:

Trazamos una recta r cualquiera sobre la que situamos aleatoriamente el punto B, vértice de nuestro triángulo.

Sobre el punto B, trazamos una recta s que forma con la rectar r el ángulo α conocido.

Concentro en el punto B y radio igual a la longitud del lado c, trazamos un arco de circunferencia que corte a la recta s en el punto A, el segundo vértice de nuestro triángulo.

Con centro en A, y radio Ma, trazamos un arco que corte a la recta r en el punto M.

Sabiendo que el punto M es el punto medio del lado opuesto al vértice A, se establece que BM=MC, por lo que con centro en M y radio MB, trazamos un arco que corte a la recta r en el punto C, tercer vértice del triángulo que buscamos.

∙Conocidos la mediana Ma y los lados b y c:

Trazamos una recta r sobre la que marcamos aleatoriamente un punto A, que será un vértice del triángulo que buscamos.

Con centro en A, y radio 2Ma, trazamos un arco que al cortar a la recta r el punto A’.

Con centro en A y A’ trazamos un arco de radio b, cuya intersección nos dará el punto B, vértice del triángulo buscado.

Con centro en A y A’, trazamos un arco de radio c cuya intersección nos dará el punto C, el tercer vértice de nuestro triángulo.

∙Conocido el lado b, la mediana Ma y el ángulo α:

Comenzamos trazando una recta r aleatoria, sobre la que situaremos el vértice A.

Por A, trazaremos una recta s que forme con r el ángulo α conocido.

Con centro en A y radio b, trazamos un arco que corte a la recta s en el punto B, vértice del triángulo buscado.

Trazamos una recta t paralela a r que pase por el punto B

Con centro en A, trazamos un arco de radio 2Ma, que se cortará con la recta t en un punto A’.

Recuerda

La mediana es la recta que une un vértice con el punto medio del lado opuesto a este.

Unimos el punto A con el punto A’, y hallamos su punto medio M.

Unimos el punto B con el punto M, y lo prolongamos hasta que corte con la recta r.

Así obtenemos el punto C, tercer vértice en cuestión, necesario para trazar el triángulo buscado.

∙Conocidos los ángulos α y β, y la bisectriz Ba

Trazamos una recta r cualquiera sobre la que situamos el punto A, vértice de nuestro triángulo escaleno.

Tomando como vértice A, trazamos una recta s que forme con r el ángulo conocido α.

Tomando como vértice A, trazamos una recta t que forme con la recta r el ángulo conocido β.

Trazamos la bisectriz del ángulo α, y llevamos sobre esa recta la medida conocida Ma, de manear que obtendremos el punto D.

Trazamos una recta t’ paralela a t, que pase por el punto D, de manera que al cortarse con las rectas r y s, obtendremos los punto B y C respectivamente, ambos vértices del triángulo que buscamos.

∙Conocidos la bisectriz Ba, el lado b, el ángulo γ.

Trazamos una recta r en la que situamos el punto A aleatoriamente.

Desde el punto A, que será uno de los vértices del triángulo buscado, trazamos una recta s que formará con la recta r el ángulo γ dado.

Con centro en A y radio b, trazamos un arco que cortará a la recta s en el punto B, vértice del triángulo buscado.

Con centro en B y radio Ba, trazamos un arco que cortará a la recta r en el punto I.

En este punto, sabemos la situación del vértice B y el ángulo que forma la bisectriz BI con la recta s, por tanto podremos saber que el ángulo al que pertenece este vértice B.

Con lo que trazando un ángulo con vértice en B, y abertura igual al ángulo que forma BI con la recta s, obtendremos una recta que cortará a la recta r en el punto C, tercer y último vértice del triángulo buscado.

Recuerda

La bisectriz es la recta que divide en dos partes iguales un ángulo.

∙Conociendo la mediana Ma, y las alturas Ha y Hc:

Trazamos una recta r cualquiera, sobre la que marcamos un punto H aleatorio.

Trazamos una perpendicular a r que pase por H, y sobre esa perpendicular llevamos la longitud Ha, con lo que hallaremos el punto A, vértice del triángulo que buscamos.

Con centro en el vértice A y radio Ma, trazamos un arco que se corta con r en el punto M, que será el punto medio del lado opuesto al vértice A. Unimos el punto A con el punto M.

En este punto, sabemos que la bisectriz del ángulo que forma AM con r es de la misma magnitud que Hc/2. Por lo tanto, trazamos la recta s, bisectriz mencionada, y llevamos sobre esa recta la longitud Hc/2, hallando el punto P.

Uniendo el punto A con el punto P, encontramos un punto de intersección con la recta r, que será el punto B, segundo vértice del triángulo que buscamos. Sabiendo que BM es la mitad del lado c que buscamos, trazamos el segmento MC=BM, con lo que hallamos el tercer vértice buscado para trazar el triángulo.

∙Conocido el perímetro a + b + c y los ángulos α y β:

Trazamos una recta r aleatoriamente.

Llevamos sobre ella la distancia conocida del perímetro del triángulo que buscamos.

Este perímetro estará comprendido entre dos puntos externos del triángulo que llamaremos D y E.

Debemos aclarar una cosa antes de continuar con el siguiente paso, para poder entender el ejercicio.

En un caso teórico, imaginemos sobre una recta r, un punto A, que forma con r un ángulo α, y que tiene una longitud de a= AB

Bien, el ángulo exterior de ese punto A, será por tanto 180º -α.

Si abatimos el lado a, sobre la recta r, tendremos otro punto B’ en esa recta. De esta manera, si unimos ABB’, tenemos un triángulo isósceles, del cual conocemos el ángulo Â=180-α, y la longitud de sus lados iguales = a.

Por ser un triángulo isósceles, sabemos que los dos ángulos que aún no sabemos son iguales es decir que β = γ, y como la suma de todos los ángulos de un triángulo es siempre 180º se establece que: (180-α) + β + γ =180 → (180-α) + 2β = 180 → 180-α -180 = -2β → -α = 2β Lo que nos lleva a verificar que β, es α/2.

Veamos esto gráficamente:

Una vez entendido esto. Sobre la recta r inicial trazamos por los puntos D y E sendas rectas s y t que formen con la recta r los ángulos α/2 y β/2 respetivamente.

El punto de intersección de las rectas s y t, trazadas anteriormente, será el punto A, vértice del triángulo que buscamos.

Trazamos la mediatriz del segmento DA que cortará a la recta r en el punto B, segundo vértice del triángulo buscado.

Trazamos la mediatriz del segmento EA, que cortará a la recta r en el punto C, tercer y último vértice del triángulo que buscamos.

Importante

Ten en mente que en la resolución de un triángulo escaleno, estos triángulos no guardan ninguna relación entre sus lados o sus ángulos, con lo que debemos basar la construcción del triángulo en las características generales de un triángulo, como son la situación del Incentro, Baricentro y Circuncentro.

1.5.Polígonos regulares

Introducción

En este punto vamos a desarrollar y profundizar los conocimientos acerca de los polígonos regulares, figuras planas cerradas por más de tres segmentos, pero para poder comprender correctamente qué son y cómo son estos polígonos regulares, es necesario tener primero una visión más general de los polígonos, no solo los polígonos regulares.

Del párrafo anterior se deduce por tanto que los polígonos regulares son un tipo de polígonos, y que existen otros, pero ¿qué es un polígono?, la definición de polígono dice que es una figura plana limitada y cerrada por líneas.

En función de cómo son estas líneas se establece una primera clasificación de polígonos, de manera que:

–Polígono rectilíneo: si esas líneas son rectas se denominará polígono rectilíneo.

–Polígono curvilíneo: si por el contrario esas líneas que cierran la figura plana son curvas, el polígono se denominará curvilíneo.

–Polígono mixtilíneo: por último, si la figura está compuesta tanto por líneas rectas como por líneas curvas, se denominará polígono mixtilíneo.

Si clasificamos los polígonos en función de la magnitud de sus lados y sus ángulos se establecen dos tipos de polígonos:

–Polígonos regulares: aquellos polígonos que tienen todos sus lados iguales y todos sus ángulos iguales.

–Polígonos irregulares: aquellos polígonos que al contrario que los anteriores no tienen sus lados de la misma magnitud y por lo tanto tampoco igualdad entre sus ángulos.

Existe otro tipo de clasificación, que se basa en analizar los polígonos en función de la situación de sus lados, de manera que existen otros dos tipos de polígonos:

–Polígonos convexos: son aquellos polígonos cuyos ángulos son salientes

–Polígonos estrellados: son aquellos polígonos cuyos ángulos se alternan entre salientes y entrantes.

Una vez realizada esta visión general acerca de los tipos de polígonos y su clasificación en función de distintas variables vamos a abordar la nomenclatura o la manear de nombrar las diferentes partes de un polígono.

Sabías qué

Las geometrías de muchos de los polígonos regulares, sobre todo los hexágonos, están presentes en la estructuras moleculares que forman organismos y construcciones químicas existentes en la naturaleza.

Elementos y nomenclatura de los polígonos

Vamos a abordar ahora los distintos elementos que se encuentran en un polígono, y la manera de nombrar cada una de ellas. Con esto podremos entender más adelante los problemas que se plantearán con este tipo de figuras geométricas.

De esta manera, en un polígono cualquiera podremos encontrar e identificar los siguientes elementos:

–Lados: se identifica mediante la letra mayúscula L, y se corresponde con cada uno de los segmentos con los que se forma un polígono.

–Vértice: se identifica con letras mayúsculas, generalmente comenzando por la A y continuando con el alfabeto en función del número de vértices que un polígono presente. Los vértices son los puntos de unión o la intersección entre los lados que forman un polígono.

–Perímetro: identificado con la letra P, se refiere a la suma de las magnitudes de cada uno de los lados de un polígono.

–Diagonal: se identifica en el dibujo con la letra minúscula d, y se corresponde con el segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono.

–Ángulo interior: se representa con las letras mayúsculas AI, y se corresponde con el ángulo que se forma por dos lados consecutivos de un polígono medido por el interior del mismo.

–Ángulo exterior: se representa con las letras mayúsculas AE, y se corresponde con el ángulo que forman un lado y la prolongación de otro lado consecutivo.

–Centro: se representa con la letra mayúscula O o C, y representa el centro de la circunferencia que pasa por todos los vértices de un polígono. Evidentemente este punto solo existe en los polígonos regulares.

–Apotema: se representa con la letra minúscula a, y se corresponde con la recta que una el centro C de un polígono con el centro de un lado del mismo. Este segmento, que por depender del centro C solo existe en polígonos regulares, es perpendicular al lado con el que se corta.

–Radio: se representa con la letra minúscula r, y se corresponde con la recta que une el centro C con un vértice del polígono al que pertenece.

–Angulo central: se representa por las letras mayúsculas AC, y se corresponde con el ángulo que forman los radios que unen el centro con dos vértices consecutivos.

Propiedades

Todos los polígonos presentan una serie de características que conviene tener presentes a la hora de comprender un polígono y sobre todo a la hora de resolverlo. Así vamos a enumerar las propiedades que se presentan en un polígono cualquiera:

–Existe una semejanza entre el número de lados, vértices y ángulos de un polígono, así, un polígono de n lados tendrá también n vértices y n ángulos.

–La suma de sus ángulos centrales AC, es siempre de 360º, o dicho también de otra manera menos utilizada de 4 ángulos rectos.

–La suma delos ángulos internos AI, cumple con la fórmula AI = 2 (n-2) ángulos rectos, siendo n el número de lados que forma el polígono. Es decir, en un supuesto polígono de 7 lados, la suma de sus ángulos internos sería 2 (7-2) =10 ángulos rectos.

–Las diagonales que parten de un mismo vértice, dividen a dicho polígono en n-2 triángulos, es decir, suponiendo el mismo polígono anterior, de 7 lados, correspondería con 7-2= 5 triángulos.

–La suma de los ángulos externos, obtenidos siempre por la prolongación de los lados en un mismo sentido del perímetro, será siempre de 4 ángulos rectos.

–El número de diagonales de un polígono de n lados, será = a n (n-3)/ 2, así, en nuestro hipotético polígono de 7 lados, habrá 7(7-3)/2 = 7(4)/2 = 14 diagonales posibles.

NÚMERO DE LADOS	NÚMERO DE DIAGONALES
3	0
4	2
5	5
6	9
7	14
8	20
9	27
10	35

Una vez comprendido sus partes, nombres, tipos, propiedades etc., vamos a centrarnos exclusivamente en los polígonos regulares, que es el objetivo de este punto, por lo que lo primero que hay que conocer es que existen dos tipos de polígono regulares, los polígonos regulares convexos y los polígonos regulares estrellados.

Importante

Todos los polígonos regulares, están circunscritos dentro de una circunferencia, o circunscriben la circunferencia.

Polígonos regulares convexos

Un polígono regular es aquella forma plana que se forma por líneas rectas cerradas, las cuales tienen todas la misma magnitud, y pasa lo mismo con sus ángulos, pero dentro de esta definición, se encuentran los polígonos que nos ocupan ahora, los polígonos regulares convexos.

Los polígonos regulares convexos son aquellos que comparten definición con los polígonos regulares pero además, suman otra característica, y es que en estos polígonos la situación de sus lados es saliente, es decir, sus ángulos internos son siempre menores de 180º.

Para entender un poco más de estos polígonos regulares, debemos entender, que al final, un polígono regular de n lados, es la manera de dividir una circunferencia en n partes iguales.

Siendo esto así, al unir cada uno de los puntos consecutivos que dividen la circunferencia obtendremos el polígono regular convexo de n lados.

Con esta definición, el número de polígonos es infinito, y su nombre y características dependerán del número de lados, es decir, del número de partes iguales en los que dividiremos la circunferencia.

Sin embargo, los polígonos más utilizados son los de 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, y 12 lados, aunque cualquier otro polígono con un mayor número de lados se puede construir perfectamente.

Comencemos entonces a profundizar en la construcción de cada uno de estos polígonos.

–Triángulo:

Aunque en el apartado anterior hemos visto los triángulos de manera independiente, son también un polígono, y es necesario introducirlos en este apartado, aunque claro está, de todos los tipos de triángulos que hemos visto, solamente los equiláteros son los que cumplen con la definición de polígono regular convexo.

Trazar un triángulo conociendo el radio de la circunferencia que lo circunscribe:

∙Trazamos la circunferencia de radio r que conocemos

∙Trazamos el diámetro AB de la circunferencia, y con centro en B, y radio r, el mismo que la circunferencia, trazamos un arco que corta a la circunferencia en los puntos C y D, que son junto con A, los vértices de un polígono regular convexo de tres lados circunscrito en una circunferencia de radio r conocida.

–Cuadrado:

El cuadrado es una figura geométrica cuya definición ejemplifica lo que es un polígono regular convexo. Es un polígono de 4 lados, que siempre son iguales, por lo que sus ángulos son igualmente de la misma magnitud.

Es cierto que un cuadrilátero no tiene por qué cumplir con esta definición, pero sí que lo cumple el cuadrado.

Bien, entendiendo el cuadrado como la manera de dividir una circunferencia en 4 partes iguales, vamos a ver la manera de trazar un cuadrado conociendo el radio de la circunferencia que lo circunscribe.

∙Trazamos una circunferencia de radio r conocido.

∙Trazamos un diámetro AB

∙Trazamos un diámetro CD que sea perpendicular a AB.

∙De esta manera tendremos 4 puntos sobre la circunferencia, los puntos ABCD, que la divide en 4 partes iguales.

∙Así, uniendo estos puntos, obtendremos el cuadrado buscado.

Importante

Un cuadrado, es un polígono regular convexo que tiene cuatro lados iguales y sus 4 ángulos iguales.

–Pentágono:

El pentágono es un polígono regular de 5 lados, y 5 ángulos iguales. Es un polígono con una complicación mayor que los mencionados triángulo y cuadrado. Dada esa complejidad, vamos a abordar la construcción de dicho polígono conociendo por un lado, el radio de la circunferencia que lo circunscribe, y por otro conociendo el lado del polígono que se busca.

∙Trazar un pentágono, conociendo el radio de la circunferencia que lo circunscribe:

Trazamos la circunferencia de radio r, en la que se circunscribe el pentágono buscado.

Trazamos una diagonal vertical AB, y otra diagonal CD perpendicular a AB.

Sobre el segmento OC, que es uno de los radios de la circunferencia, hallamos la mediatriz, marcando el punto medio de OC como M.

Con centro en el punto M, y radio MA, trazamos un arco que corte al diámetro CD en el punto E.

La longitud de la recta AE es la longitud del lado del pentágono circunscrito en la circunferencia de radio conocido r.

Una vez conocido este dato, solo debemos llevar desde el vértice A, y con radio AE=L, arcos consecutivos sobre la circunferencia inicial, hallando así el resto de vértices que forman el pentágono que buscamos.

∙Trazar un pentágono conociendo la longitud de su lado:

Trazamos el segmento AB=l, el lado conocido del pentágono.

Con centro en A y radio l trazamos una circunferencia ω.

Con centro en B y radio l trazamos una segunda circunferencia λ.

El punto donde se cortan las dos circunferencias lo llamaremos F.

Trazamos la mediatriz del segmento AB.

Con centro en el punto F y radio l, trazamos un arco que corta a la mediatriz del segmento AB en el punto P, y a las circunferencias ω y λ en los puntos G y H respectivamente.

Unimos los puntos G y H con el punto P, y prolongamos hasta que estas rectas corten a las circunferencias ω y λ en los puntos C y E, que serán el tercer y cuarto vértice de nuestro pentágono.

Con centro en estos puntos C y E y radio l, trazamos dos arcos de circunferencia cuyo punto de cruce es el punto D, que será el quinto y último vértice del pentágono que buscamos.

Recuerda

Un pentágono regular, tiene 5 lados iguales y 5 ángulos iguales, y medirán 108º cada uno.

–Hexágono:

Las propiedades y características del hexágono hacen de este polígono una figura geométrica con muchas aplicaciones a nivel de diseño. Lo que tiene el hexágono que otros polígonos no tienen es que el hexágono está formado por 6 triángulos equiláteros, es decir, si trazamos todos los radios del polígono, veremos que esos radios tienen la misma longitud que la magnitud del lado que forma el pentágono.

Por lo que entonces el radio de la circunferencia que circunscribe el hexágono es de la misma longitud que el lado de dicho hexágono.

Por ello, la construcción del hexágono es bastante sencilla. Veamos:

∙Trazamos una circunferencia de radio L conocido, ya que como hemos dicho, en la estructura del hexágono L=r, siendo r el radio de la circunferencia que circunscribirá el polígono.

∙Una vez trazada la circunferencia marcamos aleatoriamente un punto A, que será el vértice del hexágono.

∙A partir del punto A, trazamos arcos sucesivos de radio L alrededor de la circunferencia, de manera que obtendremos el resto de vértices que forman el hexágono.

Recuerda

Un hexágono regular, tiene 6 lados iguales y 6 ángulos iguales, y medirán 120 º cada uno.

–Heptágono:

Un heptágono es un polígono de 7 lados, que por tanto, y tratándose de un polígono regular, tendrá también 7 ángulos de igual magnitud.

Como el resto de polígonos, no tiene la propiedad que hemos visto que tiene el hexágono, por lo que en este caso el lado de un heptágono no es igual al radio de la circunferencia que circunscribe dicho heptágono.

Por ellos se establecen dos métodos para hallar un heptágono, sabiendo el lado de este polígono, y sabiendo el radio de la circunferencia que lo circunscribe.

∙Trazar un heptágono conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

Trazamos una circunferencia de radio r que contendrá el polígono que buscamos.

Trazamos un diámetro AB.

Con centro en el punto B, trazamos un arco de igual radio al de la circunferencia que contendrá el heptágono buscado, de manera que obtendremos los puntos CD en el punto de corte de este arco con la circunferencia inicial.

Unimos C y D.

El punto de intersección entre el segmento CD y el diámetro AB trazado en un principio, nos dará el punto medio M del segmento CD.

La longitud del segmento MD = MC es la longitud del lado del heptágono que buscamos.

A partir del punto A, o de cualquier otro punto de la circunferencia, llevamos la medida del lado L de nuestro heptágono, de manera que tendremos 7 puntos de la circunferencia que serán los 7 vértices de nuestro polígono, el heptágono.

∙Trazar un heptágono conociendo el lado l del polígono (método del radio):

Trazamos el lado L que conocemos, nominando sus extremos como A y B.

Con centro en A, y radio AB=L, trazamos un arco.

Con centro en B y radio BA=L, trazamos un arco.

El punto de unión de estos dos arcos situarán en punto H.

Se traza una recta r perpendicular a AB que pase por B

Trazamos la bisectriz del ángulo formado por los puntos HAB, que cortará a la recta r en el punto N.

Trazamos la mediatriz del lado AB.

Con centro en A, y radio AN, trazamos un arco que corta a la mediatriz de AB en el punto O, que será el centro de la circunferencia que circunscribirá al heptágono.

A partir de A y B llevamos sobre la circunferencia la longitud conocida del lado L del heptágono buscado, de manera que obtendremos los otros 5 vértices del polígono.

∙Trazar un heptágono conociendo el lado L (método directo):

Trazamos una recta r aleatoria sobre la que situamos el lado L conocido, comprendido entre los puntos A y B, que serán vértices de nuestro heptágono.

Trazo la mediatriz M del segmento AB. Sabiendo que siendo AB un lado del heptágono, este lado es también una cuerda de la circunferencia que lo circunscribe, de manera que la mediatriz de este segmento pasará por el centro dicha circunferencia.

Con centro en el punto A, trazamos un arco de radio AB, de manera que obtenemos el punto N en el punto de corte con la mediatriz de AB. Este arco corta también a la recta r en el punto H.

Con centro en el punto H, y radio MN, trazamos un arco que se corte con el arco anteriormente trazado en el punto G, que será también el vértice del heptágono que buscamos.

En este punto en el que tenemos dos lados del heptágono, donde se crucen sus mediatrices estará el centro de la circunferencia que circunscribe el polígono. Trazamos la mediatriz del lado AG, y donde esta se corta con la mediatriz del lado AB estará situado el punto O, centro de la circunferencia que circunscribe al polígono, con lo que con esto y el lado L ya podemos llevar las longitudes para hallar los otros 4 vértices restantes.

Recuerda

Un heptágono regular, tiene 7 lados iguales y 7 ángulos iguales, y medirán 128,57 º cada uno.

–Octógono:

El octógono, es un polígono de 8 lados, que en este caso, sabiendo que es un polígono regular, podemos decir que es un polígono de 8 lados iguales y 8 ángulos de la misma magnitud.

El hecho de que el número de lados 8, hace muy sencilla la construcción del polígono, sobre todo si conocemos el radio de la circunferencia que lo circunscribe.

Sin embargo vamos a ver cómo construir un octógono mediante varios métodos, en función de los datos.

Trazar un octógono conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

∙Es el método más sencillo para construir un octógono, ya que habiendo visto como trazamos el cuadrado, se puede prever cómo trazaremos este polígono.

Trazamos la circunferencia de radio r conocido que sabemos que circunscribirá al octógono.

Trazamos un diámetro AB.

Trazamos un diámetro CD que se perpendicular a AB.

Vemos que hasta aquí tenemos el proceso de construcción de un cuadrado, o lo que es lo mismo, dividir la circunferencia en 4 partes iguales.

Por tanto, lo que para dividirla en 8 partes, o lo que es lo mismo trazar el octógono solo tenemos que trazar las bisectrices de los ángulo internos que forman estas dos diagonales entre sí, de manera que tendremos 4 diagonales, y por tanto 8 punto de corte entre estas y la circunferencia inicial, lo que nos permitirá trazar el octógono.

∙Trazar un octógono conociendo su lado l:

Trazamos el segmento AB = L, el lado conocido del octógono.

Trazamos la mediatriz del segmento AB, que sabemos que pasará por el punto O, centro de la circunferencia que circunscribirá el octógono.

Con centro en el punto medio del segmento AB y radio MA=MB, trazamos un arco que corta a la mediatriz de AB en el punto N.

Con centro en el punto N y radio NA=NB, trazamos un arco que se corta con la mediatriz de AB en el punto O, centro de la circunferencia que circunscribe el polígono.

Con centro en A y en B respectivamente y radio AB=L llevamos sobre la circunferencia de centro O la longitud L conocida, de manera que hallaremos el resto de vértices del octógono buscado.

Recuerda

Un octógono regular, tiene 8 lados iguales y 8 ángulos iguales, y medirán 135 º cada uno.

–Eneágono

El eneágono es el polígono de 9 lados, y como en los casos anteriores, como hablamos de un polígono regular, son 9 lados iguales, con 9 ángulos de la misma magnitud.

Como en casos anteriores, veremos varios métodos en función de los datos conocidos de inicio.

∙Trazar un eneágono conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

Trazamos la circunferencia de radio r conocido que circunscribirá el eneágono.

Trazamos el diámetro AB de la circunferencia

Trazamos el diámetro CD, perpendicular a AB.

Con centro en el punto B, y radio BO=r, trazamos un arco que cortará a la circunferencia inicial en el punto P.

Con centro en el punto A, y radio AP, trazamos un arco que cortará a la prolongación del diámetro CD en el punto Q.

Con centro en el punto Q, y radio QA, trazamos un arco que corta al diámetro CD en el punto U.

El segmento CU es el lado del eneágono, con lo que, por ejemplo, a partir del mismo punto C llevamos esta longitud por la circunferencia, hallando así todos los vértices del eneágono.

∙Trazar un eneágono conociendo la longitud de su lado L (método del radio):

Trazamos el segmento AB=L, lado conocido del eneágono.

Con sendos arcos con centro en A y en B, y radio L, obtenemos el punto Q

Uniendo los puntos A, B y Q, tenemos pues un triángulo equilátero.

Trazamos la bisectriz del ángulo Â de este triángulo.

Trazamos la mediatriz del segmento AB.

De esta manera obtenemos el punto N en su intersección con la bisectriz del ángulo Â.

Con centro en el punto Q, y radio QN, trazamos una circunferencia ω.

Prolongando los segmentos AQ y BQ, obtenemos dos puntos de corte con la circunferencia ω, que serán los puntos U y V.

El punto de corte entre el segmento UV y la mediatriz del segmento AB es el punto O, centro de la circunferencia que circunscribe el eneágono buscado.

∙Trazar un eneágono conociendo el lado L (método directo):

Trazamos una recta r, sobre la que situamos el segmento AB=L.

Con centro en el punto B, y radio BA, trazamos un arco ω que corte a la recta r en el punto H.

Dividimos el segmento AB en 4 partes iguales.

Con centro en A, y radio 3AB/4, trazamos un arco que corte a la recta r en el punto C.

Con centro en H, y radio HB=AB trazamos un arco que al cortar con el arco ω obtenemos el punto D.

Trazamos una perpendicular a la recta r que pase por el punto H

Unimos el punto C con el punto D, cuya prolongación corta a la perpendicular a la recta r en el punto E.

Dividimos el segmento HE en tres partes iguales. HE1 y HE2

Unimos el punto C con el punto HE2, hallando un punto de intersección con el arco ω que llamaremos G, el cual será el tercer vértice del eneágono que buscamos.

Teniendo entonces dos lados del eneágono el AB y el BG, trazamos sus respectivas mediatrices, cuyo punto de intersección será el punto O, centro de la circunferencia que circunscribe el eneágono que buscamos.

En este punto podemos trazar sobre la circunferencia citada la longitud conocida del lado del eneágono, con lo que hallaremos el resto de vértices de dicho polígono.

Recuerda

Un eneágono regular, tiene 9 lados iguales y 9 ángulos iguales, y medirán 140º cada uno.

–Decágono

El decágono, es un polígono de 10 lados, que en este caso por ser regular, sabemos que son 10 lados iguales, y por tanto 10 ángulos iguales. Como en el resto de punto anteriores veremos los distintos métodos para trazar este polígono dependiendo de los datos conocidos del mismo.

∙Trazar un decágono conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

Este método es casi idéntico al método por el que construimos el pentágono regular conociendo el radio de la circunferencia que lo circunscribe.

Trazamos la circunferencia de radio r, en la que se circunscribe el decágono buscado. Trazamos una diagonal vertical PQ, y otra diagonal RS perpendicular a PQ.

Sobre el segmento OR, que es uno de los radios de la circunferencia, hallamos la mediatriz, marcando el punto medio de OR como M.

Con centro en el punto M, y radio MP, trazamos un arco que corte al diámetro RS en el punto E.

La longitud de la recta OE es la longitud del lado del decágono circunscrito en la circunferencia de radio conocido r.

Con esto, y llevando la longitud OE=L sobre la circunferencia, obtendremos los vértices del polígono que buscamos.

∙Trazar un decágono conociendo su lado L (1º método)

La propiedad que se utiliza para hallar en este caso la construcción de un decágono es aquella que prueba que el lado de un decágono es segmento áureo del radio de la circunferencia que los circunscribe.

Trazamos el segmento AB=L.

Por el punto A, trazamos una recta perpendicular a AB de longitud AB/2, obteniendo el punto C.

Unimos el punto B y el punto C, obteniendo un triángulo rectángulo.

Con centro en C y radio CA trazamos una circunferencia ω.

Prolongando el segmento BC, cortamos a la circunferencia ω en el punto D.

Trazamos la mediatriz del lado AB

Con centro en B y radio BD trazamos un arco que corta a la mediatriz del segmento AB en el punto O, centro de la circunferencia que circunscribe el decágono.

Con esta circunferencia ya podemos llevar la longitud conocida del lado sobre ella y obtener así todos los vértices del decágono.

∙Trazado de un decágono conociendo el lado L (2º método):

Este segundo método, al igual que el método utilizado cuando conocemos el radio de la circunferencia, comienza por dibujar un pentágono con el lado L conocido.

Trazamos el segmento AB=l, el lado conocido del decágono, que ahora utilizaremos como lado de un pentágono.

Con centro en A y radio l trazamos una circunferencia ω. Con centro en B y radio l trazamos una segunda circunferencia λ.

El punto donde se cortan las dos circunferencias lo llamaremos F’.

Trazamos la mediatriz del segmento AB.

Con centro en el punto F’ y radio l, trazamos un arco que corta a la mediatriz del segmento AB en el punto P’, y a las circunferencias ω y λ en los puntos G’ y H’ respectivamente.

Unimos los puntos G’ y H’ con el punto P’, y prolongamos hasta que estas rectas corten a las circunferencias ω y λ en los puntos C’ y E’, que serán el tercer y cuarto vértice de nuestro pentágono.

Con centro en estos puntos C’ y E’ y radio l, trazamos dos arcos cuyo punto de cruce es el punto O, quinto y último vértice del pentágono que buscamos.

Este punto O es el centro de la circunferencia que circunscribe el decágono, y la diagonal OA ó OB es el radio de dicha circunferencia.

Con estos datos ya podemos llevar sobre esta circunferencia de radio OA, la longitud conocida L, lado del decágono que buscamos.

Recuerda

Un decágono regular, tiene 10 lados iguales y 10 ángulos iguales, y medirán 144º cada uno.

–Dodecágono:

Como hemos comentado con anterioridad, polígonos existen infinitos, pero no nos íbamos a centrar en los más utilizados. Bien, terminaremos entonces por abordar la construcción del dodecágono, polígono de 12 lados, que como veréis guarda relación en su método deconstrucción con otro polígono anteriormente descrito.

∙Trazar un dodecágono conociendo la longitud de su lado L:

Trazamos el segmento AB=L

Con centro en el punto A y en el punto B trazamos sendos arcos de radio L, que tendrán su punto de intersección en el punto N, formando así un triángulo equilátero. Trazamos la mediatriz de lado AB. Con centro en N y radio NA=NB, trazamos un arco que halla en su punto de intersección con la mediatriz de AB el centro O de la circunferencia que circunscribe el dodecágono.

Con centro O y radio OA=OB podemos trazar esta circunferencia y llevar sobre ella la longitud L de lado del eneágono para hallar el resto de sus vértices.

Recuerda

Un dodecágono regular, tiene 12 lados iguales y 12 ángulos iguales, y medirán 150º cada uno.

–Método universal

Como hemos visto en este apartado, existen numerosos polígonos, y cada uno tiene sus características, a partir de la cuales existe un método de construcción.

Entendiendo que un polígono es la división de una circunferencia en n partes iguales, existen tantos polígonos como divisiones de un círculo, es decir, infinitas, con lo que saber un método distinto para cada uno de los polígono se antoja muy complicado.

Pues bien, para la construcción de cualquier polígono regular existe un método universal, un método con el que construiremos igual un eneágono o dodecágono o cualquier polígono regular de n lados.

∙Método universal para trazar polígonos regulares conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

Trazamos la circunferencia de radio r conocido que circunscribirá el polígono de n lados.

Trazamos el diámetro vertical AB.

Con centro en A y radio AB trazamos un arco

Con centro en B y radio BA trazamos un arco que se cortará con el anterior en el punto P

Dividimos el diámetro AB en un número de partes iguales al número de lados del polígono que buscamos, por ejemplo, queremos un polígono de 14 lados, pues dividimos AB en 14 partes iguales. Para ello utilizamos el teorema de Tales, por lo que:

›Por A trazamos una recta cualquiera sobre la que llevamos 14 medidas iguales de una longitud cualquiera.

›Unimos el final de esas 14 distancias con el punto B. recta s

›Paralelamente a esa recta s, trazamos una por cada una de las 14 distancias, de manera que obtendremos 14 puntos sobre el diámetro AB, teniendo así dividido este diámetro en 14 partes iguales.

Numerando cada una de las divisiones, siempre desde el vértice A, unimos el punto P con la división número 2.

Obtenemos así una intersección con la circunferencia de radio r que será el vértice del polígono, de manera que uniéndolo con el punto A nos dará la longitud L del mismo, con lo que llevándolo por el resto de la circunferencia podremos obtener el resto de vértices.

∙Método universal para trazar polígonos regulares conociendo su lado L:

Dibujamos el segmento AB=L

Con centro en A trazamos un arco de radio L

Con centro en B trazamos un arco de radio L, de manera que ambos arcos se cortan en el punto N.

Con centro en el punto N y radio NA=NB trazamos un arco de circunferencia que una los punto A y B.

Trazamos la mediatriz que se cortará con el arco anterior en el punto I.

Dividimos en 6 partes iguales el segmento NI.

Numeramos las divisiones desde abajo, desde el punto I, que será el cero.

A partir de aquí, tenemos que sumar, a partir del punto N tantas partes sean necesarias para llegar al número de lados que buscamos, es decir, si estamos buscando el polígono de 14 lados, deberemos añadir 8 partes más a partir de N.

Una vez llevamos esas 8 partes más, la intersección que esto genera será el punto O, centro de la circunferencia que circunscribirá en polígono que buscamos.

Con centro en O y radio OA=OB trazamos la circunferencia.

A partir del punto A y el punto B, llevamos la longitud L sobre la circunferencia, hallando así los sucesivos vértices del polígono que buscamos, con lo que podremos trazarlo finalmente.

Importante

El método universal nos permite, mediante un mismo procedimiento trazar cualquier polígono regular, independientemente del número de lados que este tenga.

Polígonos regulares estrellados

Los polígonos estrellados, aun siendo regulares, y a diferencia de los polígonos regulares convexos son fácilmente identificables, ya que si bien en los ejemplos anteriores todos los polígonos compartían que sus ángulos eran salientes, en el caso de los polígonos estrellados esto no es así.

Se sigue manteniendo la idea de que el polígono es la manera de dividir una circunferencia en n partes iguales, correspondiente por tanto con un polígono de n lados.

Con esta definición, vemos que en el apartado anterior, una vez obtenidos los vértices de cada uno de los polígonos, estos se unen de manera consecutiva.

En diferenciación de ese procedimiento, en los polígono estrellados, una vez obtenidos los correspondientes vértices, estos no se unen de manera consecutiva sino que se unen cada p vértices, de manera que si unimos los vértices alternativamente uno si y uno no, es decir, unir el vértice A con el C con el D etc. Tendremos que P=2.

Con este procedimiento, podemos volver al punto inicial después de varias vueltas a la circunferencia, para unir todos los vértices.

La construcción para la obtención de los vértices de los polígonos es la misma que en el apartado anterior, pero a la hora de trazar los lados del polígono existen varias posibilidades y por tanto polígonos diferentes.

Así vamos a ver los tipos de polígonos estrellados.

–Pentágono:

Habíamos visto que el pentágono es un polígono regular de 5 lados, que tiene sus 5 ángulos iguales. Sin embargo, tratándose en este caso de un polígono estrellado, ni tiene 5 lados ni 5 ángulos iguales, sino que pasará a tener 10 vértices y 10 ángulos. Si bien la longitud de sus lados sigue siendo igual, los ángulos no lo son, al menos del todo, ya que se presentan dos tipos de ángulos, de manera que hay 5 ángulos iguales y otros 5 de otra magnitud, pero también iguales entre sí.

∙Trazar un pentágono estrellado, conociendo el radio de la circunferencia que lo circunscribe:

Trazamos la circunferencia de radio r, en la que se circunscribe el pentágono buscado.

Trazamos una diagonal vertical AB, y otra diagonal CD perpendicular a AB.

Sobre el segmento OC, que es uno de los radios de la circunferencia, hallamos la mediatriz, marcando el punto medio de OC como M.

Con centro en el punto M, y radio MA, trazamos un arco que corte al diámetro CD en el punto E.

La longitud de la recta AE es la longitud que divide la circunferencia de radio r conocida en 5 partes iguales.

Una vez conocido este dato, solo debemos llevar desde el vértice A, y con radio AE=L, arcos consecutivos sobre la circunferencia inicial, hallando así el resto de vértices.

Con los vértices trazados vamos a proceder a unir los mismos, pero en lugar de hacerlo de manera consecutiva, lo unimos alternándolos, es decir, unimos el vértice 1º con el 3º, después en el 5º, y tras él lo unimos con el 2º y con el 4º, para finalmente volver al 1º.

–Hexágono:

Como sabemos, en el hexágono si trazamos todos los radios del polígono, veremos que esos radios tienen la misma longitud que el lado que forma el propio hexágono.

Por lo que entonces el radio de la circunferencia que circunscribe el hexágono es de la misma longitud que el lado de dicho hexágono.

Por ello, la construcción del hexágono es bastante sencilla. Veamos:

Trazamos una circunferencia de radio L conocido, ya que como hemos dicho, en la estructura del hexágono L=r, siendo r el radio de la circunferencia que circunscribirá el polígono.

Una vez trazada la circunferencia marcamos aleatoriamente un punto A, que será el vértice del hexágono.

A partir del punto A, trazamos arcos sucesivos de radio L alrededor de la circunferencia, de manera que obtendremos el resto de vértices que forman el hexágono.

En este punto, vamos a unir los vértices como hemos hecho en el pentágono estrellado, es decir alternándolos. A diferencia del pentágono, en el hexágono no existe una sucesión que una todos los vértices en una sola línea, sino que uniremos los vértices A, C y E por un lado y por otro los vértices B, D y F.

–Heptágono:

Trazar un heptágono conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

Trazamos una circunferencia de radio r que contendrá el polígono que buscamos.

Trazamos un diámetro AB.

Unimos C y D.

El punto de intersección entre el segmento CD y el diámetro AB trazado en un principio, nos dará el punto medio M del segmento CD.

La longitud del segmento MD = MC es la longitud del lado del heptágono que buscamos.

El heptágono, en este punto nos da varias posibilidades a la hora de unir los vértices, de manera que van a existir dos tipos de heptágonos estrellados.

El de tipo a, en el que uniremos los vértices como en los apartados anteriores con P=2, es decir, uno sí uno no. De manera que uniremos los vértices en la sucesión A, G, I, K, F, H, J y A.

El segundo tipo de heptágono estrellado es aquel en el que P=3, es decir en el que los vértices se unen cada 3. Es decir, con la sucesión A, H, K, G, J, F, I y A, de manera que daremos 3 vueltas a la circunferencia para volver al punto inicial A.

–Octógono:

Trazar un octógono conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

Es el método más sencillo como hemos visto en el apartado anterior.

Trazamos la circunferencia de radio r conocido que sabemos que circunscribirá al octógono.

Trazamos un diámetro AB.

Trazamos un diámetro CD que se perpendicular a AB.

Vemos que hasta aquí, tenemos el proceso de construcción de un cuadrado, o lo que es lo mismo, dividir la circunferencia en 4 partes iguales.

Por lo que para dividirla en 8 partes, solo tenemos que trazar las bisectrices de los ángulos internos que forman estas dos diagonales entre sí, de manera que tendremos 4 diagonales, y por tanto 8 puntos de corte entre estas y la circunferencia inicial, lo que nos permitirá trazar el octógono.

Al igual que en el heptágono, el octógono estrellado, en este punto, tiene dos maneras de unir sus vértices. El primer es el método en el que P=2, lo que nos llevará a seguir la sucesión A, C, B, D y A por un lado y H, G, F, E y de nuevo H por el otro.

El segundo método es aquel en el que P=3, de manera que seguiremos la sucesión A, G, D, H, B, D, C, F y vuelta a A.

–Eneágono:

Trazar un eneágono conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

Trazamos la circunferencia de radio r conocido que circunscribirá el eneágono. Trazamos el diámetro AB de la circunferencia

Trazamos el diámetro CD, perpendicular a AB.

Con centro en el punto B, y radio BO=r, trazamos un arco que cortará a la circunferencia inicial en el punto P.

Con centro en el punto A, y radio AP, trazamos un arco que cortará a la prolongación del diámetro CD en el punto Q.

Con centro en el punto Q, y radio QA, trazamos un arco que corta al diámetro CD en el punto U.

El segmento CU es el lado del eneágono, con lo que, por ejemplo, a partir del mismo punto C llevamos esta longitud por la circunferencia, hallando así todos los vértices del eneágono.

El eneágono estrellado, tiene, como en los casos anteriores dos versiones en función de P.

Si P=2, seguiremos la sucesión E, C, J, H, F, D, K, I, G y vuelta a E.

Si P=4, seguiremos la sucesión E, J, F, K, G, C, H, D, I y vuelta a E.

–Decágono

Trazar un decágono conociendo el radio r de la circunferencia que lo circunscribe:

Este método es casi idéntico al método por el que construimos el pentágono regular conociendo el radio de la circunferencia que lo circunscribe.

Trazamos la circunferencia de radio r, en la que se circunscribe el decágono buscado.

Trazamos una diagonal vertical PQ, y otra diagonal RS perpendicular a PQ.

Sobre el segmento OR, que es uno de los radios de la circunferencia, hallamos la mediatriz, marcando el punto medio de OR como M.

Con centro en el punto M, y radio MP, trazamos un arco que corte al diámetro RS en el punto E.

La longitud de la recta OE es la longitud del lado del decágono circunscrito en la circunferencia de radio conocido r.

Con esto, y llevando la longitud OE=L sobre la circunferencia, obtendremos los vértices del polígono que buscamos.

Una vez obtenidos los 10 vértices, los unimos alternativamente, es decir con P=3, siguiendo la sucesión A, H, E, B, I, F, C, J, G, D y de vuelta a A.

–Endecágono

El endecágono es un polígono de 11 vértices, que en este caso tendrá el doble de lados y de ángulos.

Aunque anteriormente no hemos visto cómo se construye este polígono, vamos a poner en práctica el método universal de resolución de polígonos.

Trazamos la circunferencia de radio r conocido que circunscribirá el polígono.

Trazamos el diámetro vertical AB.

Con centro en A y radio AB trazamos un arco

Con centro en B y radio BA trazamos un arco que se cortará con el anterior en el punto P.

Dividimos el diámetro AB en 11 partes iguales. Para ello utilizamos el teorema de Tales, por lo que:

›Por A trazamos una recta cualquiera sobre la que llevamos 11 medidas iguales de una longitud cualquiera.

›Unimos el final de esas 11 distancias con el punto B. recta s

›Paralelamente a esa recta s, trazamos una por cada una de las 11 distancias, de manera que obtendremos 11 puntos sobre el diámetro AB, teniendo así dividido este diámetro en 11 partes iguales.

Numerando cada una de las divisiones, siempre desde el vértice A, unimos el punto P con la división número 2.

Obteniendo así una intersección con la circunferencia de radio r que será el vértice del polígono que uniéndolo con el punto A nos dará la longitud L del mismo, con lo que llevándolo por el resto de la circunferencia podremos obtener el resto de vértices.

En este punto veamos que existen 4 variantes del endecágono estrellado en función de la manera que la que unamos sus vértices.

Si P= 2, seguimos la sucesión A, D, F, H, J, L, C, E, G, I, K, y vuelta a A.

Si P=3, seguimos la sucesión A, E, H, K, C, F, I, L, D, G, J y vuelta a A.

Si P=4, seguiremos la sucesión A, F, J, C, G, K, D, H, L, E, I y vuelta a A.

Si P=5, seguiremos la sucesión A, G, L, F, K, E, J, D, I, C, H y vuelta a A.

Al igual que en los polígonos regulares convexos, con los polígonos estrellados, existe una gran variedad.

Además de las posibilidades que existen en función del número de vértices, en los polígonos estrellados se suma que en cada polígono pueden existir, como hemos visto, diferentes maneras de resolverlo en función del cómo unamos los vértices, lo cual hace que las soluciones se multipliquen.

Con esto, vemos que podemos seguir haciendo polígonos y estrellándolos, pero los ejemplos que se han visto, aparte de ser los más utilizados, son suficientes para comprender este tipo de figuras geométricas.

Recuerda

Los polígonos estrellados, tienen, para la obtención de los vértices, el mismo proceso de construcción que los polígonos regulares convexos, lo único que cambia, es la manera de unir estos vértices, y es que en lugar de unirlos consecutivamente, se hace de manera alternativa, en función de un patrón p.

1.6.Circunferencias y tangentes a las mismas

Definición

La circunferencia se trata de una curva situada en un solo plano y cerrada sobre sí misma, de manera que todos los puntos de la misma equidistan de su centro O.

La circunferencia puede entenderse con un polígono de infinitos lados, de manera que dichos lados serían puntos, y su sucesión tendría como resultado la circunferencia.

De este modo, lo cierto, es que la circunferencia no tiene lados, ni por tanto ángulos entre ellos, y siendo esto así no se establecen las relaciones entre lados y ángulos que nos han ayudado a trazar los distintos polígonos en el apartado anterior. El origen de la circunferencia, aparece como el resultado de una sección perpendicular al eje de una superficie cónica.

Elementos y nomenclatura de la circunferencia

Para entender lo que es una circunferencia y sus aplicaciones, comencemos pues a abordar los elementos que componen esta figura geométrica:

–Centro: se representa normalmente con la letra mayúscula O, y se corresponde en el dibujo con el punto que equidista de todos los puntos de la circunferencia.

–Radio: se representa con la letra minúscula r, y se corresponde con el segmento que une el centro O de la circunferencia con un punto cualquiera de la misma. El radio, es la mitad de la longitud del diámetro de la circunferencia, y matemáticamente, el radio es igual a la longitud de la circunferencia dividida entre 2π, es decir:

–Diámetro: se representa con la letra d, y corresponde con el segmento que une dos puntos de una circunferencia y que además pasa por el centro O de la circunferencia. De esta manera, y basándonos en la ecuación anterior, la resolución matemática del diámetro es:

–Cuerda: la cuerda es el segmento que une dos puntos cualesquiera de la circunferencia, sin necesidad de que esta pase por el centro. Con esta definición se puede estimar que el diámetro es la recta secante de máxima longitud.

–Recta secante: se trata de una recta cualquiera que corta a la circunferencia en dos puntos. A diferencia de una cuerda, la secante se trata de una recta que se prolonga más allá de los puntos de corte con la circunferencia, y no de un segmento que va de un punto a otro de la circunferencia.

–Recta tangente: es una recta que a diferencia de la secante, esta solamente corta a la circunferencia en un punto, no en dos.

–Punto de tangencia: se llama punto de tangencia al punto en el que una recta tangente corta a la circunferencia.

–Arco: se denomina arco a cada una de las partes en que una cuerda divide a una circunferencia, y esta debe representarse mediante el uso de letras mayúsculas en cada uno de los extremos del arco.

–Semicircunferencia: se llama semicircunferencia a cada una de las partes en las que el diámetro de una circunferencia divide a la misma.

A diferencia del arco, el segmento que divide la circunferencia es el diámetro, y no una cuerda.

Importante

Una circunferencia es un polígono regular de lados infinitos, de manera que los lados son tan pequeños que se convierten en puntos.

Trazados de la circunferencia

Al igual que con los polígonos, los vistos en los puntos anteriores, de n vértices, vamos a plantear una serie de situaciones y ejercicios en las que deberemos trazar u operar con la circunferencia, y explicando cómo se llega a la solución requerida.

Como hemos podido ver en el apartado anterior, la circunferencia está presente en muchos sitios y es importante saber manejarla.

De esta manera, vamos a plantear y resolver los siguientes ejercicios:

–Trazar una circunferencia conociendo 3 puntos A, B y C:

Este ejercicio, aunque no directamente, le hemos resuelto anteriormente en varios ejercicios en los que hemos hallado determinados polígonos, sin embargo veamos paso a paso cómo resolver esta circunferencia.

Unimos los puntos entre sí, de manera que pasaremos de tener 3 puntos A, B y C a tener dos segmentos AB y BC.

Trazamos la mediatriz M1 del segmento AB

Trazamos la mediatriz M2 del segmento BC.

El punto de intersección entre M1 y M2 es el punto O, centro de la circunferencia que buscamos.-

Esta circunferencia de centro O y radio OA=OB=OC pasa por los tres puntos dados inicialmente.

–Trazar una circunferencia conocidos los extremos A y B y el punto medio V de un arco AB:

Este ejercicio, se podría resolver como en el caso anterior, suponiendo AV y VB dos cuerdas de la circunferencia, sin embargo en este caso, los puntos A, B y V no son puntos cualesquiera, sino que tienen otras propiedades, a saber, A y B lo extremos de un arco, y V el punto medio de ese arco.

Unimos los puntos A y B, y trazamos la mediatriz de este segmento.

Esta mediatriz pasará por V (el punto medio del arco) y por M, el punto medio del segmento AB.

Trazamos una recta s, paralela al segmento AB pasando por el punto V.

Unimos V con B, y trazamos una perpendicular a este segmento VB, pasando por B. Este segmento perpendicular a VB cortará a la recta s en el punto D.

Dividimos en partes iguales los segmentos VD y MB, por ejemplo en 3 partes iguales, hallando los puntos 1 y 2 en el segmento VD y 1’ y 2’ en el segmento MB.

Unimos 1 y 1’, y 2 y 2’ y lo prolongamos hasta que se crucen. Este punto de cruce será el mismo en el que se cruzará la prolongación de DB y la prolongación VM. Llamaremos a este punto de cruce el punto V’.

Trazamos la recta VV’, y trazamos su mediatriz.

El punto medio del segmento VV’ será el punto O, centro de la circunferencia que buscamos trazar.

Con centro en O y radio OA=OV=OB trazamos la circunferencia que pasará por los tres puntos dados.

Importante

La circunferencia y el círculo son cosas diferentes. La circunferencia es la línea que encierra el área, es decir un perímetro. El círculo es el conjunto de la circunferencia y el área que encierra.

–División de un arco en 2 partes iguales:

Este ejercicio ya lo hemos resuelto anteriormente, aunque no directamente.

Si tenemos un arco dado sus extremos AB, unimos dichos puntos obteniendo el segmento AB.

Trazamos la mediatriz de dicho segmento AB, de manera que el punto de corte entre esta mediatriz y el arco dado, será el punto M, punto medio de dicho arco.

Dicho en otras palabras, la mediatriz de una cuerda, dividirá también en dos partes iguales el arco que forma dicha cuerda.

–División de un arco en n partes iguales:

Hemos visto en el apartado anterior como trazar un polígono por el método universal, es decir, un método en el que podemos dividir una circunferencia en n partes iguales.

Sin embargo ahora nos encontramos con un arco, en el que a priori no conocemos su centro, por lo que vamos a ver cómo, aprovechando las características de las circunferencias, podemos realizar una división de un arco en n partes iguales.

Vamos a poner, por ejemplo, que queremos dividir el arco en 7 partes iguales.

A partir del extremo A del arco, llevamos 7 cuerdas de igual longitud. Esta longitud, aunque aleatoria, debe ser apropiada, dada la longitud del arco. De esta manera, tendremos las cuerdas AC, CD, DE, EF, FG, GH y HI.

Si el punto I está más allá del punto B, extremos del arco dado, repetimos la misma operación pero con una cuerda de menor tamaño, de manera, que igualmente desde el punto A, comenzamos a trazar otras 7 cuerdas iguales entre sí, teniendo entonces, AJ, JK, KL, LM, MN, NP, y PQ.

Una vez comprobado que el punto Q no llega al extremo B del arco dado, dibujamos aparte las dos cuerdas que hemos llevado. Esto es, trazamos una recta s cualquiera, y situamos un punto A’ aleatoriamente, con centro en este punto llevamos sobre esa recta la cuerda AC, obteniendo el segmento A’C’, y la cuerda AJ, obteniendo el segmento A’J’, es decir los dos tipos de cuerdas que hemos llevado sobre el arco.

Sobre el punto C’ de esta recta trazamos una perpendicular a s de longitud BC, la distancia que el punto C sobrepasaba del punto B en el arco. Será el segmento C’I’ Sobre el punto J’, e inversamente a la anterior trazamos una perpendicular de longitud JB, que es la distancia entre el punto J y el extremo B de arco dado. Será el segmento J’Q’

Unimos los punto I’ y Q’, de manera que se corte con la recta s en el punto U’. La distancia A’U’, será la longitud de la cuerda que dividirá el arco AB dado en 7 partes iguales.

–División de un arco en dos cuerdas proporcionales a dos segmentos dados:

Tenemos un arco de extremos A y B, y las longitudes de dos segmentos m y n. Trazamos un punto C, aleatorio, perteneciente al arco.

Trazamos la mediatriz del segmento AC, y la mediatriz del segmento CB, obteniendo el punto de intersección O, centro de la circunferencia que comprende el arco AB. Unimos los extremos del arco, obteniendo del segmento AB.

Trazamos la mediatriz del segmento AB, obteniendo el punto D en la intersección de esta con el resto de la circunferencia.

Desde el punto A, trazamos una recta r cualquiera, y sobre ella llevamos las longitudes de los segmentos m y n.

Desde el final de la recta n, trazamos una recta t que lo una con el punto B, extremo del arco.

Paralela a t, y por el extremo del segmento m, trazamos la recta u, que dividirá al segmento AB en dos partes AE y EB.

Unimos el punto D con el punto E, y prolongando el segmento DE, obtenemos un punto P en la intersección con el arco AB.

Los segmentos AP y PB serán la división del arco AB en segmentos proporcionales a los segmentos m y n dados inicialmente.

–Hallar el centro de una circunferencia dada (método 1):

Se procede como en el ejercicio pasado en el que conocíamos 3 puntos de la circunferencia.

La diferencia es que en este caso, conocemos la circunferencia y no los tres puntos.

En este caso entonces los punto A, B y C se sitúan aleatoriamente dentro de la circunferencia que conocemos, con lo que volveríamos a realizar el mismo proceso de trazar dos cuerdas y sus mediatrices para hallar en su punto de intersección el centro O buscado.

–Hallar el centro de una circunferencia dada (método 2):

En este problema, vamos a hallar el una circunferencia cuando tenemos un arco y presumiblemente su centro se sitúa fuera del dibujo, con lo que el método anterior no serviría.

Tenemos un arco de la circunferencia dada y su centro se sitúa fuera del dibujo

Marcamos un punto A aleatoriamente, y con centro en A y un radio cualquiera trazamos dos arcos que corten al arco inicial en los puntos B y C de manera que AB=AC.

Trazamos una paralela a la cuerda AB que pase por C

Trazamos una paralela a la cuerda AC que pase por B

El punto de intersección de las dos paralelas a las cuerdas lo llamaremos D.

Trazamos la mediatriz del diámetro DB

Trazamos la mediatriz del diámetro DC

El punto de intersección de esas dos mediatrices será el punto E.

El punto E será el centro de la circunferencia que pasará por B, C y D y que será simétrico al centro de la circunferencia que pase por A, B y C, por lo que el segmento ED será el radio de la circunferencia que buscamos.

–Hallar el centro de una circunferencia dada (método 3):

Este método es igualmente sencillo para poder hallar el centro de una circunferencia, pero solamente es útil cuando lo que conocemos es la circunferencia entera y no simplemente un arco.

Trazamos una cuerda AB cualquiera que una dos puntos de la circunferencia.

Trazamos una recta r perpendicular a la cuerda AB que pase por el punto B, que cortará a la circunferencia en el punto C.

Trazamos una recta s perpendicular a la cuerda AB que pase en este caso por el punto A, de manera que cortará a la circunferencia en el punto D.

Unimos el punto D con el B.

Unimos igualmente el punto C con el A.

Es punto de intersección de los segmentos DB y CA será el centro de la circunferencia que buscamos.

–Trazar el arco capaz de un ángulo α, con respecto a un segmento AB

Hemos utilizado este método para realizar en el apartado anterior el trazado de un polígono regular convexo. El arco capaz es un método para trazar un arco en el que todos los puntos del mismo tienen el mismo ángulo de visión sobre un segmento determinado.

Por ejemplo, dado un segmento AB y un ángulo α, el arco capaz de este segmento será aquel en el que la unión de cualquier punto P del arco con los punto A y B del segmento que el ángulo que forman los segmentos PA y PB es siempre α, esté donde esté situado el punto P dentro del arco.

Tenemos por tanto un segmento AB y un ángulo α, y hay que trazar el arco capaz de ese ángulo con respecto a ese segmento. Trazamos una recta r aleatoriamente sobre la que situaremos un punto A cualquiera.Desde ese punto llevamos la distancia AB, para obtener el punto B sobre la recta r.

Trazamos una recta s por el punto A que forme un ángulo α con respecto a la recta r.

Dibujamos la mediatriz del segmento AB que llamaremos M

Trazamos una perpendicular a la recta s que pase por el punto A, de manera que cortará a la mediatriz M en el punto O, centro del arco de radio OA=OB que será el arco capaz que buscamos.

Si trazamos el punto simétrico del punto O con respecto a la recta r, obtendremos el punto O’, que será también centro de otro arco capaz del ángulo α con respecto al segmento AB

Todos los puntos de esos dos arcos desde los que tracemos segmentos con los puntos A y B, formando PA y PB, formarán entre ellos el ángulo α.

Recuerda

El trazado de un arco capaz es una herramienta muy útil para resolver problemas de ángulos y triángulos.

A continuación veremos una serie de operaciones para realizar divisiones en una circunferencia. Antes hemos abarcado las construcciones de los principales polígonos regulares, y hemos visto ya algún método en el que para llegar a tal fin era necesaria la división de la circunferencia.

Sin embargo en estos sucesivos puntos, veremos método para dividir circunferencias en partes iguales pero que no están tan destinadas a la realización de polígonos regulares, aunque claro está, pueden servir para tales fines.

–Dividir una circunferencia en 3, 6, 12 partes iguales:

Con la circunferencia dada, trazamos el diámetro AB.

Con centro en A y radio AO, trazamos un arco que corte la circunferencia dada en el punto C.

Con centro en el punto B y radio BO hacemos un arco que corte a la circunferencia dada en el punto D.

La cuerda AC=L6 será la longitud que dividirá la circunferencia en 6 partes iguales.

La cuerda AD=L3 será la longitud que dividirá la circunferencia en 3 partes iguales.

Si trazamos la mediatriz de la cuerda AC, el punto de intersección entre esta mediatriz y la circunferencia dada situará el punto E.

La cuerda AE=L12, que dividirá a la circunferencia dada en 12 partes iguales.

–Dividir una circunferencia en 4, 8, 16 partes iguales:

Para dividir una circunferencia en múltiplos de 4, lo más fácil y más rápido es utilizar el método de los radios.

Tenemos una circunferencia dada, por la que comenzamos trazando el diámetro AB cualquiera.

En segundo lugar trazamos el diámetro CD, perpendicular al diámetro AB anteriormente trazado.

La cuerda AC será la longitud que dividirá la circunferencia en 4 partes iguales.

Trazamos la bisectriz del ángulo interno formado por los segmentos AO y OD, obteniendo un punto de corte con la circunferencia dada en el punto E.

La cuerda AE será la longitud que divide la circunferencia dada en 8 partes iguales.

Si volvemos a trazar otra bisectriz sobre el ángulo formado entre el segmento AO y el segmento OE, obtendremos un punto de corte con la circunferencia dada en el punto F.

La cuerda AF será la longitud que dividirá la circunferencia dada en origen en 16 partes iguales.

Este método permite que si seguimos trazando bisectrices, seguiremos reduciendo la distancia de la cuerda que dividirá la circunferencia en 32, 64… partes iguales.

–Dividir una circunferencia en 5, 10, 20 partes iguales:

Dada una circunferencia cualquiera, trazamos el diámetro AB.

Trazamos el diámetro CD perpendicular a AB.

Hallamos la mediatriz del segmento OC, que corta a este radio en el punto M.

Con centro en el punto M y radio MA, trazamos un arco que corte el radio OD en el punto E.

El segmento AE, es la longitud que dividirá la circunferencia dada en 5 partes iguales.

El segmento OE será la longitud que divida a la circunferencia dada en 10 partes iguales.

Si trazamos la mediatriz del segmento OE, obtendremos el segmento OF, que dividiría a la circunferencia en 20 partes iguales.

Siguiendo este proceso, podemos ir realizando mediatrices de los segmentos obtenidos, e ir obteniendo las sucesivas dimensiones L40, L80 etc.

–Dividir una circunferencia en 7 partes iguales:

Dada una circunferencia cualquiera, trazamos un diámetro uniendo los puntos A y B, los extremos del mismo.

Trazamos un diámetro CD perpendicular a AB.

Con centro en el punto D y radio D=O trazamos un arco con cortará a la circunferencia en dos puntos E y F, los cuales uniremos. Hemos hallado el punto medio M del segmento OD.

El segmento EM será la longitud que dividirá a la circunferencia dada inicialmente en 7 partes iguales.

–Dividir una circunferencia en 9 partes iguales:

Para hallar solución a este problema existen tres métodos posibles con los que conseguiríamos obtener un segmento que divida la circunferencia dada en 9 partes iguales.

∙Método 1:

Trazamos un radio OA cualquiera de la circunferencia.

Con centro en A, trazamos un arco de radio AO que corte a la circunferencia dada en los puntos B y C.

Unimos estos dos puntos de manera que el segmento BC corte al radio OA en el punto medio M.

Con centro en el punto M y radio r cualquiera, trazamos un arco ω que corte a la prolongación del segmento BC en el punto D.

Con centro en el punto D y radio r=DM trazamos un arco que se corte con el arco ω en el punto E.

Unimos el punto E con el centro O, de manera que este segmento EO corte a la circunferencia dada en el punto F.

La cuerda BF es la longitud que dividirá la circunferencia en 9 partes iguales.

∙Método 2:

Trazamos un diámetro AB de la circunferencia dada.

Trazamos el diámetro CD perpendicular al diámetro AB anteriormente trazado.

Con centro en C trazamos un arco CO que corte a la circunferencia dada en el punto E.

Con centro en D trazamos un arco DO que corte a la circunferencia dada en el punto F.

Con centro en C, trazamos un arco CF.

Con centro en D, trazamos una arco DE

El punto de corte de estos dos arcos trazados será el punto G.

Con centro en el punto G y radio GC=GD, trazamos un arco que cortará al diámetro AB en el punto H.

El segmento BH, será la longitud que divida a la circunferencia dada en 9 partes iguales.

∙Método 3:

Trazamos el diámetro AB de la circunferencia dada.

Dividimos el radio AO en 4 partes iguales.

Prolongamos el radio OA, y llevamos sobre esa prolongación 3AO/4, obteniendo el punto C.

Por el punto central O, trazamos una recta r que forme un ángulo α = 60º.

La recta r se cortará con la circunferencia dada en el punto D.

Trazamos una recta s perpendicular al radio AB que pase por B.

Unimos el punto A con el punto D, cuya prolongación corta a la recta s perpendicular al diámetro AB, en el punto E.

Dividimos el segmento BE en 3 partes iguales, obteniendo los puntos F y G pertenecientes a dicho segmento.

Unimos el punto C con el punto F, de manera que corte a la circunferencia dada en el punto H.

La cuerda BH es la longitud buscada que divide la circunferencia dada en 9 partes iguales.

–Dividir una circunferencia en 11 partes iguales:

Trazamos el diámetro AB de la circunferencia dada.

Perpendicularmente al diámetro AB, trazamos el diámetro CD.

Con centro en D y radio DO se traza un arco que corte a la circunferencia dada en el punto E.

Unimos el punto C con el punto E hallado, de manera que este segmento CE corta al diámetro AB en el punto F.

El segmento EF es el de la longitud que dividirá a la circunferencia dada en 11 partes iguales.

–Dividir una circunferencia en 12 partes iguales:

Primeramente trazamos el diámetro AB de la circunferencia dada.

Posteriormente trazamos el diámetro CD, perpendicular a AB.

Con centro en el punto A, y radio AO trazamos un arco que corte a la circunferencia dada en el punto E.

Sabiendo que la cuerda AE es el lado que divide a la circunferencia dada en 6 partes iguales, lo único que debemos hacer es trazar la mediatriz de la cuerda AE, hallando un punto de corte entre esta mediatriz y la circunferencia dada, el punto F.

La cuerda AF será por tanto la cuerda que divida a la circunferencia dada en 12 partes iguales.

–Dividir una circunferencia en 15 partes iguales:

Para entender el proceso para conseguir hallar la longitud que divida a la circunferencia en 15 partes iguales, hay que partir de lo siguiente:

∙Los ángulos interiores de pentadecágono son 360º/15, es decir 24º.

∙Los ángulos interiores del decágono son 360/10, es decir 36º.

∙Los ángulos interiores del hexágono son 360/6, es decir, 60º.

De estas evidencias, se deduce que el pentadecágono se obtiene de la diferencia entre el hexágono y el decágono.

Una vez entendido esto, veamos cómo resolverlo gráficamente.

A partir de la circunferencia dada, trazamos los diámetros AB y CD, perpendiculares entre sí.

Con centro en A y radio AO, trazamos un arco que corte a la circunferencia en el punto E. En este punto sabemos que la cuerda AE es la que dividirá la circunferencia en 6 partes iguales.

Trazamos la mediatriz del radio CO, obteniendo M, su punto medio.

Con centro en M y radio MO tazamos una circunferencia.

Unimos el punto A con el punto M, cortando a la circunferencia anteriormente trazada en el punto F.

La longitud del segmento AF será la que divida a la circunferencia dada en 10 partes iguales.

Con centro en el punto E, y radio AF, llevamos un arco que cortará a la circunferencia dada en el punto G.

La cuerda AG será por tanto la longitud que dividirá a la circunferencia dada en 15 partes iguales.

–Llevar una longitud dada sobre una circunferencia:

Dada una circunferencia y un segmento AB, debemos llevar la longitud de dicho segmento sobre la circunferencia.

Trazamos un radio cualquiera de la circunferencia, obteniendo el radio OA.

Trazamos una recta r perpendicular al radio OA, y que pase por el punto A, convirtiéndose esta recta r en tangente a la circunferencia.

Con centro en A, llevamos la distancia AB sobre la recta r.

Dividimos el segmento AB en 4 partes iguales por el teorema de tales, obteniendo las subdivisiones 1, 2 y 3.

Con centro en la subdivisión 12 y con una longitud desde dicho punto hasta el punto B, trazamos un arco que corte a la circunferencia dada en el punto C.

El arco AC, será la longitud AB llevada sobre la circunferencia.

Este método es bastante aproximado para arcos menores de 60º.

Recuerda

Los métodos de división de una circunferencia en partes iguales, es un método que también es útil para el trazado de polígonos regulares.

Tangentes

Una vez vistas las circunferencias, sus propiedades y características, vamos a abordar el punto de las tangencias, que es tan importante como las propias circunferencias, ya que se trata de un elemento fundamental para la construcción de formas geométricas más complejas, y para solucionar otros problemas geométricos.

La tangencia a una curva o una circunferencia sucede cuando una recta, una curva u otra circunferencia toca a la circunferencia inicial en un solo punto. Este punto se denominará el punto de tangencia.

Entendiendo que una tangencia a una circunferencia o arco se puede dar por otras circunferencias, o arcos o rectas, deducimos que pueden existir numerosos procesos para trazar las tangencias, en función de cada uno de los elementos que dispongan la tangencia. Pero antes de comenzar con la construcción de las tangencias, veamos las propiedades básicas, que nos ayudarán a comprender este elemento geométrico.

Si dos circunferencias son tangentes entre sí, el punto de circunferencia estará en el segmento OO’, siendo O y O’ los centros de ambas circunferencias.

Si una recta r cualquiera es tangente a una circunferencia por el punto T, el segmento OT es perpendicular a la recta r.

Si una circunferencia es tangente a dos rectas r y s, el centro de esta circunferencia estará situado en la bisectriz del ángulo que forman las mencionadas rectas r y s.

Una vez entendidas estas propiedades, pasemos a resolver las tangencias propiamente dichas.

–Recta tangente a una circunferencia por un punto A de ella:

∙Método 1: Dada una circunferencia de centro O y un punto A perteneciente a ella.

Unimos los puntos O, centro de la circunferencia y el punto A perteneciente a ella, dibujando así el radio OA de dicha circunferencia.

Trazamos una recta t perpendicular al radio dibujado y que pase por el punto A dado.

La recta r es tangente a la circunferencia dada por el punto tangente A.

–Recta tangente a una circunferencia dada desde un punto P exterior:

∙Método 1:

Unimos el punto O, centro de la circunferencia dada con el punto P exterior a ella.

Trazamos la mediatriz del segmento OP, obteniendo el punto medio M de este segmento.

Con centro el M y radio MO, trazamos un arco que corta a la circunferencia dada en los puntos B y C.

Los puntos obtenidos B y C, son los puntos tangentes de la circunferencia.

Trazamos la recta m, uniendo el punto P y el punto B, obteniendo la primera tangente a la circunferencia dada.

Trazamos la recta n, uniendo el punto P con el punto C, obteniendo la segunda recta tangente a la circunferencia.

∙Método 2:

Con centro en P y radio PO, trazamos una circunferencia ω.

Con centro en O y radio 2r, siendo r el radio de la circunferencia dada, trazamos un arco que corta a la circunferencia ω en los puntos A y B.

Unimos el centro O de la circunferencia dada con los puntos A y B, obteniendo dos puntos en dicha circunferencia, el punto M y el punto N, puntos tangentes que buscamos.

Trazamos la recta m, uniendo el punto P y el punto M, obteniendo la primera tangente a la circunferencia dada.

Trazamos la recta n, uniendo el punto P con el punto N, obteniendo la segunda recta tangente a la circunferencia.

∙Método 3:

Por el punto P trazamos dos rectas r y s aleatorias, que sean secantes con la circunferencia dada, obteniendo los puntos A, B, C y D.

Trazamos el segmento AD y el segmento BC, obteniendo el punto de intersección E.

Unimos los puntos A y C, y los puntos B y D, cuyas prolongaciones se cortan en el punto F.

Unimos los punto E y F en una recta que cortará a la circunferencia dada en los puntos M y N, que serán los puntos de tangencia de la circunferencia dada.

Trazamos la recta m, uniendo el punto P y el punto M, obteniendo la primera tangente a la circunferencia dada.

Trazamos la recta n, uniendo el punto P con el punto N, obteniendo la segunda recta tangente a la circunferencia.

∙Método 4:

Se trata de un caso especial, en el que en lugar de darnos la situación del punto P, lo que tenemos es una recta r, exterior a la circunferencia que marca la dirección que tendrán las rectas tangentes a la circunferencia.

Trazamos una recta s que pase por O y se cruce perpendicularmente a la recta r dada.

Los puntos en los que la recta s se cruza con la circunferencia dada serán los puntos tangentes N y M.

Trazando dos paralelas a r que pasen por los puntos M y N respectivamente, obtendremos las rectas m y n, tangentes a la circunferencia dada.

–Recta tangente a un arco de centro inaccesible:

∙Método 1: trazar la recta tangente por un punto P conocido, perteneciente al arco.

Con centro en el punto P, trazamos un arco aleatorio que corte al arco inicial en los puntos A y B.

Trazamos el segmento AB.

Trazamos la recta t, paralela al segmento AB, por el punto dado P.

La recta t será la recta tangente al arco dado por su punto P, que será el punto tangente.

∙Método 2: trazar una recta tangente a un arco de centro inaccesible por su extremo A:

Desde el punto extremo A, llevamos dos cuerdas arbitrarias de igual medidas sobre el arco dado. Obteniendo los puntos B y C, de manera que AB=BC.

Con centro en A, y radio AC trazamos un arco.

Con centro en B y radio BC, trazamos otro arco.

El punto de intersección de ambos arcos será el punto D.

Uniendo A con D obtendremos la recta t, tangente al arco dado por su extremo A.

–Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas:

∙Método 1: por una circunferencia auxiliar.

Tenemos dos circunferencias de centros O y Q y radios r1 y r2 respectivamente.

Trazamos por O (el centro de la circunferencia de mayor radio) una circunferencia auxiliar de radio r1-r2.

Unimos O y Q, los dos centros de circunferencia, y hallamos su mediatriz, y punto medio M.

Con centro en M y radio MO, trazamos un arco que corte a la circunferencia de centro O en los puntos M’ y N’.

Uniendo el centro O con los puntos M’ y N’, obtenemos los puntos M y N, en su intersección con la circunferencia dada inicialmente. Estos puntos M y N serán los primeros puntos tangentes de la circunferencia de centro O.

Trazamos sendas paralelas a OM y ON que pasen por el punto Q, centro de la segunda circunferencia, de manera que obtendremos los puntos S y T, puntos tangentes de la segunda circunferencia dada inicialmente.

Uniendo los puntos M y S en la recta t, obtendremos la primera recta tangente a ambas circunferencias.

Uniendo los puntos N y T, en la recta s, obtendremos la segunda recta tangente a ambas circunferencias.

∙Método 2: Por homotecia

Tenemos dos circunferencias de centros en los puntos O y Q y radios r1 y r2 respectivamente.

Trazamos dos radios paralelos aleatorios, OP y QP’.

Unimos en la recta s los dos centros O y Q

Unimos en la recta t los puntos P y P’

El punto de intersección de las rectas s y t lo marcaremos como el punto que llamaremos D.

Con centro en D y radio DQ trazamos un arco que corte a la circunferencia de centro Q, en los puntos M’ y N’.

Con centro en D y radio DO trazamos un arco que corte a la circunferencia de centro O en los puntos M y N.

Uniendo M y M’ y N y N’ obtenemos dos rectas tangentes exteriormente a las dos circunferencias dadas.

–Rectas tangentes interiores a dos circunferencias dadas:

∙Método 1: por circunferencia auxiliar

Tenemos dos circunferencias de centros en los puntos O y Q y radios r1 y r2 respectivamente.

Por el centro en el punto Q, por ejemplo, trazamos una circunferencia de radio igual a la suma de ambos radios, r1 + r2.

Unimos los centros O y Q.

Trazamos la mediatriz del segmento OQ, hallando el punto medio M.

Con centro en M y radio MQ trazamos un arco que corte a la circunferencia auxiliar en los puntos S y T.

Desde el punto central O, trazamos sendas rectas s y t que unan este punto con los puntos S y T recientemente hallados.

Unimos el centro Q con los puntos S y T, obteniendo en la circunferencia original dos puntos de corte, M’ y N’, que serán los dos primeros puntos tangentes a las circunferencias dadas...

Trazamos una paralela a s que pase por el punto M’, teniendo así la recta m, primera recta tangente interior a las dos circunferencias dadas en origen.

Trazamos una paralela a t que pase por el punto N’, teniendo así la recta n, segunda recta tangente interior a las dos circunferencias dadas en origen.

∙Método 2: por homotecia.

Tenemos dos circunferencias de centros O y Q y radios r1 y r2 respectivamente.

Trazamos dos radios paralelos aleatorios, obteniendo los radio OP QP’.

Uniendo P y P’ y los centros O y Q, obtenemos un punto de corte I en la intersección de estos segmentos.

Trazamos la mediatriz del segmento IO, y con centro en ese punto medio U y radio MO=MI, trazamos un arco que corte a la circunferencia de radio O en los puntos M y N, que serán los puntos de tangencia de esta circunferencia.

Uniendo el punto M con el punto I obtendremos la recta m, que será tangente a ambas circunferencias en los puntos M y M’.

Uniendo el punto N con el punto I obtendremos la recta n, que será tangente a ambas circunferencias en los puntos N y N’.

Recuerda

Para que llegue a existir una recta tangente a una circunferencia, obligatoriamente tiene que existir una circunferencia, y una recta que tenga en común con ella un solo punto, el punto de tangencia.

–Circunferencia tangente a una recta r, que pasa por dos puntos A y B:

∙Método 1: Tenemos una recta r, y dos puntos A y B, exteriores a esta.

Trazamos el segmento AB, y su mediatriz correspondiente, sabiendo que en ella se situará el centro de la circunferencia que buscamos.

Situamos aleatoriamente un punto O’ en esa mediatriz, y trazamos una circunferencia con centro en ese punto O’, y radio O’A, de manera que pase por los puntos A y B.

Prolongamos el segmento AB, que se cortará con la recta dada r, en el punto C.

Trazamos una recta tangente a la circunferencia de centro O’ desde el punto C (ver apartado de recta tangente a una circunferencia dada por un punto exterior a ella que llamamos P)

La recta tangente t, tiene su punto tangente con la circunferencia en T.

Con centro en el punto C de r, y radio CT, trazamos un arco que corta a la recta r en los puntos D y E.

Trazando dos perpendiculares a r por los puntos D y E, obtenemos dos puntos de corte con la mediatriz de AB, obteniendo los puntos O y Q, que serán los centros de las dos circunferencias que serán tangentes a la recta r y pasarán por los puntos A y B.

∙Método 2: caso particular en el que A y B son paralelos a r

Tenemos una recta r, y dos puntos A y B, exteriores a esta, de manera que el segmento AB es paralelo a la recta r.

Trazamos la mediatriz del segmento AB, obteniendo un punto de intersección con r en el punto C.

Unimos el punto C con el B, obteniendo el segmento CB.

Trazamos la mediatriz del segmento CB, que se cruzará con la mediatriz del segmento AB en O, centro de la circunferencia que pasará por A y B y será tangente a la recta r en su punto C.

–Circunferencia tangente a otra circunferencia y que pasa por dos puntos A y B:

Tenemos una circunferencia de centro O y dos puntos A y B exteriores a ella.

Trazamos el segmento AB. Trazamos la mediatriz del segmento AB, y al igual que en casos anteriores, situamos un punto aleatorio O’ en esta mediatriz.

Con este centro O’ y radio O’A=O’B trazamos una circunferencia auxiliar que corte a la circunferencia dada en los puntos C y D.

Uniendo y prolongando los puntos CD, obtendremos un punto de corte con la prolongación del segmento AB. El punto de corte se llamará E.

Unimos el punto E con el centro O, y hallamos su punto medio Q.

Con centro en el punto Q y radio QO, trazamos una circunferencia que corte a la circunferencia inicial dada en los puntos T y S, que serán los puntos tangentes que se buscan.

De este modo, trazamos los radios OT y OS, cuyas prolongaciones obtendrán dos puntos de intersección, los puntos F y G, que serán los centros de las dos circunferencias que serán tangentes a la circunferencia inicial dada y pasarán además por lo puntos A y B.

–Circunferencia tangente a una recta r en su punto dado B y que pasa por otro punto dado A:

Tenemos una recta r y un punto tangente B perteneciente a ella, además de un punto A exterior a esta.

Por definición, el radio que une el centro de una circunferencia con el punto tangente de una recta, es siempre perpendicular, por lo que, en este caso, el futuro centro O de la circunferencia que buscamos, estará en la perpendicular a la recta r que pasa por B.

Así mismo, para que la circunferencia pase también por el punto exterior A, el centro debe estar en la mediatriz del segmento AB.

De esta manera, la intersección entre la mediatriz de AB y la perpendicular a r por B, será el punto O, centro de la circunferencia que buscamos, y que será tangente a r por su punto B y pasará también por el punto exterior A.

–Circunferencia tangente a dos rectas dadas r y s, conociendo el punto de tangencia A de r:

Por definición, el centro de una circunferencia tangente a una recta por un punto A, debe cumplir que el radio OA sea perpendicular a la recta r.

Por ello lo primero que trazaremos será la recta perpendicular a r que pase por el punto A.

De igual manera, dadas las características de una tangente, la circunferencia tangente a dos rectas tendrá su centro en la bisectriz del ángulo que forman las dos rectas dadas.

Por ello, trazamos las dos bisectrices de los ángulos α y β formados por la recta r y s.

Los puntos de intersección entre las dos bisectrices, y la recta perpendicular a r por el punto A, serán los puntos O y Q, centros de las dos circunferencias que serán tangentes a s y tangentes a r por el punto A.

–Circunferencia tangente a dos rectas r y s y que pase por un punto A exterior a ellas:

∙Método 1:

Teniendo dos rectas, r y s que se intersecan, sabemos, como en el apartado interior, que el centro de la circunferencia tangente a ambas rectas, estará en la bisectriz del ángulo formado por las rectas r y s.

Trazamos por tanto la recta b, bisectriz de dicho ángulo formado por r y s.

Si la circunferencia buscada debe pasar por el punto A, pasará también por un punto A’, simétrico al punto A con respecto a la bisectriz b.

Trazamos una perpendicular a b pasando por A, de manera que llevando la misma distancia del A a la bisectriz b, sobre esta recta perpendicular, obtendremos el punto A’.

Situamos un punto O’ cualquiera en la recta bisectriz b. Trazamos una circunferencia de radio aleatorio por este punto O’.

Unimos A y A’, y lo prolongamos hasta que se halle un punto de corte con la recta r, el punto B.

Desde el punto B exterior a esta circunferencia auxiliar, debemos trazar las rectas t y s tangentes a dicha recta, esto es:

›Unimos lo puntos B y O’.

›Hallamos el punto M, punto medio del segmento BO’.

›Con centro en B y radio BM trazamos un arco que corte a la circunferencia auxiliar en los puntos T y T’, punto tangentes a la circunferencia auxiliar desde el punto externo B.

Con centro en el punto B y radio BT=BT’ trazamos un arco que corte a la recta r en los puntos C y D.

Trazamos una recta perpendicular a r que pase por el punto C, de manera que en el punto de corte de esta perpendicular con la bisectriz b marcará el centro O de la primera circunferencia perpendicular a las rectas r y s y que pase por el punto A.

Trazamos una recta perpendicular a r que pase por el punto D, de manera que en el punto de corte de esta perpendicular con la bisectriz b marcará el centro Q de la segunda circunferencia perpendicular a las rectas r y s y que pase por el punto A.

∙Método 2: cuando el punto A se encuentra en la bisectriz B.

En este caso en el que el punto A pertenece a la bisectriz b, el método de obtener la circunferencia tangente, sin ser el mismo que en el método 1, si comparte muchos puntos del proceso.

Trazamos en este punto una recta perpendicular a la bisectriz b que pase por el punto A, perteneciente a ella.

La intersección de esta recta perpendicular a b cortará a la recta r en el punto B.

Con centro en B y radio BA, trazamos un arco que corte a la recta r en los puntos C y D.

∙Método 3: cuando las r y s son paralelas.

Cuando r y s son paralelas, la llamada en los anteriores métodos, bisectriz b, será en este caso la recta paralela a r y s que equidiste de ambas, es decir, la mediatriz de un segmento BC perpendicular a las rectas r y s.

Por lo tanto, trazamos un segmento BC que sea perpendicular a las rectas r y s.

Trazamos la mediatriz del segmento BC, que será la recta b que equidiste MB=MC de las rectas r y s.

Desde el punto A dado, y con radio MB=MC trazamos un arco que corte a la recta b en dos puntos D y E, que serán los centros de las dos circunferencias tangentes a las rectas r y s que pasen además por el punto dado A, exterior a ellas.

–Circunferencia tangente a otras dos circunferencias por un punto T de una de ellas:

∙Método 1:

Tenemos dos circunferencias ω y λ, de centros O y Q respectivamente, y un punto T tangente perteneciente a ω.

El centro de la circunferencia que buscamos estará dentro de la recta r que une el punto tangente T y el centro O de la circunferencia ω a la que pertenece.

Con centro en el punto T, y radio r (radio de la circunferencia λ) trazamos un arco que corte a la recta r en los puntos A y B.

Trazamos el segmento AQ, y hallamos su mediatriz, la cual cortará a la recta r en el punto C, centro de una de las circunferencias tangentes a las circunferencias dadas.

Trazamos el segmento BQ, y hallamos su mediatriz, la cual se cortará con la recta r en el punto D, centro de la segunda circunferencia tangente a las circunferencias dadas inicialmente.

∙Método 2:

Como en el punto anterior, tenemos dos circunferencias ω y λ, de centros O y Q respectivamente, y un punto T tangente perteneciente a ω.

De la misma manera, el centro de la circunferencia que buscamos estará dentro de la recta r que une el punto tangente T y el centro O de la circunferencia ω a la que pertenece.

Realizando una recta s, paralela a r, que pase por el centro Q de la circunferencia λ, obtenemos el diámetro AB.

Unimos el punto A de λ, con el punto T de ω, de manera que obtenemos un punto de corte con la circunferencia λ, en punto C.

Si unimos el punto Q, con el punto C, cortaremos a la recta r en el punto D, centro de una circunferencia que será tangente a las circunferencias ω y λ dadas inicialmente, y que pasará por el punto T, perteneciente a ω.

Tras esto, unimos el punto B, perteneciente a λ con el punto T perteneciente a ω, de manera que hallamos un punto de intersección E perteneciente a la circunferencia λ.

Unimos el centro Q de la circunferencia λ, con el punto E, perteneciente a la misma.

Su prolongación, dará como resultado la intersección con la recta r en el punto F.

El punto F será el centro de la segunda circunferencia que buscamos, que será por tanto tangente a las circunferencias ω y λ y que pasaría por el punto T, perteneciente a ω.

–Circunferencia tangente a otra circunferencia y a una recta r en un punto T de esta:

∙Método 1: Tenemos una circunferencia ω, y una rectar r con un punto de tangencia T

Sabiendo que la circunferencia que buscamos debe ser tangente a r por el punto T, lo primero que hacemos es trazar una recta s perpendicular a r, que pase por T.

Aleatoriamente, situamos sobre este recta s un punto O’ aleatorio, y con centro en él y radio O’T, trazamos una circunferencia auxiliar.

La circunferencia auxiliar, cortará a la circunferencia dada en los puntos A y B.

Unimos el punto A con el punto B, y al prolongar obtendremos el punto C en la intersección con la recta r.

Desde el punto C, con radio CT, trazamos un arco que cortará a la circunferencia ω inicial en dos puntos, los puntos N y M, que serán los puntos de tangencia de dicha circunferencia con la circunferencia que se busca.

Unimos el centro O de la circunferencia ω, con el punto M. Al prolongar este segmento hallaremos el punto de corte con la recta s en el punto D, que será el centro de la primera circunferencia tangente a r por su punto T y tangente a la circunferencia ω.

Unimos el centro O de la circunferencia ω, con el punto N. Al prolongar este segmento hallaremos el punto de corte con la recta s en el punto E, que será el centro de la segunda circunferencia tangente a r por su punto T y tangente a la circunferencia ω.

∙Método 2:

Tenemos una circunferencia ω, y una rectar r con un punto de tangencia T.

Sabiendo que la circunferencia que buscamos debe ser tangente a r por el punto T, lo primero que hacemos es trazar una recta s perpendicular a r, que pase por T.

Trazamos una recta s’, perpendicular a la recta r que pase por el punto O, centro de la circunferencia ω. La recta s’, va a cortar a la circunferencia dada en los puntos A y B.

Unimos el punto T de la recta r con el punto A, hallando el punto de corte con la circunferencia ω en el punto M, que será un punto de tangencia de la circunferencia ω.

Unimos el punto T de la recta r con el punto B, hallando el punto de corte con la circunferencia ω en el punto N, que será un punto de tangencia de la circunferencia ω.

Unimos el centro O de la circunferencia ω, con el punto M. Al prolongar este segmento hallaremos el punto de corte con la recta s en el punto C, que será el centro de la primera circunferencia tangente a r por su punto T y tangente a la circunferencia ω.

Unimos el centro O de la circunferencia ω, con el punto N. Al prolongar este segmento hallaremos el punto de corte con la recta s en el punto D, que será el centro de la segunda circunferencia tangente a r por su punto T y tangente a la circunferencia ω.

Importante

Las tangencias no son una característica única de las circunferencias, más bien es una situación en la que entre un elemento curvo, circunferencia o no, y otro elemento, ya sea otra circunferencia, una recta o una curva, comparten un solo punto en común.

1.7.Curvas (elipse, óvalo, hipérbola y parábola)

Curvas geométricas

Una curva geométrica, por definición, es límite al que tienden los polígonos de lados infinitamente pequeños, que circunscriben o son circunscritos por una circunferencia.

Dicho de otra manera, si trazamos un polígono regular convexo de infinitos lados, la dimensión de esos lados sería tan pequeña que tendería al punto, entendiendo que, como pasa con las circunferencias, el trazado de esos infinitos lados se convierte en una sucesión de puntos infinitamente próximos.

Esta sucesión de puntos, es lo que denominamos curva, la cual, en función de la sucesión de sus puntos se clasifica en curvas planas y curvas alabeadas.

Las curvas planas son aquellas en las que todos sus puntos se encuentran en el mismo plano, y las curvas alabeadas son aquellas en las que por su desarrollo, no todos sus puntos se encuentran dentro del mismo plano.

Dependiendo de la forma que tengan de generarse, las curvas planas se pueden clasificar en curvas cónicas o curvas técnicas, existiendo distintos tipos de curvas dentro de cada una de ellas.

Aunque en este punto vamos a centrarnos solamente en algunas de estas curvas, es importante conocer la existencia de las otras y saber reconocerlas y diferenciarlas del resto.

Vamos a ver en el esquema siguiente la clasificación de las curvas en función de sus características, y los tipos de curvas que existen en cada una de estas clasificaciones.

Curvas cónicas

Las curvas cónicas deben su nombre a la manera en que se obtienen, ya que todos los tipos de curvas que pertenecen a este apartado se obtienen mediante la sección de un cono de revolución por un plano secante.

Para entender esto, definamos lo que es un cono de revolución: cuerpo geométrico que se construye por la rotación circular de una generatriz en torno a un eje y manteniendo un punto fijo llamado vértice.

Una vez entendida esta figura, y en función de la situación del plano de corte con respecto al eje del cono, obtendremos unas curvas u otras.

En este punto, recordemos la circunferencia, que se puede considerar también una curva cónica, que se produce cuando el plano de corte es perpendicular al eje de rotación del cono.

Pero cuando este plano no es perpendicular, podemos obtener las curvas elipse, hipérbola o parábola. Veamos entonces en qué circunstancias se obtiene cada una de ellas.

–Elipse: si el plano de sección es oblicuo y corta al eje central y a todas las generatrices del cono, la sección obtenida es una elipse.

–Hipérbola: si el plano de sección es paralelo u oblicuo al eje central y corta al cono pero no todas sus generatrices, la sección obtenida es una hipérbola.

–Parábola: si el plano de sección es oblicuo al eje y paralela a una de las generatrices del cono, la sección obtenida es una parábola.

Antes de continuar hay que comentar, que a diferencia de las circunferencias, que también son curvas cónicas, estas que vamos a tratar en este punto, se construyen mediante la obtención de puntos pertenecientes a las mismas, y que posteriormente hay que trazarlas uniendo estos puntos a mano alzada o bien con reglas de curvas, pero no son curvas trazables con el compás.

–Elementos y nomenclatura de las curvas cónicas:

Al igual que en otras figuras geométricas, vamos a ver los elementos más importantes con los que se forman las curvas, esencial para poder comprender cómo se construyen.

∙Focos: son los puntos de contacto entre las esferas inscritas en el cono y el plano de corte que generará la curva cónica. Como propiedad, decir que estos focos están situados siempre en el eje de simetría de la curva, y que tanto la elipse como la hipérbola tienen dos focos F y F’, y que la parábola solamente tiene un foco F.

∙Vértices: se denomina vértice a los puntos extremos de los ejes de las curvas, y como puntos que son se denominan como en otros casos con letras mayúsculas.

∙Ejes: se denominan ejes a los ejes de simetría de las curvas cónicas. La elipse y la hipérbola tienen dos ejes de simetría perpendiculares entre sí, el eje mayor y el eje menor, y la parábola solamente tiene uno, el eje focal.

∙Centro: es el centro donde se cruzan los ejes de simetría de la curva, y por lo tanto el centro de la misma.

∙Directrices: se denomina directrices a las rectas que surgen por la intersección entre el plano secante que produce la curva cónica, y los planos que contienen las circunferencias tangentes a las esferas con el cono.

∙Circunferencia principal: se denomina así al lugar geométrico de las proyecciones de los focos sobre las rectas tangentes a la curva cónica. Se cumple que el centro de esta circunferencia es el centro de la elipse o de la hipérbola, y su radio es la mitad de su eje mayor. La parábola supone un caso especial en el que se considera a esta circunferencia de radio infinito.

∙Circunferencia focal: se denomina circunferencia focal al lugar geométrico de los puntos del otro foco con respecto a las rectas que son tangentes a la curva cónica. En el caso de la elipse y la parábola, el centro de estas circunferencias son los focos y el radio es la longitud del eje mayor, y en el caso de la parábola, como ocurre con la circunferencia principal, en este caso, la circunferencia focal se considera de radio infinito.

Importante

Las curvas cónicas son aquellas que se originan al cortar un cono de revolución por un plano secante.

Elipse

Como hemos comentado anteriormente, la elipse es una curva cerrada y plana, que dado su origen se clasifica como curva cónica, pero su definición concreta es que la elipse es el lugar geométrico de los puntos del plano cuya suma de distancias desde un punto cualquiera P, hasta F y F’, los focos, es siempre constante e igual a 2a, siendo a la mitad del eje mayor AB.

La elipse por definición tiene dos ejes, el eje mayor AB, o eje real, y el eje menor BC, perpendicular al anterior. El centro de ambos ejes es el centro O de la elipse.

En una elipse se cumple que siendo la distancia del eje mayor 2a, la distancia del eje menor 2b y la distancia entre los dos ejes 2c, a2 = b2 +c2

–Diámetros conjugados:

En una elipse se puede trazar cualquier diámetro, y aunque ninguno sea tan grande como el mayor ni tan pequeño como el menor, pueden existir lo que se denomina diámetros conjugados, que es cuando por ejemplo, tenemos un diámetro A’B’, y existe otro C’D’ que es el lugar geométrico de todos los centros de las cuerdas paralelas al diámetro A’B’.

Para distinguir a simple vista cuándo los diámetros conjugados son o no son los ejes reales, debemos saber que en una elipse se cumple que los únicos diámetros conjugados que son perpendiculares entre sí, son los ejes reales.

Dadas las características de la elipse, y como demostraremos en los siguientes puntos, a partir de dos diámetros conjugados, podemos o bien hallar puntos de la elipse, o bien hallar los ejes reales de la misma.

–Obtención de los ejes reales, a partir de los conjugados.

Se plantea una situación en la que tenemos solamente dos diámetros conjugados A’B’ y C’D’ que se cruzan en el centro O de la elipse. Veremos cómo a partir de aquí podemos obtener los diámetros reales.

∙Realizamos una recta r perpendicular al diámetro A’B’, que pase por el centro O.

∙Con centro en el punto O, y radio OA’ llevamos dicha distancia sobre la recta r, obteniendo el punto E.

∙Unimos el punto E con el punto C’, y hallamos el punto medio M de este segmento EC’.

∙Con centro en M, y radio MO, trazamos un arco que corta a la prolongación del segmento EC’ en los puntos F y G.

∙Unimos en una recta s el punto central O y el punto F, obteniendo la dirección del eje real menor.

∙Unimos en una recta t el punto central O y el punto G, obteniendo la dirección del eje real mayor

∙Con centro en M y radio MC’ trazamos una circunferencia.

∙Unimos el centro O con el punto M y esa recta nos dará dos puntos de corte con la circunferencia anterior en los puntos H e I.

∙La distancia del segmento OH es la del eje menor. Por lo que con centro en O y radio OH trazamos un arco que corte a la recta s en los puntos C y D, teniendo así los vértices el eje menor.

∙La distancia del segmento OI es la del eje mayor. Con centro en el punto O y radio OI trazamos un arco que corte a la recta r en los puntos A y B, vértices del eje mayor de la elipse.

∙A partir de aquí que ya tenemos los diámetros reales o ejes de la elipse, ya podemos trazar el resto de la elipse.

–Obtener los focos F y F’ a partir de los ejes.

El modo de hallar los focos de una elipse se basa en la definición de la propia elipse, cuando dice que desde cualquier punto de la elipse, la suma de los segmentos formados entre dicho punto y los dos focos es igual a la distancia del eje mayor.

Por lo tanto, teniendo los ejes, sabemos que, por ejemplo desde el punto C del eje menor, el segmento CF más el segmente CF’, suman la distancia del segmento AB.

Sabiendo que los ejes de una elipse son ejes de simetría, sabemos que el segmento CF es simétrico y de igual longitud al segmento CF’, por lo que se puede verificar que:

∙CF + CF’ = AB, de donde se deduce que 2CF = AB, por lo que el segmento CF que nos dará la situación de los focos desde el punto C, es igual a la mitad del eje AB, es decir la distancia OA=OB.

∙Una vez entendido esto, con centro en el vértice C, y radio OA=OB trazamos un arco que corta a diámetro AB en los puntos F y F’, focos de la elipse.

–Construcción de la elipse conociendo los dos ejes, mediante radios vectores:

Para resolver este problema nos basaremos en la principal característica de la elipse, la que cumple que la distancia de las sumas entre cualquier punto de la elipse y los focos de la misma es igual a 2a, igual a la distancia AB del eje mayor de dicha elipse.

∙Basándonos en lo dicho anteriormente, marcamos una serie de puntos aleatorios en el segmento AO, 1, 2, 3, 4, 5,…

∙Con centro en cada uno de esos puntos, trazamos pares de arcos de radios 1A – 1B, 2A – 2B, 3-A-3B, 4A-4B, 5A-5B etc. Es decir:

∙Con centro en F y radio 1A, trazamos un arco y con centro en F’ y radio 1A, trazamos otro arco.

∙Con centro en F y radio 1B, trazamos un arco que corta al anterior en los puntos E y E’, puntos pertenecientes a la elipse.

∙Con centro en F’ y radio 1B trazamos un arco que cortará al primero en los puntos G y G’

∙Con centro en F y radio 2A, trazamos un arco y con centro en F’ y radio 2A, trazamos otro arco.

∙Con centro en F y radio 2B, trazamos un arco que corta al anterior en los puntos H y H’, puntos pertenecientes a la elipse.

∙Con centro en F’ y radio 2B trazamos un arco que cortará al primero en los puntos I e I’

∙Con centro en F y radio 3A, trazamos un arco y con centro en F’ y radio 3A, trazamos otro arco.

∙Con centro en F y radio 3B, trazamos un arco que corta al anterior en los puntos J y J’, puntos pertenecientes a la elipse.

∙Con centro en F’ y radio 3B trazamos un arco que cortará al primero en los puntos K y K’.

∙Realizamos este proceso igualmente con los puntos 4 y 5.

∙Con el mismo procedimiento podemos hallar otros 20 puntos, situando otros 5 puntos en el eje OB, teniendo finalmente 40 puntos de la elipse, además de los 4 vértices.

∙Como comentamos con anterioridad, las curvas cónicas solo se pueden construir hallando puntos y luego trazándolos a mano, por lo que bien a mano alzada o bien con ayuda de una regla de curvas unimos los puntos obtenidos hasta que cerremos la curva, obteniendo así la elipse buscada.

Importante

La característica fundamental de la elipse, que nos permitirá trazarla, es que todos los puntos que la forman cumplen que la suma entre los segmentos que unen los focos y un mismo punto, son siempre de la misma magnitud, sea cual sea el punto.

–Construcción de la elipse conociendo los dos ejes, mediante haces proyectivos:

∙Teniendo los ejes AB y CD, trazamos el cuadrilátero EFGH. Lo haremos trazando por C y D, dos paralelas al segmento AB. Y por los puntos A y B dos paralelas al segmento CD, obteniendo por tanto el cuadrilátero de vértices EFGH.

∙Centrándonos en el primer cuadrilátero ECOA, dividiremos los segmentos AO y AE en, por ejemplo 5 partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2, 3 y 4 en cada uno de dichos segmentos.

∙Partiendo del vértice D, trazamos un haz de rectas que pasen por los puntos 1, 2, 3 y 4 del segmento AO.

∙Partiendo del vértice C, trazamos un haz de rectas que pasen por los puntos 1, 2, 3 y 4 del segmento AE.

∙El corte de cada par de rectas tendrá como resultado sendos puntos de la elipse, es decir, la recta C1, en su cruce con D1, tendrá como resultado un punto de la elipse. De esta manera hemos obtenido, en este primer cuadrante 4 puntos de la elipse.

∙Siguiendo el mismo método en los otros 3 cuadrantes, obtendremos otros 12 puntos de la elipse, además de los 4 vértices.

∙Así, y al igual que en el ejercicio anterior, se debe trazar la elipse, bien a mano alzada, o bien con la ayuda de una regla de curvas.

–Construcción de la elipse conociendo dos diámetros conjugados, mediante haces proyectivos:

∙Teniendo los diámetros conjugados A’B’ y C’D’, trazamos el romboide EFGH. Lo haremos trazando por C’ y D’, dos paralelas al segmento A’B’. Y por los puntos A’ y B’ dos paralelas al segmento C’D’, obteniendo por tanto el cuadrilátero de vértices EFGH.

∙Centrándonos en el primer cuadrilátero EC’OA’, dividiremos los segmentos A’O y A’E en, por ejemplo 6 partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 en cada uno de dichos segmentos.

∙Partiendo del vértice D’, trazamos un haz de rectas que pasen por los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 del segmento AO.

∙Partiendo del vértice C’, trazamos un haz de rectas que pasen por los puntos 1, 2, 3, 4 y 5 del segmento A’E.

∙El corte de cada par de rectas tendrá como resultado sendos puntos de la elipse, es decir, la recta C’1, en su cruce con D’1, tendrá como resultado un punto de la elipse. De esta manera hemos obtenido, en este primer cuadrante 5 puntos de la elipse.

∙Siguiendo el mismo método en los otros 3 cuadrantes, obtendremos otros 15 puntos de la elipse, además de los 4 vértices.

∙Así, y al igual que en el ejercicio anterior, se debe trazar la elipse, bien a mano alzada, o bien con la ayuda de una regla de curvas.

–Construcción de la elipse conociendo los dos ejes, mediante envolventes:

Esta solución se basa en la propiedad de la elipse que dice que su circunferencia principal, es el lugar geométrico de los puntos de corte en los que se cruzan las rectas tangentes a la elipse y las rectas con vértice en el foco y perpendiculares a estas últimas.

∙Con centro en O, y radio OA, trazamos la circunferencia principal.

∙Situamos aleatoriamente una serie de puntos sobre la circunferencia principal. Cuantos más puntos situemos más detallada trazaremos la elipse.

∙Bien, comenzando por un punto cualquiera P de la circunferencia, unimos P con F, de manera que la recta t1, perpendicular a FP, que pase por P, será tangente a la elipse.

∙Cogemos un segundo punto Q de la circunferencia, unimos Q con F, de manera que la recta t2, perpendicular a FQ será la segunda tangente a la elipse.

∙Seguimos la misma metodología con más puntos de la circunferencia, de manera que tras cada tangente hallada, trazará y delimitará más la elipse.

Este no es el mejor método porque realmente no hallas puntos concretos de la elipse, sino que mediante el trazado de sucesivas tangentes, estas irán envolviendo la elipse, por lo que es muy importante trazar numerosas tangentes para ser más concreto en su trazado.

–Construcción de la elipse conociendo los dos ejes, mediante circunferencias afines:

∙Con los ejes mayor y menor dibujado, trazamos dos circunferencias, ω con centro en el punto O y radio OA=OB, y la segunda λ, concéntrica, es decir, con centro en el mismo punto O, pero con radio OC=OD.

∙Trazamos un radio r, que pase por el punto central O y corte a ω en el punto 1 y a λ en el punto 2.

∙Trazamos una paralela a CD por el punto 1, y una paralela a AB por el punto 2, obteniendo en el punto de corte de ambas paralelas, el punto E, punto de la elipse.

∙Este procedimiento hay que realizarle trazando muchos radios, cuantos más tracemos más puntos de la elipse obtendremos, por lo que será más fácil trazar la elipse buscada.

–Construcción de la elipse conociendo dos diámetros conjugados, mediante triángulos semejantes afines:

∙Partimos de las dos diagonales conjugadas A’B’ y C’D’.

∙Con centro en el punto O, y radio OA’, trazamos una circunferencia.

∙Por el centro O trazamos una recta perpendicular al diámetro A’B’, que cortará a la circunferencia trazada en los puntos E’ y F’.

∙Unimos el punto E’ con C’ y F’ con D’. De esta manera, tenemos un triángulo E’C’O en el que su punto C’ es perteneciente a la elipse, así como un triángulo F’D’O, en el que el vértice D’ es un punto de la elipse.

∙De esta manera, y marcando al azar un punto P del segmento A’B’, trazamos una perpendicular por este punto P al diámetro A’B’, obteniendo los puntos de corte G’ y H’.

∙Si trazamos por el punto P una recta paralela a C’D’, y por el punto G’ una paralela al segmento E’C’, obtendremos el punto G, perteneciente a la elipse buscada.

∙Así, repetimos este procedimiento, trazando triángulos proporcionales a los triángulos E’C’O y F’D’O, obteniendo tantos puntos de la elipse como veces reputamos el proceso.

Recuerda

La elipse es una curva cónica cerrada, simétrica con respecto a dos ejes, el eje mayor y el eje menor.

Hipérbola

La hipérbola es una curva plana, que a diferencia de la elipse, se encuentra abierta. Se caracteriza por tener dos ramas, las cuales se definen como el lugar geométrico de los puntos del planos que cumplen que la diferencia de las rectas r y r’ que lo unen con los focos es siempre constante e igual a 2a. Siendo 2a, la distancia del eje mayor o eje real AB.

Al igual que pasaba con la elipse, la hipérbola tiene también dos ejes, además del ya mencionado AB, se encuentra en eje CD, o también llamado eje imaginario. Al igual que sucedía en el caso de la elipse ambos ejes son perpendiculares entre sí, y se cruzan por su punto medio en el punto central de la hipérbola O.

Matemática mente, en la hipérbola se cumple que c2 = a2 + b2, siendo la distancia 2c la distancia FF’, 2a, la distancia entre A y B, y 2b la distancia entre C y D.

A diferencia de la elipse, en el que los ejes y su forma final mantenían siempre una proporción, en la hipérbola existen variaciones en función de los valores de sus semiejes, de manera que podemos obtener tres tipos de hipérbolas:

–si a < b se obtendrá una curva de ramas abiertas.

–si a > b se obtendrá una curva de ramas cerradas.

–si a = b se obtendrá una hipérbola equilátera.

Recuerda

Gráficamente, reconocerás la hipérbola por ser una curva cónica de dos ramas, simétricas entre sí con respecto al eje vertical, y simétrica consigo mismas con respecto al eje horizontal.

–Hallar los vértices A y B del eje real de la hipérbola conociendo sus focos:

Es un paso muy sencillo pero esencial para poder construir una hipérbola.

Se puede dar, que tengamos el eje real y el imaginario, pero no la situación de los vértices A y B que delimiten el segmento AB y que son dos de los puntos de la hipérbola.

Para ello, con centro en los vértices C o D y con radio OF = OF’ = OF = OF’, trazamos un arco que corte al eje real, obteniendo los dos puntos buscados A y B, vértices, y a la vez pertenecientes a la hipérbola.

Aunque sea una curva totalmente diferente a la elipse, guarda bastantes relaciones con esta, por lo que los métodos de construcción de la hipérbola serán similares en muchos casos.

–Construcción de la hipérbola mediante radios vectores:

Para hallar la solución a este problema, nos basaremos en la regla fundamental que por definición cumple una hipérbola, y es que es el lugar geométrico de los puntos del planos que cumplen que la diferencia de sus radios con respecto a los focos es constante e igual a 2a. Por ello procederemos de la siguiente manera:

∙Sobre el eje mayor, o eje real, marcamos una serie de puntos aleatorios 1, 2, 3, 4 etc.

∙Con centro en los focos F y F’, trazamos dos arcos de radio A1.

∙Con centro en los focos F y F’, trazamos dos arcos de radio B1,

∙La intersección de estos arcos nos dará cuatro puntos de intersección E, F y G, H que son puntos de la hipérbola que buscamos.

∙Con centro en los focos F y F’, trazamos dos arcos de radio A2.

∙Con centro en los focos F y F’, trazamos dos arcos de radio B2,

∙La intersección de estos arcos nos dará cuatro puntos de intersección I, J K y L que son puntos de la hipérbola que buscamos.

∙Con centro en los focos F y F’, trazamos dos arcos de radio A3.

∙Con centro en los focos F y F’, trazamos dos arcos de radio B3,

∙La intersección de estos arcos nos dará cuatro puntos de intersección M, N y P y Q que son puntos de la hipérbola que buscamos.

∙Con centro en los focos F y F’, trazamos dos arcos de radio A4.

∙Con centro en los focos F y F’, trazamos dos arcos de radio B4,

∙La intersección de estos arcos nos dará cuatro puntos de intersección R, S, T y U que son puntos de la hipérbola que buscamos.

∙Con esta metodología hallaremos todos los puntos que deseemos. Con el fin de tazar la curva con precisión es importante repetir este proceso con unos cuantos puntos.

Al igual que en el resto de curcas cónicas, una vez hallados los puntos de le hipérbola, debemos trazar la propia curva o bien a mano o con ayuda de una regla de curvas.

–Construcción de la hipérbola por haces proyectivos:

∙Comenzamos obteniendo un punto de la hipérbola por el método de los radios vectores, el método anterior. Así, situamos un punto P’ cualquiera dentro del eje mayor.

∙Trazamos un arco con centro F y radio P’A

∙Trazamos un arco con centro F y radio P’B

∙Hallamos el punto P perteneciente a la hipérbola.

∙En este punto, trazamos una vertical, perpendicular a AB que pase por A.

∙Trazamos una paralela a AB por el punto P y una perpendicular a AB por el punto P.

∙El resultado es el cuadrilátero PRSA.

∙Una vez trazado este cuadrilátero, dividimos en n partes iguales el segmento PR, y en igual número de partes el segmento PS. Por ejemplo en 4 partes iguales, obteniendo los puntos 1, 2 y 3 en el segmento PR y 1, 2, y 3 en el segmento PS.

∙Unimos en un haz de rectas el punto A con los puntos 1, 2 y 3 del segmento PR.

∙Unimos en un haz de rectas el punto B con los puntos 1, 2 y 3 del segmento PS.

∙Los puntos de intersección de estos haces tendrá como resultado los puntos E, F y G pertenecientes a la hipérbola.

Este proceso, que hemos llevado a cabo solamente en un cuadrante de la hipérbola se debe repetir en los otros tres, tratando de obtener el mayor número de puntos posibles con el fin de ser muy precisos a la hora de trazar la hipérbola.

–Construcción de la hipérbola por envolventes:

En este punto, nos basaremos en la propiedad en la que la circunferencia principal es el lugar geométrico de los pies de las perpendiculares a las recta tangentes a la hipérbola trazada por su foco. De esta manera procederemos de la siguiente manera:

∙Con centro en O y radio OA, trazamos la circunferencia principal de la hipérbola.

∙Desde un punto E aleatorio, perteneciente a la circunferencia principal, y lo unimos con el foco F, obteniendo el segmento EF.

∙Por el punto E trazamos una recta perpendicular al segmento EF, siendo esta recta t una recta tangente a la hipérbola.

∙Repitiendo este método en un número suficiente de veces, obtendremos una sucesión de rectas tangentes a la hipérbola que aunque no sitúe puntos propios de la hipérbola, si envolverá a la misma, por lo que se podrá identificar.

∙Debemos repetir la operación con puntos de toda la circunferencia principal, para que así el haz de tangentes envuelva a la hipérbola y sea más preciso.

Parábola

La parábola es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de un punto llamado foco (F) y de una recta llamada directriz. Por su definición ya vemos que puede tener una estructura similar a las otras curvas cónicas, sin embargo muestra algunas diferencias. Se trata de una curva abierta como la hipérbola, pero a diferencia de esta, y dada su obtención, sólo presenta una sola rama, y no dos.

Los elementos, que por definición son más importantes en la parábola, son la directriz (d), una recta fija de la que la propia curva tomará referencias; y el foco (F), un punto del que equidistará lo mismo que de la directriz.

El foco dista de la directriz la longitud P medida en perpendicular, conocida como parámetro. La recta perpendicular a la directriz que pasa por el foco, se llama eje, o eje focal, y será el único eje de simetría que tenga la parábola, a diferencia de la hipérbola o la elipse que tenían dos.

Como vemos, hemos hablado del eje y de la directriz pero no hemos hablado de segmentos finitos como en los casos anteriores, y es que en el caso de la parábola, ambas rectas se consideran infinitas.

Sin embargo si existe un vértice, que es el punto de corte entre el trazado de la parábola y su eje, el punto V.

Por último, y eso si lo hemos visto antes, llamaremos radio vector a los segmentos que unen cualquier punto de la curva con el foco F.

–Lado recto y sus propiedades:

Se llama lado recto al segmento AB que es paralelo a la directriz d y pasa por el foco F, de manera que los puntos A y B que definen el lado recto, son dos puntos pertenecientes a la parábola.

Pero ¿Cuánto mide el segmento AB?, veamos detenidamente las características de la parábola.

Cualquier punto de la parábola dista la misma distancia del foco que de la directriz, por lo que según esta definición, el vértice V de la parábola distará lo mismo de F que de la directriz, es decir, V se encontrará a la mitad del denominado parámetro P. Es decir, solamente con tener la directriz y el foco ya sabremos situar el vértice V.

Bien, entendiendo que el segmento AB pasa por F, ambos puntos son simétricos con respecto al eje, es decir, AF = FB.

Sabiendo que los puntos A y B, pertenecen a la parábola, su proyección sobre la directriz, que llamaremos C y D, tendrán la misma longitud que con respecto a su foco, es decir, AF = AC =FB = BD, dicho de otra manera, tenemos dos cuadrados AFCO y FBOD, ambos iguales.

En este punto, si sabemos que AF = AC, identificaremos que AF es igual a la distancia P, o parámetro, es decir 2FV, o lo que es lo mismo, AF es igual a dos veces la distancia entre el foco y el vértice de la parábola, es decir AF=FB=2FV.

De esta manera, podremos saber siempre dónde están los puntos A y B.

Recuerda

Reconocerás gráficamente la parábola por ser una curva cónica de una única rama, que será simétrica con respecto al eje horizontal.

–Construcción de la parábola conociendo la directriz y el foco. Método de puntos:

Teniendo la directriz d y el foco F, trazamos una recta perpendicular a d que pase por F, obteniendo el eje focal, que es el eje simétrico de la parábola.

Como hemos descrito en un punto anterior, hallando el punto medio de la distancia entre el foco y el centro de la parábola, el segmento FO, obtendremos el punto V, punto perteneciente a la parábola y vértice de la misma.

A partir de F, situamos una serie de puntos aleatorios sobre el eje focal, 1, 2, 3, 4… cuantos más puntos marquemos más precisos seremos en el trazado de la parábola.

Trazamos rectas paralelas a la directriz que pasen por los puntos anteriormente marcados, la recta d1, d2, d3, d4…

Con radios O1, O2, O3, O4… y centro siempre en el foco F, trazamos una serie de arcos.

Es decir, con centro en F y radio O1, trazamos un arco que corte a la recta d1 en los puntos A y A’.

Con centro en F y radio O3, trazamos un arco que corte a la recta d2 en los puntos C y C’.

Con centro en F y radio O4, trazamos un arco que corte a la recta d2 en los puntos D y D’.

Con centro en F y radio On, trazamos sucesivos arcos que cortando con las paralelas a d obteniendo tantos puntos de la parábola como queramos, siendo más precisos cuantos más puntos obtengamos.

–Construcción de la parábola conociendo el vértice V, eje, y un punto de la parábola:

Para resolver este problema, comenzamos por trazar una recta cualquiera que será el eje focal de la parábola.

Dentro de esta recta, situaremos el punto V, vértice conocido de la parábola.

Tras esto, situamos un punto A, que pertenecerá al trazado de la parábola.

Una vez trazados estos elementos, trazamos una recta perpendicular al eje que pase por V, y otra perpendicular al eje que pase por A, obteniendo sobre este última recta el punto A’, perteneciente a la parábola y simétrico a A.

De la misma manera trazamos una paralela al eje que pase por A, obteniendo un punto de corte con la recta perpendicular que pasa por V en el punto M.

Lo que tenemos ahora son dos segmentos MA y MV.

Dividimos ambos segmentos en n partes iguales, por ejemplo 5, obteniendo los puntos 1, 2, 3, 4 en el segmento MA, y 1’, 2’, 3’ y 4’ en el segmento MV.

Trazamos paralelas al eje que pasen por los puntos 1’, 2’, 3’ y 4’, obteniendo las rectas s1, s2, s3, y s4 respectivamente.

Utilizando el punto V como centro, trazamos un haz de rectas, que pasen por los puntos 1, 2, 3, y 4, de manera que tenemos los segmentos V1, V2, V3 y V4.

El punto de corte de la recta V1 con la recta s1, dará como resultado el punto B

El punto de corte de la recta V2 con la recta s2, dará como resultado el punto C

El punto de corte de la recta V3 con la recta s3, dará como resultado el punto D

El punto de corte de la recta V4 con la recta s4, dará como resultado el punto E

Obtenidos estos puntos, y dado que tenemos el eje de simetría de la parábola, podemos obtener los puntos simétricos B’, C’, D’ y E’.

Con el vértice V y estos 8 puntos más, trazamos, bien a mano alzada o con reglas de curvas, la curva que una dichos puntos, obteniendo por tanto la parábola buscada.

Curvas técnicas

Las curvas técnicas, a diferencia de las curvas cónicas, no tienen un origen en la sección de un cono, sino que se trata de la composición entre arcos de circunferencia tangentes. Los óvalos y ovoides son curvas planas cerradas, que se componen de 4 arcos de circunferencia tangentes interiores dos a dos y las espirales son curvas planas abiertas, que manteniendo un mismo centro, van alejándose de este a medida que va aumentando el radio.

Como podemos deducir del párrafo anterior, las curvas técnicas se clasifican en óvalos, ovoides y espirales, aunque en el punto que nos ocupa solamente profundizaremos en la construcción de óvalos.

Todas las curvas técnicas tienen una importancia muy grande en los campos de la ingeniería, la arquitectura y el diseño gráfico, y son soluciones a muchos de los problemas que dichos campos presentan.

Óvalo

El óvalo es una curva plana cerrada, simétrica con respecto a sus dos ejes, el eje mayor y el eje menor, los cuales son perpendiculares entre sí. Esta curva técnica, por definición, está formada por la unión de otras curvas, que en este caso se trata de la unión de 4 arcos de circunferencia iguales dos a dos.

Aunque guarda características similares a las figuras cónicas, su composición es diferente, a que hablamos de una curva que se puede trazar con compás y cuyos métodos de construcción no son simplemente hallar sus puntos.

Estas figuras, tienen dos centros O1 y O2, además del centro O, punto de intersección de los ejes mayor y menor.

Importante

Debemos tener en cuenta que el óvalo no se obtiene de la sección de un cono de revolución, sino que se trata de una sucesión de arcos de circunferencia enlazadas.

–Construcción de un óvalo a partir de su eje mayor:

∙Método 1:

Trazamos el segmento AB que es la medida del eje mayor del óvalo y cuyos extremos A y B pertenecen a dicha figura.

Dividimos este segmento AB en 3 partes iguales, obteniendo así los centros O1 y O2.

Con centro en O1 y radio O1A=AB/3 trazamos una circunferencia.

Con centro en O2 y radio O2B = AB/3, trazamos una segunda circunferencia que cortará con la anterior en los puntos E y F.

Unimos el centro O1 con E y con F, obteniendo dos puntos de corte con la circunferencia de centro O1, los puntos G y G’

Unimos el centro O2 con el punto E y con el punto F obteniendo dos puntos de corte con la circunferencia de centro O2, los puntos H y H’.

Estos 4 puntos, G, G’, H y H’, son puntos pertenecientes al óvalos y que además son los puntos de unión entre los 4 arcos que la van a formar.

Con centro en E y radio EG’ = EH’ trazamos un arco que una ambos puntos, el arco G’H’, que tiene su continuación en los arcos G’G y H’H.

Por ello, solo nos falta unir los puntos E y H, por lo que con centro en el punto F, y radio FE = FH, tazamos el cuarto y último arco, con el que quedará completamente trazado el óvalo buscado.

∙Método 2:

Trazamos el segmento AB que es la medida del eje mayor del óvalo y cuyos extremos A y B pertenecen a dicha figura.

Dividimos este segmento AB en 4 partes iguales, obteniendo así los centros O1 y O2, correspondientes a la 1ª y 3ª división. Con centro en O1 y radio O1A=AB/4 trazamos una circunferencia.

Con centro en O2 y radio O2B =AB/4, trazamos una segunda circunferencia.

Con centro en O1 y radio O1O2, trazamos un arco. Con centro en O2 y radio O2O1, trazamos un segundo arco.

La intersección de estos arcos dará como resultado dos puntos, O3 y O4, que serán los centros de los dos arcos que completarán el óvalo.

Unimos el centro O3 con los centros O1 y O2, obteniendo dos puntos de corte, E y E’ Unimos el centro O4 con los centros O1 y O2, obteniendo dos puntos de corte, F y F’

Estos 4 puntos serán los puntos tangentes por los que se unirán los 4 arcos que componen la figura.

Así, con centro en O3, y radio O3 E = O3E’, trazamos el arco que una ambos puntos, el arco EE’, que tendrá continuación con los arcos EF y E’F’. Así, con centro en O4, y radio O4 F= O4F’, trazamos el arco que una ambos puntos, el arco FF’, cerrando así el óvalo buscado.

–Construcción de un óvalo a partir de su eje menor:

∙Trazamos el segmento CD, que es el eje menor conocido.

∙Trazamos la mediatriz de segmento CD, que llamaremos recta m, obteniendo el punto medio de dicho segmento, que se corresponderá con el centro del óvalo.

∙Con centro en O y radio OC=OD trazamos un arco que corte a la recta m, el eje mayor en los puntos O1 y O2.

∙Desde O1 trazamos una recta que pase por el vértice C, la recta r. Desde O1 trazamos una recta que pase por el vértice D, la recta s. Desde O2 trazamos una recta que pase por el vértice C, la recta t. Desde O2 trazamos una recta que pase por el vértice D, la recta u

∙Con centro en C, y radio CD trazamos un arco que corte a las rectas r y t, obteniendo los puntos E y E’.

∙Con centro en D, y radio DC trazamos un arco que corte a lar rectas s y u, obteniendo los puntos F y F’.

∙Los puntos E, E’, F y F’ son los puntos tangentes por los que se unirán los cuatro arcos que forman el óvalo.

∙Así con centro en O1 y radio O1E, trazamos un arco que una los puntos E y F, el arco EF que tienen continuación con los arcos EE’ y FF’.

∙Con centro en O2, y radio OF’ trazamos el cuarto y último arco que una los puntos F’ y E’, que cerrará la curva y formará el óvalo buscado.

–Construcción de un óvalo a partir de sus dos ejes:

∙Trazamos el segmento AB, el eje mayor del óvalo.

∙Trazamos el segmento CD, perpendicular al eje mayor por su punto medio, el eje menor del óvalo.

∙Con centro en el punto O, punto de intersección de los ejes, y radio OA, trazamos un arco que corte a la prolongación del segmento CD, obteniendo el punto E.

∙Trazamos el segmento AC. Con centro en C y radio CE, trazamos un arco que corte al segmento AC en el punto F.

∙Trazamos la mediatriz del segmento AF, que cortará al eje mayor en el punto G y al eje menor en el punto H.

∙Por simetría con respecto a los ejes, hallamos los puntos simétricos G’ y H’.

∙Unimos el punto H con G’, que llamaremos r. Unimos el punto H con G, que llamaremos s. Unimos el punto H’ con G’, que llamaremos t. Unimos el punto H’ con G que llamaremos u.

∙Con centro en H y radio HC trazamos un arco que corte a las rectas r y s en los puntos J y K. Con centro en H’ y radio H’D trazamos un arco que corte a las rectas t y u en los puntos L y M.

∙Estos 4 puntos, son los puntos tangentes del óvalo por los que se unirán los arcos que forman el óvalo. Con centro en G y radio GA trazamos el arco que une los puntos J y L.

∙Con centro en G’ trazamos el arco que una los puntos K y M, cerrando así la curva y obteniendo el óvalos buscado.

–Construcción de un óvalo inscrito en un rombo (método para sustituir a la elipse en la perspectiva cónica)

∙Teniendo el rombo ABCD, trazamos el segmento AB, que será la el eje mayor, aunque A y B no son puntos pertenecientes al óvalo.

∙Trazamos el segmento CD, que será el eje menor, aunque C y D no son puntos del óvalo.

∙Desde el punto C trazamos una recta perpendicular al lado AD del rombo, que cortará al eje mayor en O1 y al lado AD en el punto E. Desde el punto C trazamos una recta perpendicular al lado DB del rombo, que cortará al eje mayor en el punto O2 y al lado DB del rombo en el punto E’.

∙Desde el punto D trazamos una recta perpendicular al lado AC del rombo, que cortará al eje mayor en O1 y al lado AC en el punto F. Desde el punto D trazamos una recta perpendicular al lado CB del rombo, que cortará al eje mayor en el punto O2 y al lado CB del rombo en el punto F’.

∙Los puntos O1, O2, C y D serán los centros de los arcos que forman el óvalo. Así, con centro en C y radio CE trazamos un arco que una los puntos E y E’, tangentes del óvalo.

∙Con centro en D y radio DF trazamos un arco que una los puntos F y F’, puntos tangentes del óvalo.

∙Con centro en O1, y radio O1E, trazamos el tercer arco del óvalo, el arco EF, que tendrá continuación con el arco EE’ y FF’. Con centro en O2 y radio O2F trazamos el último arco, el arco E’F’, el cual cerrará la curva y obtendremos finalmente el trazado completo de los cuatro arcos que dan la forma al óvalo buscado.

Sabías qué

Si las curvas cónicas pueden representarse matemáticamente mediante una ecuación de distintas variables, las curvas técnicas, no tienen esa característica.

1.8.Tangentes a curvas

Al igual que hemos visto el tema de las tangentes en circunferencias, existen tangencias en las curvas cónicas y en las curvas técnicas, y es por tanto el propósito de este punto ver las tangencias de cada una de las curvas que hemos visto en el apartado anterior.

Tangencias a la elipse

Veremos a continuación los principales métodos por los que se logra hallar las distintas tangentes a una elipse.

–Tangente a una elipse por un punto P de ella:

∙Método 1:

Dadas las características de la elipse, se puede observar que desde un punto P cualquiera de ella, la tangente se corresponde con la bisectriz del ángulo exterior que forman los radios vectores. Así:

Unimos el punto P por el que queremos obtener la recta tangente, con los focos F y F’, obteniendo los vectores PF y PF’.

Trazamos la bisectriz del ángulo exterior que forman ambos segmentos.

Esta bisectriz b, será la recta tangente a la elipse por un punto P de ella.

La recta perpendicular a la tangente se llama normal, y simplemente habría que trazar una recta perpendicular a la tangente que pase por el punto P dado.

∙Método 2: por circunferencia principal

Unimos el punto P dado con los focos de la elipse, obteniendo los segmentos PF y PF’.

Trazamos la mediatriz de PF para obtener el punto medio M1. Trazamos la mediatriz de PF’ para obtener el punto medio M2.

Con centro en M1 y radio M1F trazamos una circunferencia. Con centro en M2 y radio M2F’ trazamos una segunda circunferencia.

Unimos el centro O de la elipse con el punto M1, obteniendo un punto de corte en la circunferencia de la que M1 es centro en el punto T1. Unimos el centro O de la elipse con el punto M2, obteniendo un punto de corte en la circunferencia de la que M2 es centro en el punto T2.

Unimos los puntos T1 con T2. Este segmento T1T2 es la tangente a la elipse por su punto P dado.

–Tangente a una elipse por un punto P exterior a esta:

∙Método 1: por circunferencia focal.

Con centro en F y radio AB (el eje mayor) trazamos un arco. Con centro en el punto exterior P y radio PF’, trazamos un segundo arco que corta al anterior en los puntos F1 y F2.

Unimos F1 con F’ y trazamos la mediatriz de este segmento, que llamaremos t1 y que será la recta tangente a la elipse que pase por P. Unimos F2 con F’, y trazamos la mediatriz de este segmento, que llamaremos t2, y que será la segunda tangente a la elipse por el punto P exterior a ella.

∙Método 2: por la circunferencia principal.

Comenzamos por trazar una circunferencia de centro O y radio OA=OB, la circunferencia principal.

Unimos el foco F con el punto P, obteniendo el segmento FP. Trazamos la mediatriz del segmento FP, hallando el punto medio M.

Con centro en M y radio MP=MF, trazamos una segunda circunferencia.

Los puntos de unión de las circunferencias, que llamaremos E y G, son dos puntos por los que pasarán las rectas tangentes que buscamos, por lo que, solo basta con unir el punto P y el punto E en una receta r, y unir el punto P y el punto G en una recta s.

Tenemos las rectas tangentes pero no los puntos de tangencia. Para situarlos, debemos trazar una recta entre O y E, y otra entre O y G.

Una vez hecho, trazamos desde el foco F’, las paralelas a OE y OG, de manera que tenemos dos rectas que parten del foco F’, y que cortan a las rectas tangentes r y s en dos puntos. Estos puntos serán los puntos M y N, puntos tangentes de la recta que pasa por el punto exterior P y es tangente a la elipse.

–Rectas tangentes a la elipse, paralelas a una dirección dada:

∙Método 1: por circunferencia focal.

Lo primero que hacemos es trazar la circunferencia focal de centro F, es decir, con centro en F y radio AB (el eje mayor) trazamos un arco.

Pasando por el foco F’, trazamos una perpendicular a la dirección d dada en un principio.

Esta recta perpendicular a d, corta al arco focal en los puntos G y H.

Trazamos la mediatriz del segmento F’G, que será la recta r, primera tangente que buscamos.

Trazamos la mediatriz del segmento F’H, que será la recta s, segunda recta tangente que buscamos.

Tenemos las rectas tangentes, pero no los puntos tangentes entre las rectas y la elipse, por ellos debemos unir el foco F con los puntos G y H, obteniendo sendos puntos de corte, M y N, que serán los puntos tangentes por los cuales las rectas r y s son tangentes a la elipse.

∙Método 2: por circunferencia principal.

Con centro en O y radio OA=OB trazamos la circunferencia principal.

Trazamos por F’, una recta perpendicular a la dirección d dada, recta que cortará a la circunferencia principal en los puntos M y N. Estos dos puntos serán los puntos de tangencia de la elipse.

Por tanto, para hallar las rectas tangentes, únicamente debemos trazar dos rectas, r y s, paralelas a la dirección dada d, y que pase por los puntos M y N respectivamente, obteniendo así las rectas tangentes a la elipse, paralelas a la dirección d dada.

Tangencias a la hipérbola

–Tangente a una hipérbola por un punto P de ella:

Dadas las características de la hipérbola, se puede observar que desde un punto P cualquiera de ella, la tangente se corresponde con la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores. Así:

∙Método 1

Unimos el punto P por el que queremos obtener la recta tangente, con los focos F y F’, obteniendo los vectores PF y PF’.

Trazamos la bisectriz del ángulo que forman ambos segmentos.

Esta bisectriz b, será la recta tangente a la hipérbola por un punto P de ella.

La recta perpendicular a la tangente se llama normal, y simplemente habría que trazar una recta perpendicular a la tangente que pase por el punto P dado.

∙Método 2: por circunferencia principal.

Unimos el punto P con el foco F, obteniendo el segmento PF, y hallamos su punto medio M1. Unimos el punto P con el foco F’, obteniendo el segmento PF’, y hallamos su punto medio M2.

Con centro en M1 y radio M1P=M1F, trazamos una circunferencia. Con centro en M2 y radio M2P=M2F’, trazamos otra circunferencia. Con centro en O, y radio OA=OB, trazamos la circunferencia principal.

Unimos el punto O y el M1, obteniendo un punto de corte con la circunferencia principal, el punto T1. Unimos el punto O y el M2, obteniendo un punto de corte con la circunferencia principal, el punto T2. Tanto T1 como T2 serán los puntos pertenecientes a la recta tangente y están alineados con P, de manera que uniéndolos, obtenemos la recta r, tangente a la parábola por un punto P perteneciente a ella.

–Tangente a una hipérbola por un punto P exterior a esta:

∙Método 1: por circunferencia focal

Trazamos la circunferencia focal con centro en F’, y radio AB.

Con centro en el punto exterior P y radio PF trazamos un arco que cortará a la circunferencia focal en los puntos G y H. Trazamos el segmento FG, y hallamos su mediatriz, la recta r, primera recta tangente a la hipérbola por el punto exterior P. Trazamos el segmento FH, y hallamos su mediatriz, la recta s, segunda recta tangente a la hipérbola por el punto P.

Teniendo las rectas tangentes, únicamente necesitamos saber los puntos de tangencia.

Para ello trazamos desde F’ sendas rectas que unan este foco con los puntos G y H, de manera que situará dos puntos de corte con la rectas r y s, los puntos M y N, que serán los puntos tangentes que buscamos.

∙Método 2: por circunferencia principal

Trazamos la circunferencia principal, con centro en O y radio OA=OB.

Unimos el punto F con el punto P exterior, y hallamos su punto medio M. Con centro en M y radio MF=MP, trazamos una circunferencia que cortará a la circunferencia principal en los puntos G y H.

Unimos el punto exterior P con el punto G, hallando la recta r, primera recta tangente a la hipérbola. Unimos el punto exterior P con el punto H, hallando la recta s, segunda recta tangente a la hipérbola.

Teniendo ya las rectas tangentes, solamente queda por situar los puntos de tangencia entre las rectas y la hipérbola. Para ello, unimos el centro O con los puntos G y H.

Trazamos por F’ rectas paralelas a los segmentos OG y OH, de manera que cortarán a las tangentes r y s en los puntos T1 y T2.

–Rectas tangentes a la hipérbola, paralelas a una dirección dada:

∙Método 1: circunferencia focal

Concentro en F’ y radio AB, trazamos la circunferencia focal.

Por el punto F, trazamos una recta perpendicular a la dirección d dada, obteniendo dos puntos de corte con la circunferencia focal, llamaremos a estos puntos G y H.

Trazamos la mediatriz del segmento FG, que será la recta r, tangente a la hipérbola y paralela a la dirección d dada. Trazamos la mediatriz del segmento FH, que será la recta s, segunda tangente a la hipérbola y paralela a la dirección d dada.

Una vez halladas la rectas tangentes, falta por hallar los puntos tangentes.

Para ello, trazamos desde F’, sendas rectas uniendo este punto con G y con H, hallando puntos de corte con las recta tangentes r y s, obteniendo así estos puntos T1 y T2, los puntos tangentes que buscábamos.

∙Método 2: circunferencia principal

Con centro en O y radio OA=OB trazamos la circunferencia principal.

Por el punto F trazamos una recta perpendicular a la dirección dada. Esta recta, cortará a la circunferencia principal en los puntos G y H. Trazamos por el punto G una recta r paralela a la dirección d dada. La recta r será la primera recta tangente a la hipérbola paralela a d.

Trazamos por el punto H una recta s paralela a la dirección d dada. La recta s será la segunda recta tangente a la hipérbola y paralela a d.

Una vez obtenidas las rectas tangentes, para hallar los puntos tangentes, trazamos los segmentos OG y OH.

Tras esto, y desde el punto F’, trazamos sendas paralelas a OG y OH, que cortarán a las rectas tangentes r y s en los puntos T1 y T2.

Tangencias de la parábola

–Recta tangente a la parábola por un punto P de ella:

Dadas las características de la parábola, se puede observar que desde un punto P cualquiera de ella, la tangente se corresponde con la bisectriz del ángulo que forman los radios vectores. Así:

∙Unimos el punto P por el que queremos obtener la recta tangente, con el foco F y su proyección sobre la directriz, obteniendo los radios vectores PF y PQ.

∙Trazamos la bisectriz del ángulo que forman ambos segmentos.

∙Esta bisectriz b, será la recta tangente a la parábola por un punto P de ella.

∙La recta perpendicular a la tangente se llama normal, y simplemente habría que trazar una recta perpendicular a la tangente que pase por el punto P dado.

–Rectas tangentes a la parábola por un punto P exterior a ella

∙Método 1: circunferencia focal

Con centro en el punto exterior P, y radio PF, trazamos un arco que cortará a la directriz de la parábola en los puntos F1 y F2.

Trazamos el segmento FF1, y trazamos su mediatriz, que será la recta r, primera recta tangente a la parábola que pasa por el punto P exterior. Trazamos el segmento FF2, y trazamos su mediatriz, que será la recta s, segunda recta tangente a la parábola que pasa por el punto P exterior.

Con las rectas tangentes halladas, para hallar los puntos tangentes entre rectas y parábola, trazamos sendas rectas perpendiculares a la directriz que pasen por F1 y F2.

Estas rectas perpendiculares al eje cortarán a las rectas tangentes en los puntos T1 y T2, puntos tangentes entre las rectas y la parábola.

∙Método 2: circunferencia principal

Unimos el punto exterior P con el foco F. Hallamos el punto medio M del segmento PF, y trazamos una circunferencia con centro en M y radio MP=MF.

Dicha circunferencia se corta con la paralela a la directriz de la parábola que pasa por V en los puntos G y H.

Unimos el punto P con el punto G, hallando la recta r, primera recta tangente a la parábola que pasa por el punto exterior P. Unimos el punto P con el punto H, hallando la recta s, segunda recta tangente a la parábola que pasa por el punto exterior P. Una vez trazas las rectas tangentes, debemos hallar los puntos de tangencia entre estas rectas y la parábola.

Para ello, unimos el punto F con el punto G, y prolongamos la recta. Con centro en G y radio GF, llevamos sobre la prolongación de esta recta la medida GF, hallando el punto F1, simétrico a F con respecto a la recta tangente r.

Unimos el punto F con el punto H, y prolongamos la recta. Con centro en H y radio HF, llevamos sobre la prolongación de esta recta la medida HF, hallando en punto F2, simétrico de F con respecto a la recta tangente s.

Trazamos por los puntos F1 y F2 sendas rectas perpendiculares a la directriz, que cortarán a las rectas tangentes r y s en los puntos T1 y T2, puntos tangentes entre las rectas que pasan por P y la parábola.

–Rectas tangentes a la parábola, paralelas a una dirección dada:

∙Método 1: por circunferencia focal

Como en casos anteriores, trazamos una recta perpendicular a la dirección dada d, que pase por el foco F.

La intersección de esta recta perpendicular a d corta con la directriz de la parábola en el punto F’.

Trazamos la mediatriz del segmento FF’, que será la recta r, recta tangente a la parábola, paralela a la dirección dada.

Una vez trazada la recta tangente r, debemos hallar el punto tangente entre dicha recta y la parábola.

Para ello, trazamos una recta perpendicular a la directriz de la parábola que pase por el punto F’. Esta recta perpendicular cortará con la recta tangente r en el punto T, punto tangente entre recta y parábola.

∙Método 2: por circunferencia principal

Como en casos anteriores, trazamos una recta perpendicular a la dirección dada d, que pase por el foco F.

La intersección de esta recta perpendicular a d corta la paralela a la directriz que pasa por V, en el punto F’.

Trazamos una recta paralela a la dirección dada d, la recta r, que pase por el punto F’. Esta recta r será la recta tangente buscada.

Para hallar el punto tangente entre la recta r y la parábola debemos hacer centro en F’ y radio F’F, trazar un arco que corte a la prolongación de FF’ en el punto M.

Trazamos una perpendicular a la directriz de la parábola que pase por este punto M, la cual cortará a la recta tangente r en el punto T, punto tangente entre la recta r y la parábola dada.

Recuerda

Las tangentes no son una característica de las circunferencias, aunque normalmente se le asocie a ellas, sino que es una situación que también se produce no solo en las curvas cónicas como hemos visto, sino que también se da en la curvas técnicas como veremos a continuación

Tangencias del óvalo

Tal y como hemos visto en el apartado 1.7, la construcción de los óvalos, que no olvidemos que son curvas técnicas, se basa en hallar los puntos de tangencia en los que se van a unir los distintos arcos que darán forma a dicha curva técnica.

Por esto en este punto no es necesario hablar de las tangencias en óvalos, dado que su propia construcción implica el trazado de las mismas.

En referencia a tangentes de elementos exteriores a un óvalo, hay que dejar claro que no existen tangencias al óvalo como tal, no existen métodos que utilicen propiedades del óvalo para trazar tangentes al mismo, como sucede en las curvas cónicas.

Los supuestos en los que una recta o curva exterior a un óvalo debe ser tangente a este, no dejan de ser rectas tangentes a uno de los arcos de circunferencia que componen dicha figura.

Por ello, todos los ejercicios que conlleven hallar la recta tangente a un óvalo, se pueden simplificar en un ejercicio que consista encontrar una recta o curva tangente a una circunferencia o arco dado, las cuales serían las dadas en la obtención del propio óvalo.

Por tanto, para la resolución de posible problemas al respecto nos remitiremos a la consulta de punto 1.6 Circunferencias y tangentes a las mismas, para, con dicha ayuda, poder resolver el supuesto problema.

El resto de tangentes a curvas planas que hemos visto, tanto las tangentes a elipses, como las tangentes a hipérbolas como las tangentes a parábolas, tienen una gran utilidad e importancia, sobretodo en el campo de la ingeniería, donde los puntos tangentes de curvas se convierten en muchos casos en puntos críticos que necesitan de un estudio muy concreto.

Por ello, la importancia de hallar y trazar con exactitud estos puntos es fundamental para el desarrollo de los planos, y la correcta ejecución futura de los mismos, porque un concepto que no podemos olivar nunca es que la representación de planos tiene la responsabilidad de ser lo más concreto y precios posible, ya que el futuro de todo objeto que se representa en un plano es la construcción física del mismo, y en función del nivel de exactitud y precisión del dibujo, el objeto en cuestión cumplirá con sus funciones en mayor o menor medida.

1.9.Croquis y levantamientos

Para finalizar la unidad didáctica 1, que abarca el tema de los trazados elementales, vamos a abordar el concepto de croquis y levantamientos.

Este punto va a servir de enlace entre esta primera parte en la que hemos obtenido la base necesaria y las reglas fundamentales para poder seguir profundizando en el conocimiento de la geometría descriptiva.

Echando la vista atrás, hemos trabajado en los trazados más básicos de la geometría, y obteniendo los conocimientos necesarios para poder construir figuras geométricas más complejas.

De aquí en adelante el objetivo es obtener los conocimientos necesarios para poder llegar a representar cualquier objeto en los métodos de representación gráfica más utilizados.

Por ello, antes de meternos de lleno en dicho tema, vamos a comenzar con los conceptos de temas y levantamientos.

El croquis

Se denomina croquis al dibujo a mano alzada, es decir, sin ayuda de herramientas o plantillas de dibujo, y que por su naturaleza carecen de escala.

Este tipo de dibujos, que al contrario que todos los vistos anteriormente, carecen de escala, aunque no de proporción, suelen dibujarse con anotaciones de cotas que apoyen la comprensión del dibujo.

Comenzando con la idea planteada antes, en la que se definía que los trazos elementales vistos tienen el objetivo de realizar construcciones más complejas, debemos comentar que esas construcciones más complejas se refieren a objetos concretos y no figuras geométricas como tal, pero que son la suma de estas

Por ello, y afianzando el croquis o la croquización como elemento previo a la representación gráfica precisa, el objetivo general del croquis es la representación de un objeto determinado.

Este dibujo sin escala, y que se basa en el dibujo a mano alzada, se utiliza principalmente por dos razones:

–Mostrar o expresar a alguien una idea que se tiene en la mente, y ver una idea aproximada del resultado de la misma.

–Tomar datos rápidos de un elemento real con el objetivo la obtención de los datos necesarios para poder delinear correctamente el objeto.

Es decir, lo utilizaremos bien para plasmar una idea que se tenga en la cabeza, o bien para representar y obtener datos de manera rápida de un objeto real.

El sentido que tiene el croquis es poder tener el mayor número de datos posibles acerca de las medidas, formas, texturas, materiales, etc… de un objeto, evitando depender de la memoria para poder recordarlo.

Importante

El croquis es un dibujo esquemático que supone el primer paso en la representación de elementos y objetos determinados, el primer paso en la utilización de los sistemas de representación.

Y es que no podemos olvidar el objetivo que tiene el croquis, que no es otro que su representación futura en una correcta delineación.

Por ello, debemos tener muy claro el nivel de detalle que necesitamos en función de cómo queremos representar posteriormente el objeto y cuál va a ser la función de ese elemento delineado.

Si queremos tomar datos de la fachada de un edificio, para saber cuántas ventanas tiene la misma, el croquis tendrá un nivel de detalle más bien bajo; sin embargo si lo que queremos obtener son los datos acerca del funcionamiento de un mecanismo de una ventana, deberemos dar un nivel de detalle mucho más grande.

Por ello, antes de ponerse a dibujar, se debe tener claro qué es lo que queremos de ese croquis, y saber organizar así el detalle y la proporción que utilizaremos en el dibujo.

De estos datos, y la complejidad del objeto a croquizar decidiremos qué tamaño de papel utilizar, e independientemente de esto, el croquis bien puede ser un dibujo de cinco minutos o de dos horas, aunque se utilicen siempre las mismas herramientas.

Sin embargo el croquis no es un dibujo totalmente desnormalizado, ya que como dibujo que es, su función es representar, y al igual que en el dibujo delineado utilizamos distintos grosores para dar más o menos entidad a determinados objetos, en el croquis debemos hacer lo mismo, es decir, el croquis no es un dibujo cualquiera, sino que tiene que cumplir con determinadas pautas que permitan su entendimiento.

Así, por ejemplo, para el mencionado caso de dar más entidad a unos determinados segmentos, en el croquis podemos o bien utilizar un lápiz más blando, y que por tanto las líneas trazadas tengan más grosor y más intensidad, o bien, trazar todo con el mismo lápiz pero ejerciendo más o menos presión en el papel.

La proporción

Cómo hemos comentado con anterioridad, y dada la definición del croquis, éste dibujo carece de escala alguna, ya que se dibuja totalmente a mano.

Sin embargo, es imprescindible para el correcto entendimiento del croquis que los elementos que en él se representan, cuenten con una proporción determinada que de coherencia al dibujo, es decir, si vamos a dibujar una silla, aunque no sea, como decimos, a una escala concreta, si debemos dibujar el objeto para que las medidas del objeto representado sean proporcionales entre sí, guardando relación entre el largo y ancho de la misma.

Si estamos realizando un croquis a partir de un objeto real, por ejemplo, de un edificio, y entendiendo que no tenemos más herramientas que el lápiz y el papel, un buen método para poder realizar un dibujo proporcionado es tomar las distancias, por ejemplo ancho y alto de la fachada, en función de lo que mide el lápiz. Esto es:

–Con el brazo estirado y desde nuestra posición, la perspectiva hará que el alto de la fachada sean 4 lápices por ejemplo, por lo que sobre el dibujo sabemos que el alto son 4 partes iguales.

Una vez obtenida una medida del objeto real, podemos establecer el resto de medidas reales, tomando esta como referencia, es decir, si el alto de la fachada son 4 lápices, y el ancho 2, aunque no sabemos sus medidas concretas, sabemos que el alto en nuestro croquis será el doble que el ancho.

Aunque no es el único método, es uno de los más utilizados y más resolutivos, sin embargo, y aunque nuestro dibujo esté proporcionado, el croquis va acompañado de cotas, estos es, anotaciones numéricas acerca de la longitud o medida real de determinados segmentos.

La importancia de la proporción es que ayuda a la comprensión gráfica del dibujo, sin embargo, y sabiendo que el objetivo del croquis es tomar datos para delinear con precisión después, las cotas deben ser lo más precisas posibles, y claro está, cuantas más dimensiones comprobemos mejor, ya que aunque proporcionado, el croquis nunca reflejará escala alguna.

Importante

Aunque no dibujemos con escala, siempre debemos dibujar manteniendo unas proporciones en el dibujo, con el fin de dotarle de comprensión.

Método de representación

Hemos comentado acerca de las proporciones del dibujo, el detalle, las cotas, pero ¿cómo dibujamos?

Bien, cuando se trata de la representación de un objeto concreto, y no de una figura geométrica como las que hemos visto hasta ahora, el dibujo debe enmarcarse en algún método de representación.

Aunque será en la unidad didáctica siguiente donde profundicemos en la cuestión de los distintos sistemas de representación, vamos a ver una pequeña introducción para ver qué sistema se utiliza en la croquización de objetos.

Por poder, podemos utilizar cualquiera sistema de representación, sin embargo, al menos en una primera fase del croquis utilizaremos el sistema diédrico.

El sistema diédrico es un sistema de representación en el que la representación de cualquier objeto se compone mínimo de dos vistas, para poder representarse, aunque lo normal es que se necesiten tres.

Pongamos un ejemplo, que dibujaremos una pieza de hormigón perteneciente a una obra de edificación, que debemos representar posteriormente bien delineado.

Para realizar el croquis de este elemento, debemos estudiar la forma del mismo, y comenzar por dibujar una vista de su planta, es decir, una vista ortogonal desde su parte superior.

Así podremos ver su forma, pero no dejará de ser un dibujo plano, de manera que solamente con este dibujo perderíamos mucha información.

Por ello, debemos realizar un segundo y hasta un tercer dibujo correspondientes a las vistas ortogonales desde dos de sus lados, de manera que con la unión de los tres dibujos, cualquier persona sería capaz de representarla o entenderla.

La decisión acerca de cuáles y cuantas vistas debemos dibujar dependerá de la complejidad del elemento a representar, y de los puntos de vista que elijamos, es decir, el objetivo de un croquis es representar todos los datos del objeto, pero puede haber puntos de vista en los que no obtengamos información, y otros puntos de vista que son esenciales para el entendimiento del objeto, por ellos es muy importante hacer una correcta elección de los puntos de vista que tomamos para la representación de un objeto.

Analizando la imagen anterior, vemos cómo es la pieza original, situada en el centro de la imagen, y cómo hemos realizad tres vistas del mismo.

Las flechas rojas identifican el punto de vista tomado, y cada uno de los planos, se representa la propia vista elegida.

Vemos que son tres dibujos planos, que cada uno pos sí solo no es capaz de representar por completo un objeto, sin embargo este sistema, se utiliza para croquizar porque siendo más sencillo dibujar formas planas, la unión de varias de estos dibujos planos, sí que representa en su totalidad cualquier tipo de objeto por complicado que sea.

Este sistema es utilizado para representar, desde piezas de ingeniería hasta edificios enteros. La pieza anteriormente dibujada es sencilla y carece de detalle, sin embargo, realizar la representación más general de una forma es lo primero que debemos hacer, es decir, imaginemos por un momento, que el objeto que hemos representado, corresponde a la forma de un edificio. Los primeros trazos que debemos hacer son lo que aparecen dibujados, una vista general del objeto para posteriormente poder ir añadiéndole detalle.

Levantamientos

Se puede dar el caso, de que dada la complejidad del objeto a representar, y aunque con las vistas planas el objeto se pueda entender, con el fin de obtener un mayor entendimiento del mismo, sea necesario realizar un dibujo que no sea plano, es decir, una perspectiva, un dibujo que tenga profundidad y en el que sea vea el volumen del objeto y no una proyección ortogonal.

Bien, a este concepto le llamamos levantamiento.

Como la naturaleza de estos dibujos es la realización a mano alzada, todas las destrezas que tengamos se conseguirán a base de practicar, por lo que si disponemos de un buen manejo de esta técnica, la representación en perspectiva de un objeto se puede hacer directamente, pero lo lógico es que este representación tridimensional se realice como segundo paso después de realizar la representación de las proyecciones ortogonales. De aquí que se llame levantamiento.

Bien, debemos entonces realizar en primer lugar la proyección ortogonal en planta del objeto, que posteriormente será la base de nuestro levantamiento.

En segundo lugar debemos realizar las proyecciones verticales del objeto, del que tomaremos para nuestro levantamiento las medidas o proporciones para saber las alturas del mismo.

Una vez representadas las proyecciones planas, podremos comenzar con nuestro levantamiento.

Para ello, debemos decidir los ejes de construcción que determinarán la figura tridimensional. Dicho de otra manera, debemos situar los ejes x, y, z que determinarán los tres planos del espacio.

Estos tres ejes determinarán las direcciones de las líneas de ancho, largo y alto respectivamente, por lo que todas las líneas del dibujo en función del plano que queramos representar, serán siempre paralelas a alguna de ellas.

Una vez situados los ejes, situaremos en el plano xy, el plano horizontal la proyección plana en planta que hemos obtenido antes.

A partir de aquí, trazaremos rectas verticales paralelas al eje z que pasen por los puntos o vértices de la figura que tenemos en planta.

Sobre esas rectas deberemos llevar las medidas o proporciones obtenidas en la proyección vertical plana obtenida anteriormente, con lo que conseguiremos situar los puntos elevados del objeto necesarios para poder trazar las paralelas a x e y, y conseguir así la perspectiva tridimensional de nuestro objeto.

Veamos un ejemplo de cómo puede ser el resultado de un objeto.

Aunque este ejemplo muestra la representación de una figura un tanto más complejo que el de la figura anterior, nos vale para hacernos una idea de lo que supone hacer un levantamiento de un objeto.

Pero todos estos temas, los profundizaremos en los apartados sucesivos, y veremos, ya de manera regulada y normalizada cómo hacer proyecciones ortogonales correspondientes con el sistema diédrico, y las características de otros sistemas de representación tridimensional como la caballera, la isométrica, la cónica etc.

Con todo esto, seremos capaces de realizar cualquier representación de un objeto por muy complejo que este sea, y podremos realizarlo de distintas maneras, en distintos sistema de representación.

Pero eso será en los próximos apartados, el objetivo de este apartado no es tanto la realización de proyecciones ortogonales, o levantamientos sino el entendimiento de cómo funcionan, cómo se construyen, para qué se utilizan y cuál es la verdadera importancia de los mimos.

Recalcando lo que comentábamos al comienzo de este apartado, esto supone el paso previo antes de profundizar en los distintos sistemas de representación que existen.

–La primera cuestión para poder realizar o comprender un dibujo, es el concepto de escala, que nos permitirá tener una noción de la magnitud real de lo que se representa en el plano. Es decir, se trata de una relación de comparación entre la verdadera magnitud del objeto real y la magnitud, reducida o ampliada que se representa en el plano.

–El concepto de proporción es la razón entre dos magnitudes pertenecientes a la misma clase, es decir, no se compara lo real con lo dibujado, como en la escala, se comparan dos medidas, bien sea en el plano o bien sea en la realidad, pero ambas deben pertenecer al mismo medio.

–Una medida de proporción es, por ejemplo, la relación entre el ancho de una calle, y la altura de los edificios que la limitan.

–La bisectriz es la recta formada por los puntos que equidistan de las rectas o segmentos que forman un ángulo lado, es decir, la bisectriz es la recta que divide un ángulo en dos partes iguales.

–La mediatriz, es la recta perpendicular a un segmento que divide a este en dos partes iguales, por lo que en su intersección, obtendremos el punto M, punto medio de dicho segmento.

–Los polígonos son figuras geométricas planas y cerradas que pueden construirse circunscritos en una circunferencia o de lo contrario que circunscriben a una circunferencia.

–La clasificación de los polígonos puede depender de muchos factores, pero la identificación de los mismos depende del número de lados que tiene, que por definición, es el mismo que el número de ángulos que tiene. Así, el triángulo tiene 3 lados y 3 ángulos, el cuadrado tiene 4 lados y 4 ángulos, el pentágono tiene 5 lados y 5 ángulos, el hexágono tiene 6 lados y 6 ángulos etc.

–El polígono con un número de lados que tiende a infinito presentará un tamaño del lado tan pequeño que se representará mediante un punto, es decir, esta sucesión de puntos es lo que llamamos circunferencia. Un polígono de lados infinitos que realmente no presenta ni lados ni ángulos.

–La tangencia a una curva o una circunferencia sucede cuando una recta, una curva u otra circunferencia toca a la circunferencia inicial en un solo punto. Este punto se denominará el punto de tangencia, representado generalmente por las letras T, M o N

–Las curvas son figuras planas cerradas, que se clasifican en función de la manera de obtención de la misma. Así hemos visto que pueden existir las curvas cónicas, obtenidas por la sección de un plano a un cono de revolución, o las curvas técnicas, obtenidas como una construcción resultado de la suma de distintos arcos de circunferencia.

–En función de cómo el plano secante corte al cono de revolución, podremos obtener la figura de la elipse, la hipérbola o la parábola.

–Al igual que con la circunferencia, que también es una curva cónica, existen tangentes a estas curvas.

–El concepto de croquis es el paso previo a la representación de objetos reales. Se trata de un método de representación a mano alzada que no utiliza un sistema de escala aunque sí de proporción.

–El croquis se obtiene mediante las proyecciones ortogonales de un objeto.

–La transformación de una proyección plana en una perspectiva se denomina levantamiento.

1.El concepto de escala:

a.Compara distintas dimensiones de un objeto real.

b.Compara distintas medidas dentro de la representación de un objeto en el plano.

c.Compara la dimensión real de un objeto con la dimensión de ese objeto en el plano.

d.Es una regla de medición.

2.El concepto de proporción:

a.Es la razón entre dos dimensiones de la misma familia.

b.Es la razón entre una medida real de un objeto y su representación en el plano.

c.Es una medida concreta.

d.Es aquella razón que siempre es constante, independientemente de las medidas.

3.La bisectriz:

a.Recta secante a las rectas que forman un ángulo.

b.Recta que divide a las rectas que forman el ángulo en dos segmentos iguales.

c.Recta que divide un ángulo en dos partes iguales.

d.Punto medio de un segmento.

4.La región de un plano delimitada por 3 o más segmentos:

a.Polígono.

b.Lado.

c.Vértice.

d.Ángulo.

5.Los puntos que unen dos lados consecutivos de un polígono se llaman:

a.Ángulo.

b.Vértice.

c.Mediatriz.

d.Mediana.

6.En un polígono, el punto interior que equidista de los vértices, se llama:

a.Apotema.

b.Centro.

c.Radio.

d.Diámetro.

7.En un polígono, el segmento que une el centro O con el punto medio de cada lado se llama:

a.Radio.

b.Mediatriz.

c.Apotema.

d.Bisectriz.

8.La característica principal de la elipse es:

a.La diferencia de los radios vectores es igual a la medida entre sus focos.

b.La diferencia de los radios vectores es igual a la longitud de su eje mayor.

c.La suma de los radios vectores es siempre igual a la longitud de su eje mayor.

d.Los radios vectores son tangentes a la elipse.

9.La parábola se obtiene mediante:

a.El corte de un plano secante perpendicular al eje de un cono de revolución.

b.El corte de un plano secante paralelo a la generatriz de un cono de revolución.

c.El corte de un plano secante que corta todas las generatrices de un cono de revolución.

d.El corte de un plano secante cualquiera que corta un cono de revolución.

10.La característica principal de un croquis es:

a.El uso del lápiz en su construcción.

b.Se trata de un dibujo a mano alzada que no presenta escalas.

c.Es el dibujo realizado de manera rápida y sin detalle.

d.Es la perspectiva realizada a partir de proyecciones ortogonales.