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¡Eureka!: Arquímedes

Fiel a mi propósito de no renunciar a incluir, en ocasiones, algunos textos de marcado carácter técnico, me detengo ahora en uno de Arquímedes. Y no en un texto cualquiera, sino en uno que contiene un resultado que la mayoría de nosotros —prácticamente, todos aquellos que han cursado el bachillerato— aprendió en su juventud, casi en su infancia: el principio de Arquímedes; aquel que afirma que un cuerpo sumergido en un fluido experimenta un empuje igual al peso del volumen del fluido que desaloja. El mismo que solían enseñarnos, diciendo que lo descubrió mientras estaba bañándose, y que, excitado por el hallazgo, gritó: «¡Eureka!», «¡Lo encontré!». Vaya usted a saber si fue verdad, pero, ¡qué importa!

De todas maneras, me apresuro a señalar que no he incluido este texto de Arquímedes únicamente porque pueda despertar las añoranzas juveniles de alguno, o porque se refiera a un resultado que explica multitud de fenómenos que tienen lugar a nuestro alrededor, como la navegación de barcos y submarinos, o el vuelo de globos aerostáticos. Lo he incluido porque Arquímedes fue una de las cumbres del pensamiento de la Antigüedad, que, además de contribuir al desarrollo de la matemática, logró lo que otros no consiguieron: aplicar la maestría matemática de los griegos a la investigación de los fenómenos naturales, algunos tan aparentemente nimios como el comportamiento de un sólido en un fluido. Además, se ocupó de inventar y construir máquinas como el denominado tornillo de Arquímedes, un tornillo espiral que se hacía girar dentro de un cilindro y que podía utilizarse para sacar agua de canales o minas. Fue, en este sentido, más allá que Euclides, y en ciertos ámbitos más que Aristóteles, y por ello puede ser considerado como el matemático, físico e «ingeniero» más importante del mundo antiguo.

He rescatado, de la vieja y magnífica edición preparada en 1897 por el británico T. L. Heath de los escritos de Arquímedes que han sobrevivido, dos proposiciones del libro primero de Sobre los cuerpos flotantes, que contienen formulaciones un tanto diferentes, pero básicamente equivalentes, del principio de Arquímedes. De la primera, no he incluido la demostración, algo más compleja; sí de la segunda.

ARQUÍMEDES, SOBRE LOS CUERPOS FLOTANTES. LIBRO I

PROPOSICIÓN 5

Si colocamos en un fluido un sólido más ligero que él, quedará inmerso en la medida en que su peso sea igual al peso del fluido que desaloja.

[...]

PROPOSICIÓN 6

Si se sumerge a la fuerza en un fluido un sólido más ligero que él, el sólido se verá empujado hacia arriba con una fuerza igual a la diferencia entre su peso y el peso del fluido que desaloja.

Supongamos que A esté inmerso completamente en el fluido, y que G represente el peso de A, y (G+H) el peso de un volumen igual al fluido. Tomemos un sólido D, cuyo peso es H y sumémoslo a A. Entonces el peso de (A+D) es menor que el de un volumen igual del fluido; y, si (A+D) está sumergido en el fluido, será proyectado de forma tal que su peso será igual al peso del fluido desalojado. Pero su peso es (G+H).

Por consiguiente, el peso del fluido desplazado es (G+H), y en consecuencia el volumen del fluido desplazado es el volumen del sólido A. Existirá, por tanto, reposo con A sumergido y D empujando.

Por consiguiente, el peso de D equilibra la fuerza hacia arriba ejercida por el fluido en A, y en consecuencia esta última fuerza es igual a H, que es la diferencia entre el peso de A y el peso del fluido que desaloja A.

Pero más allá del discurso y razonamiento plenamente científico, el principio de Arquímedes está ligado a una historia basante conocida, la de la «corona de oro de Hierón». Según esa historia, Hierón II de Siracusa (c. 306-215 a. C.) pidió a Arquímedes que comprobase si el orfebre al que le había encargado la creación de una corona con cierta cantidad de oro puro, que le había proporcionado previamente, le había podido engañar sustituyendo parte del oro por plata. Uno de los autores que transmitieron esa historia fue Marco Vitrubio, en su Arquitectura (c. 15 a. C.), tratado en el que se exponían los principios de la arquitectura clásica griega y se estudiaban temas tan variados como los materiales arquitectónicos, productos químicos, hidráulica, astronomía, geometría, mecanismos para usos civiles y militares, óptica y música. Es la única obra de este tipo que ha sobrevivido; fue considerada la autoridad suprema por los arquitectos italianos del Renacimiento, e influyó poderosamente en el posterior desarrollo de la arquitectura europea. En el capítulo 3.9 del Libro IX, Vitrubio narró la historia de Arquímedes y la corona de Hierón, que cito a continuación en la versión al castellano que produjo en el siglo XVIII Joseph Ortiz (Los diez libros de architectura de M. Vitrubio Polión, traducidos del latín y comentados por Don Joseph Ortiz y Sanz, presbítero (Imprenta Real, Madrid, 1787).

VITRUBIO, LOS DIEZ LIBROS DE ARCHITECTURA (c. 27 A. C.)

De Archîmedes igualmente, aunque hayan sido muchos y admirables los inventos, parece el mayor, mas excelente, y apenas creible el que voy á referir. Exaltado Hieron al trono de Siracusa, y habiendo salido felizmente de varias empresas, determinó consagrar á los Dioses inmortales en cierto Templo una corona de oro que habia prometido; y asi la mandó hacer de un precio extraordinario, dando al artífice la cantidad de oro que debia poner. Concluida la obra al tiempo estipulado, y excelentemente trabajada, la llevó al Rey, que la halló de su gusto, y fiel al peso del oro recibido. Pero esparciendose algun rumor de que habian quitado oro en la obra, y mezclado plata en igual peso, indignado Hieron del poco respeto, y no sabiendo como comprobar el hurto, encargó a Archîmedes la averiguacion. Habiendo este tomado el empeño, fue casualmente á bañarse: y al entrar en el solio, observó, que quanto su cuerpo iba ocupando de sitio, tanta agua se derramaba del solio. Inferida de aqui la resolucion de su encargo, saltó luego del solio lleno de alegria, y partiendo desnudo hácia su casa, iba repitiendo en alta voz haber hallado lo que buscaba: pues corriendo clamaba continuamente en Griego eyreca, eyreca [lo hallé, lo hallé]. Sobre este principio, se dice que previno una porcion de oro y otra de plata, cada una de igual peso al de la corona. Luego llenó de agua hasta el borde un vaso capaz, en el qual metió la porcion de plata, la qual expelió del vaso tanta agua quanto era su volumen. Sacó la plata, y volviendo a llenar el vaso de agua como estaba antes hasta el borde, cupo un sectario. Con esto tuvo averiguado quanta agua correspondia á una determinada porcion de plata. Sabido esto, metió tambien la porcion de oro en el vaso lleno, y sacada, añadió como antes una medida de agua, y advirtió que no habia salido tanto como la primera vez, sino tanta menos quanto menos voluminosa era una masa de oro que una de plata de pesos iguales. Finalmente, vuelto a llenar el vaso, y metida en el agua la corona misma, halló haber expelido esta mas agua que la masa de oro igual en peso á ella; y por esta mayor expulsion de agua en la corona arguyó la mezcla de plata en el oro, y el hurto manifiesto del artífice.